AYT Matematik Parabol Ders Notu

Parabol – Ders Notu

Parabol

y = ax² + bx + c, a ≠ 0.

a > 0 kollar yukarı, en küçük değer var.

a < 0 kollar aşağı, en büyük değer var.

y ekseni kesim noktası (0, c).

Tepe Noktası

r = −b / (2a)

k = f(r) = −Δ / (4a)

Simetri ekseni x = r.

Örnek: y = x² − 6x + 5 → T(3, −4).

Eksenleri Kestiği Noktalar

x ekseni: ax² + bx + c = 0 kökleri.

Kökler toplamı −b/a, çarpımı c/a.

|x₁ − x₂| = √Δ / |a|.

Örnek: y = x² − 2x − 8 → kökler −2 ve 4, |AB| = 6.

Δ ve Konum

Δ > 0 → iki noktada keser.

Δ = 0 → teğet, tepe noktası x ekseninde.

Δ < 0 → kesmez.

Örnek: y = x² − 4x + k teğet → k = 4.

Denklem Yazma

Kök biçimi: y = a(x − x₁)(x − x₂).

Tepe biçimi: y = a(x − r)² + k.

Genel biçim: y = ax² + bx + c.

Örnek: kökler 1, 5 ve (0, 10) → a = 2.

Örnek: tepe (2, −1), y ekseni (0, 7) → a = 2.

Simetri

f(a + x) = f(a − x) → simetri ekseni x = a.

f(p) = f(q) → x = (p + q) / 2.

Örnek: f(x) = x² − 6x + m, f(1) = f(a) → a = 5.

En Küçük / En Büyük Değer

a > 0 → min k. a < 0 → max k.

Aralıkta: tepe aralıktaysa tepe ve uçlara bak; tepe dışındaysa uç noktalara bak.

Örnek: f(x) = x² − 4x + 1, 0 ≤ x ≤ 3 → min f(2) = −3.

Grafikten İşaret

a: kolların yönü.

c: y eksenini kestiği nokta.

b: r = −b/(2a); tepe sağdaysa a ve b zıt işaretli.

Δ: x eksenini kesiş sayısı.

f(1) = a + b + c, f(−1) = a − b + c.

Parabol ve Doğru

Denklemleri eşitle, Δ’ya bak.

Δ > 0 iki nokta, Δ = 0 teğet, Δ < 0 kesişmez.

y = m yatay doğru: m ile k’yi karşılaştır.

Örnek: y = x² − 4x + 3 ve y = 2x − 6 → teğet.

İki Parabol

Denklemleri eşitle.

Örnek: y = x² ve y = −x² + 8 → x = ±2.

Öteleme

f(x − a) → a sağa. f(x + a) → a sola.

f(x) + b → b yukarı. f(x) − b → b aşağı.

−f(x) → x eksenine yansıma. f(−x) → y eksenine yansıma.

Tepe Noktasının Geometrik Yeri

Parametreli r ve k’yı yaz.

Örnek: y = x² − 4x + m tepe y = x üzerinde → m = 6.

Uygulamalar

Toplamı S olan iki sayının çarpımı en çok (S/2)² olur.

Örnek: çevresi 40 olan dikdörtgenin en büyük alanı 100.

Geçmiş AYT Soru Kalıpları

• tepe noktası ve simetri ekseni,
• en küçük/en büyük değer,
• Δ ve kesişim sayısı,
• parabol denklemini bulma,
• grafikten işaret okuma,
• aralıkta uç değer,
• uygulama problemi.

Sık Karıştırılanlar

• r = −b/(2a).
• k = −Δ/(4a).
• Aralık dışı tepe → uç noktalar.
• Δ = 0 teğet.
• a ≠ 0.
• f(x − a) sağa öteleme.

Kısa Özet

Tepe için r = −b/(2a) ve k = f(r). Konum için Δ. Denklem için uygun biçim. Uç değerde a’nın işareti ve aralık kontrolü. Doğru ve parabol için eşitle ve Δ’ya bak.