Toplam-Fark ve İki Kat Açı Formülleri Ders Notu

Toplam-Fark ve İki Kat Açı Formülleri – Ders Notu

Ön bilgi ve işaret

Açılar derece veya radyanla verilebilir; 90°=π/2 ve 180°=π. Temel özdeşlik **sin²x+cos²x=1**'dir. tan x=sin x/cos x ve cot x=cos x/sin x bağıntılarında paydaların sıfır olmaması gerekir. Dar açılarda sinüs ve kosinüs pozitiftir; diğer bölgelerde birim çemberin işaretlerine göre değer seçilir. **sin(−x)=−sin x, cos(−x)=cos x** eşitlikleri fark formüllerini kurmada kullanılır.

Kosinüs toplam-fark

• **cos(a+b)=cos a·cos b−sin a·sin b**
• **cos(a−b)=cos a·cos b+sin a·sin b**

Örnek: cos15°=cos(45°−30°)=(√6+√2)/4. Kosinüste fark bağıntısının aradaki işareti artıdır. Çarpımların açı sıralamasını kontrol etmek formül tanımayı kolaylaştırır.

Sinüs toplam-fark

• **sin(a+b)=sin a·cos b+cos a·sin b**
• **sin(a−b)=sin a·cos b−cos a·sin b**

Sinüs bağıntılarında sinüs-kosinüs **çapraz çarpımları** vardır. Örnek: sin105°=sin(60°+45°)=(√6+√2)/4. Ayrıca sin A cos B+cos A sin B doğrudan sin(A+B) olduğundan sinüs-kosinüs çarpımlarını önce bu düzende arayın.

Tanjant ve kotanjant toplam-fark

• **tan(a+b)=(tan a+tan b)/(1−tan a tan b)**
• **tan(a−b)=(tan a−tan b)/(1+tan a tan b)**
• **cot(a+b)=(cot a cot b−1)/(cot a+cot b)**
• **cot(a−b)=(cot a cot b+1)/(cot b−cot a)**

Örnek: tan15°=(1−1/√3)/(1+1/√3)=2−√3, cot15°=2+√3. Formül uygularken hem paydanın sıfır olup olmadığı hem de başlangıçta tan/cot değerlerinin tanımlılığı gözetilir.

Bileşik ifadeyi tanıma

cos A cos B+sin A sin B=cos(A−B); cos A cos B−sin A sin B=cos(A+B). Sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B). İki ifade bir arada verilmişse önce pay ve paydada bağımsız olarak bu örüntüler tanınır. Örneğin sin25°/cos65°=1'dir.

Kosinüs iki kat açı

• **cos2x=cos²x−sin²x**
• **cos2x=2cos²x−1**
• **cos2x=1−2sin²x**

Örnek: cos2x=3/5 ise cos²x=4/5 ve cos x=±2/√5. İşaret ancak açı bölgesiyle netleşir. Ayrıca 1+cos2x=2cos²x; 1−cos2x=2sin²x dönüşümleri sadeleştirmede kullanılır.

Sinüs iki kat açı ve kuvvet

**sin2x=2sin x cos x**. Bunun sonucunda (sin x+cos x)²=1+sin2x, (sin x−cos x)²=1−sin2x olur. **sin⁴x+cos⁴x=1−(sin²2x)/2** özdeşliği de aynı bilgilerden elde edilir. Örnek: sin x+cos x=3/5 ise sin2x=9/25−1=−16/25.

Tanjant ve kotanjant iki kat açı

**tan2x=2tan x/(1−tan²x)** ve **cot2x=(cot²x−1)/(2cot x)**. Örnek: tan x=1/3 ise tan2x=3/4. Yarım açı istenirse x=2(x/2) düşünülüp aynı formülden denklem kurulabilir; doğru kök için açı aralığı incelenir.

Geometri ve açı bölgeleri

Dik üçgende sin=karşı/hipotenüs, cos=komşu/hipotenüs, tan=karşı/komşu ilişkileri kullanılır. İki doğrunun eğimleri m₁, m₂ verilmiş ve yön açıları uygun aralıkta tanımlanmışsa tan(b−a)=(m₂−m₁)/(1+m₁m₂) bağıntısı fark açısına ulaşır. Tamamlayıcı açı için sin(90°−x)=cos x, bütünler için cos(180°−x)=−cos x dönüşümü hatırlanır.

Sınav kontrol listesi

Önce açı birimini/bölgesini, sonra uygun formülü ve işaretlerini seçin. **cos2x≠cos²x**; cot farkının paydası cot b−cot a'dır. Sinüs ve kosinüs değerleri −1 ile 1 arasında kalmalıdır. Kareden kök alırken ± ihtimalini, bölme işlemlerinde sıfır payda yasağını kontrol edin.

Kısa özet

Toplam-fark bağıntıları, özel olmayan açıların kesin değerlerini ve iç içe trigonometrik çarpımları çözer. İki kat bağıntıları ise aynı açı iki kez kullanıldığında özdeşlik ve denklem benzeri işlemleri sadeleştirir. Kullanılacak bağıntıyı verilen trigonometrik bilginin türüne göre seçmek çözümü kısaltır.