AYT Geometri Analitik Geometri Ders Notu

Analitik Geometri Ders Notu

Analitik Geometri, geometrik bilgileri koordinat ve denklem kullanarak çözer.

Koordinat Düzlemi

Orijin:

**(0,0)**

Bölgeler:

• 1. bölge → x pozitif, y pozitif
• 2. bölge → x negatif, y pozitif
• 3. bölge → x negatif, y negatif
• 4. bölge → x pozitif, y negatif

Eksenler

x ekseni üzerindeki nokta:

**y = 0**

y ekseni üzerindeki nokta:

**x = 0**

İki Nokta Arası Uzaklık

A(x₁,y₁), B(x₂,y₂):

**AB = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]**

Kısa eşleştirme:

Uzaklık → Pisagor

Orijine Uzaklık

P(x,y):

**√(x²+y²)**

Orta Nokta

A ve B noktalarının orta noktası:

**((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)**

Önemli:

x’ler kendi arasında, y’ler kendi arasında ortalanır.

Ağırlık Merkezi

Üçgen köşeleri A, B, C ise:

**G((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)**

Eğim

İki noktadan geçen doğrunun eğimi:

**m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)**

Kısa eşleştirme:

Eğim → y farkı / x farkı

Yatay Doğru

Denklem:

**y = k**

Eğim:

**0**

Düşey Doğru

Denklem:

**x = k**

Eğim:

**tanımsız**

Kısa ayrım:

y sabit → yatay

x sabit → düşey

Nokta–Eğim Formu

Eğimi m olan ve (x₁,y₁) noktasından geçen doğru:

**y-y₁ = m(x-x₁)**

Eğim–Kesen Formu

**y = mx+n**

m → eğim

n → y ekseni kesim değeri

Genel Doğru Denklemi

**ax+by+c=0**

Eğim:

**-a/b**

Eksenleri Kesen Doğru

x eksenini a, y eksenini b noktasında kesiyorsa:

**x/a + y/b = 1**

Paralel Doğrular

**m₁ = m₂**

Kısa eşleştirme:

Paralel → aynı eğim

Dik Doğrular

**m₁·m₂ = -1**

Kısa eşleştirme:

Dik → eğim çarpımı -1

Kesişim Noktası

İki doğru denklemi birlikte çözülür.

Bulunan x ve y:

• kesişim noktasının koordinatlarıdır.

Noktanın Doğruya Uzaklığı

P(x₀,y₀) ve ax+by+c=0 doğrusu için:

**|ax₀+by₀+c| / √(a²+b²)**

Önemli:

Payda katsayı karelerinin toplamının kareköküdür.

Pay mutlak değer içindedir.

Paralel Doğrular Arası Uzaklık

ax+by+c₁=0

ax+by+c₂=0

ise:

**|c₁-c₂| / √(a²+b²)**

Üçgen Alanı

Koordinatlarla üçgen alanı determinant yöntemiyle bulunabilir.

Alan negatif çıkmaz; mutlak değer alınır.

Eksenlerle Oluşan Üçgen

Doğru x eksenini a, y eksenini b noktasında kesiyorsa:

**Alan = |a·b|/2**

Doğrusal Noktalar

Üç nokta aynı doğru üzerindeyse:

• eğimleri eşittir,
• oluşturdukları üçgenin alanı sıfırdır.

Simetri

x eksenine göre:

**(x,y) → (x,-y)**

y eksenine göre:

**(x,y) → (-x,y)**

orijine göre:

**(x,y) → (-x,-y)**

Sık Karıştırılan Noktalar

• x ekseni üzerinde y=0’dır.
• y ekseni üzerinde x=0’dır.
• Uzaklık formülü koordinat farklarıyla kullanılır.
• Orta noktada koordinatlar ayrı ayrı ortalanır.
• Ağırlık merkezinde üç koordinatın ortalaması alınır.
• Eğim y farkı / x farkıdır.
• Yatay doğru eğimi 0’dır.
• Düşey doğru eğimi tanımsızdır.
• y=mx+n denkleminde m eğimdir.
• Genel doğru denkleminde eğim -a/b’dir.
• Paralel doğruların eğimleri eşittir.
• Dik doğruların eğimleri çarpımı -1’dir.
• Nokta–doğru uzaklığında mutlak değer kullanılır.
• Doğrusal üç noktanın alanı sıfırdır.
• Simetride ilgili koordinatın işareti değiştirilir.

Analitik Geometri Kısa Özeti

Orijin → (0,0)

Uzaklık → √[(Δx)²+(Δy)²]

Orta nokta → koordinat ortalaması

Ağırlık merkezi → üç köşenin ortalaması

Eğim → Δy/Δx

Yatay → eğim 0

Düşey → eğim tanımsız

Paralel → m₁=m₂

Dik → m₁m₂=-1

Nokta–doğru uzaklığı → mutlak değerli formül

Doğrusallık → eğimler eşit veya alan 0

x ekseni simetrisi → y işaret değiştirir

y ekseni simetrisi → x işaret değiştirir