AYT Matematik İkinci Dereceden Eşitsizlikler Ders Notu

İkinci Dereceden Eşitsizlikler – Ders Notu

Çözüm Adımları

Sıfıra eşitle: ax² + bx + c ? 0.

Kökleri bul (çarpanlara ayır veya Δ).

a’nın işaretine göre bölgeyi seç.

Kökler dahil mi kontrol et.

Negatifle çarparken yön değişir.

İşaret İncelemesi

a > 0 ise kökler dışında +, kökler arasında −.

a < 0 ise kökler dışında −, kökler arasında +.

Kural: a ile aynı işaret dışarıda, zıt işaret içeride.

Örnek: x² − 4 > 0 → x < −2 veya x > 2.

Örnek: x² − 5x + 6 < 0 → 2 < x < 3.

Δ > 0

> 0 veya ≥ 0 (a > 0): kökler dışı.

< 0 veya ≤ 0 (a > 0): kökler arası.

Örnek: x² − 4x ≤ 0 → 0 ≤ x ≤ 4 → 5 tam sayı.

Δ = 0

(x − k)² > 0 → R − {k}

(x − k)² ≥ 0 → R

(x − k)² < 0 → boş küme

(x − k)² ≤ 0 → {k}

Δ < 0

a > 0 ise ifade her x için pozitif.

a < 0 ise ifade her x için negatif.

Örnek: x² + 1 > 0 → R.

Tam Sayı Sayma

a < x < b → b − a − 1 tane.

a ≤ x ≤ b → b − a + 1 tane.

Örnek: x² − x − 12 ≤ 0 → −3 ≤ x ≤ 4 → 8 tam sayı.

Çarpım ve Bölüm

Kökleri sırala, en sağ aralığın işareti başkatsayının işareti.

Tek katlı kökte işaret değişir, çift katlıda değişmez.

Payda kökü hiçbir zaman çözüme alınmaz.

Tek kesre getir: paydayı karşıya atma.

Örnek: (x − 1)/(x + 2) ≥ 0 → x < −2 veya x ≥ 1.

Her x İçin

> 0 → a > 0, Δ < 0.

≥ 0 → a > 0, Δ ≤ 0.

< 0 → a < 0, Δ < 0.

≤ 0 → a < 0, Δ ≤ 0.

Başkatsayıda parametre varsa a = 0 durumunu incele.

Örnek: x² − 4x + m > 0 her x için → m > 4.

Çözüm Kümesi Verilmişse

Çözüm (x₁, x₂), eşitsizlik “<” ise a > 0: x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ < 0.

Örnek: çözüm −2 < x < 5 → x² − 3x − 10 < 0.

Tanım Kümesi

Kök içi ≥ 0.

Payda ≠ 0.

Kök paydadaysa kök içi > 0.

Örnek: √(6 − x − x²) → −3 ≤ x ≤ 2.

Mutlak Değer

|f| < a → −a < f < a.

|f| > a → f < −a veya f > a.

x² = |x|².

Örnek: |2x − 1| ≥ 5 → x ≤ −2 veya x ≥ 3.

Sistem

Çözümlerin kesişimi alınır.

Örnek: x² − 6x + 8 ≤ 0 ve x ≥ 3 → 3 ≤ x ≤ 4.

Geçmiş AYT Soru Kalıpları

• tam sayı çözümlerinin sayısı veya toplamı,
• her x için sağlanan eşitsizlik ve parametre,
• çözüm kümesi verilip katsayı bulma,
• rasyonel eşitsizlik,
• tanım kümesi,
• mutlak değerli eşitsizlik,
• eşitsizlik sistemi,
• parabol–doğru ilişkisi.

Sık Karıştırılanlar

• Negatifle çarpınca yön değişir.
• Payda kökü çözüm dışı.
• Çift katlı kökte işaret değişmez.
• Her x için Δ < 0 veya Δ ≤ 0 seçimi.
• a = 0 durumu.
• Tam sayı sayımında uçlar.

Kısa Özet

Sıfıra eşitle, kökleri bul, a ile aynı işaret dışarıda, zıt içeride. Δ ≤ 0 ise tek nokta ya da her x. Tek kesre getir. Her x için a ve Δ koşulunu yaz. Tam sayı sayarken uçlara bak.