AYT Matematik Trigonometri Konu Anlatımı

Trigonometri

Trigonometri, açılar ile uzunluklar arasındaki ilişkiyi sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant gibi oranlarla inceleyen konudur. AYT Matematik’te trigonometri soruları özel açıların değerleri, birim çember ve işaretler, indirgeme, temel özdeşlikler, toplam–fark ve iki kat açı formülleri, trigonometrik denklemler, grafik ve periyot, sinüs ve kosinüs teoremleri biçiminde karşımıza çıkar.

Bu konunun sonunda bir öğrencinin:

• derece ve radyan arasında dönüşüm yapabilmesi,
• dik üçgende trigonometrik oranları yazabilmesi,
• özel açıların (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) değerlerini bilmesi,
• birim çemberde işaretleri ve bölgeleri belirleyebilmesi,
• indirgeme formüllerini kullanabilmesi,
• sin²x + cos²x = 1 ve tan x = sin x / cos x özdeşliklerini uygulayabilmesi,
• toplam–fark ve iki kat açı formüllerini kullanabilmesi,
• temel trigonometrik denklemleri çözebilmesi,
• sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyot, genlik ve en büyük–en küçük değerini bulabilmesi,
• sinüs teoremi, kosinüs teoremi ve alan formülünü kullanabilmesi

gerekir.

Derece ve Radyan

Tam bir tur 360° = 2π radyandır. Yarım tur 180° = π radyandır.

• Dereceden radyana: derece · π/180
• Radyandan dereceye: radyan · 180/π

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar

Bir dik üçgende dar açı α için:

• sin α = karşı dik kenar / hipotenüs
• cos α = komşu dik kenar / hipotenüs
• tan α = karşı dik kenar / komşu dik kenar
• cot α = komşu dik kenar / karşı dik kenar

Özel Açıların Değerleri

• sin 0° = 0, sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1
• cos 0° = 1, cos 30° = √3/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = 1/2, cos 90° = 0
• tan 0° = 0, tan 30° = √3/3, tan 45° = 1, tan 60° = √3, tan 90° tanımsızdır

Birim Çember ve İşaretler

Birim çemberde bir açının bitim kenarı üzerindeki noktanın koordinatları (cos θ, sin θ) olur. Açının bulunduğu bölgeye göre işaretler şöyledir:

• I. bölge (0° ile 90° arası): sin, cos, tan pozitif
• II. bölge (90° ile 180° arası): yalnız sin pozitif
• III. bölge (180° ile 270° arası): yalnız tan ve cot pozitif
• IV. bölge (270° ile 360° arası): yalnız cos pozitif

İndirgeme Formülleri

• sin(180° − x) = sin x, cos(180° − x) = −cos x
• sin(180° + x) = −sin x, cos(180° + x) = −cos x
• sin(360° − x) = −sin x, cos(360° − x) = cos x
• sin(−x) = −sin x, cos(−x) = cos x
• sin(90° − x) = cos x, cos(90° − x) = sin x

Temel Özdeşlikler

• sin²x + cos²x = 1
• tan x = sin x / cos x, cot x = cos x / sin x
• 1 + tan²x = 1/cos²x
• 1 + cot²x = 1/sin²x

Toplam–Fark ve İki Kat Açı Formülleri

• sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
• sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y
• cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
• cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y
• tan(x + y) = (tan x + tan y)/(1 − tan x tan y)
• sin 2x = 2 sin x cos x
• cos 2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x
• tan 2x = 2 tan x/(1 − tan²x)

Dönüşüm Formülleri

• sin x + sin y = 2 sin((x + y)/2) cos((x − y)/2)
• cos x + cos y = 2 cos((x + y)/2) cos((x − y)/2)

Trigonometrik Denklemler

• sin x = sin a ise x = a + 360°k veya x = 180° − a + 360°k
• cos x = cos a ise x = a + 360°k veya x = −a + 360°k
• tan x = tan a ise x = a + 180°k

(k bir tam sayıdır.) Soruda verilen aralığa göre çözümler seçilir.

Grafik, Periyot ve En Büyük–En Küçük Değer

f(x) = a · sin(bx + c) + d ve g(x) = a · cos(bx + c) + d fonksiyonlarında:

• Periyot: 2π/|b|
• En büyük değer: |a| + d
• En küçük değer: −|a| + d

tan(bx + c) fonksiyonunun periyodu π/|b|’dir.

Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

ABC üçgeninde kenarlar a, b, c, karşı açılar A, B, C ve çevrel çemberin yarıçapı R olsun.

• Sinüs teoremi: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
• Kosinüs teoremi: a² = b² + c² − 2bc cos A
• Alan: Alan = (1/2) · b · c · sin A

Zor Problemler (Adım Adım)

Geçmiş AYT’lerde Görülen Soru Kalıpları

Aşağıdaki örnekler AYT tarzı örneklerdir. Her kalıp için önce tanıma ipucu, sonra çözümlü örnek verilmiştir.

Sınavda En Önemli Bağlantılar

Sık Karıştırılan Noktalar

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

Değer Hesaplama Sorusu

Açıyı özel açı cinsinden yaz. Bölgeye göre işaret ver. Değeri tablodan oku.

Özdeşlik Sorusu

sin²x + cos²x = 1 ve tan x = sin x/cos x ile ifadeyi tek orana indir.

Formül Sorusu

Hangi formülün gerektiğini belirle (toplam–fark, iki kat açı, dönüşüm). Değerleri yerine yaz.

Denklem Sorusu

Denklemi tek fonksiyona indir. Verilen aralıkta bütün çözümleri bul.

Üçgen Sorusu

Verilenlere göre sinüs teoremi, kosinüs teoremi veya alan formülünü seç.

Konu Özeti

Radyan: π = 180°.

Oranlar: sin = karşı/hipotenüs, cos = komşu/hipotenüs, tan = karşı/komşu.

Özdeşlik: sin²x + cos²x = 1.

İndirgeme: 90° ve 270°’de ad değişir, 180° ve 360°’de değişmez; işaret bölgeden.

İki kat: sin 2x = 2 sin x cos x.

Periyot: sin ve cos için 2π/|b|, tan için π/|b|.

Teoremler: sinüs ve kosinüs teoremi, alan = (1/2) bc sin A.