AYT Geometri Analitik Geometri Konu Anlatımı

Analitik Geometri

Analitik Geometri, geometrik şekilleri koordinat düzleminde cebirsel ifadelerle inceleyen konudur. AYT Geometri’de noktanın koordinatları, iki nokta arası uzaklık, orta nokta, eğim, doğru denklemleri, paralellik–diklik, doğruların kesişimi, bir noktanın doğruya uzaklığı ve koordinatlarla alan hesapları temel soru alanlarıdır.

Bu konunun sonunda bir öğrencinin:

• koordinat düzlemini doğru okuyabilmesi,
• noktaların bölgelere göre işaretlerini belirleyebilmesi,
• iki nokta arası uzaklığı hesaplayabilmesi,
• doğru parçasının orta noktasını bulabilmesi,
• belirli bir oranda bölen noktanın koordinatlarını hesaplayabilmesi,
• üçgenin ağırlık merkezini koordinatlarla bulabilmesi,
• eğim kavramını kullanabilmesi,
• iki noktadan geçen doğrunun eğimini hesaplayabilmesi,
• yatay ve düşey doğruları tanıyabilmesi,
• doğru denklemlerini farklı biçimlerde yazabilmesi,
• paralel ve dik doğruları belirleyebilmesi,
• iki doğrunun kesişim noktasını bulabilmesi,
• bir noktanın doğruya uzaklığını hesaplayabilmesi,
• koordinat düzleminde üçgen ve çokgen alanı hesaplayabilmesi

gerekir.

Koordinat Düzlemi

Koordinat düzlemi birbirine dik iki sayı doğrusundan oluşur.

Yatay eksen:

**x ekseni**

Düşey eksen:

**y ekseni**

Eksenlerin kesişim noktası:

**orijin**

olarak adlandırılır.

Orijinin koordinatları:

**(0, 0)**

Bölgeler

Koordinat düzlemi dört bölgeye ayrılır.

Birinci bölge:

• x pozitif
• y pozitif

İkinci bölge:

• x negatif
• y pozitif

Üçüncü bölge:

• x negatif
• y negatif

Dördüncü bölge:

• x pozitif
• y negatif

Eksenler Üzerindeki Noktalar

Bir nokta x ekseni üzerindeyse:

**y = 0**

Bir nokta y ekseni üzerindeyse:

**x = 0**

İki Nokta Arasındaki Uzaklık

A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları arasındaki uzaklık:

**AB = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]**

bağıntısıyla bulunur.

Orijine Uzaklık

P(x, y) noktasının orijine uzaklığı:

**√(x² + y²)**

dir.

Orta Nokta

A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktalarının orta noktası:

**M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)**

şeklindedir.

Doğru Parçasını Belirli Oranda Bölen Nokta

A ve B noktalarını bir P noktası içten m:n oranında bölüyorsa koordinatlar ağırlıklı ortalama mantığıyla bulunur.

P noktası AP:PB = m:n oranında bölüyorsa:

**P((n·x₁ + m·x₂)/(m+n), (n·y₁ + m·y₂)/(m+n))**

Üçgenin Ağırlık Merkezi

A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃) üçgeninin ağırlık merkezi:

**G((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)**

olarak bulunur.

Eğim

Bir doğrunun x ekseniyle yaptığı yönlü açının tanjantına eğim denir.

Eğim:

**m = tanα**

ile gösterilir.

İki noktadan geçen doğrunun eğimi:

**m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)**

Yatay Doğru

Yatay doğruda y koordinatı sabittir.

Denklem:

**y = k**

Eğim:

**0**

dır.

Düşey Doğru

Düşey doğruda x koordinatı sabittir.

Denklem:

**x = k**

Eğim:

**tanımsız**

dır.

Eğim ve Açılar

Bir doğrunun eğimi pozitifse doğru soldan sağa yükselir.

Eğim negatifse doğru soldan sağa alçalır.

Eğim sıfırsa yataydır.

Nokta–Eğim Formu

Eğimi m olan ve A(x₁,y₁) noktasından geçen doğrunun denklemi:

**y - y₁ = m(x - x₁)**

şeklindedir.

Eğim–Kesen Formu

Bir doğrunun denklemi:

**y = mx + n**

şeklindeyse:

• m eğim,
• n y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır.

Genel Doğru Denklemi

Bir doğru:

**ax + by + c = 0**

şeklinde yazılabilir.

b ≠ 0 ise eğim:

**m = -a/b**

dir.

İki Noktadan Geçen Doğru

İki farklı noktadan tek bir doğru geçer.

Önce eğim bulunabilir:

**m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)**

sonra nokta–eğim formu kullanılır.

Eksenleri Kesen Doğru

Doğru x eksenini (a,0), y eksenini (0,b) noktalarında kesiyorsa:

**x/a + y/b = 1**

şeklinde yazılabilir.

Bu forma eksenleri kesen doğru denklemi denir.

Paralel Doğrular

Paralel iki doğrunun eğimleri eşittir.

**m₁ = m₂**

Dik Doğrular

Birbirine dik iki doğrunun eğimleri için:

**m₁·m₂ = -1**

bağıntısı kullanılır.

Doğruların Kesişim Noktası

İki doğrunun kesişim noktası, iki doğru denklemini aynı anda sağlayan noktadır.

Kesişim için:

• denklemler birlikte çözülür,
• bulunan x ve y değerleri kesişim noktasını verir.

Çakışık Doğrular

Aynı doğruyu temsil eden denklemler çakışık doğrulardır.

Genel denklemlerde katsayıların tamamı aynı orandaysa doğrular çakışabilir.

Paralel Farklı Doğrular

Eğimleri aynı, sabit terimleri farklı olan doğrular paralel ve farklıdır.

Örneğin:

y = 2x + 1

y = 2x - 4

doğruları paraleldir.

Bir Noktanın Doğruya Uzaklığı

P(x₀,y₀) noktasının:

**ax + by + c = 0**

doğrusuna uzaklığı:

**|ax₀ + by₀ + c| / √(a²+b²)**

formülüyle bulunur.

Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık

Paralel doğrular:

**ax + by + c₁ = 0**

ve

**ax + by + c₂ = 0**

ise aralarındaki uzaklık:

**|c₁-c₂| / √(a²+b²)**

şeklindedir.

İki Doğru Arasındaki Açı

Eğimleri m₁ ve m₂ olan iki doğrunun arasındaki açı θ için:

**tanθ = |(m₂-m₁)/(1+m₁m₂)|**

bağıntısı kullanılabilir.

Koordinatlarla Üçgen Alanı

A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃) noktalarının oluşturduğu üçgenin alanı determinant yöntemiyle bulunabilir.

Alan:

**1/2 · |x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)|**

Eksenlerle Oluşan Üçgenin Alanı

Bir doğru x eksenini a, y eksenini b noktasında kesiyorsa eksenlerle oluşan üçgenin alanı:

**|a·b| / 2**

dir.

Doğrusal Noktalar

Üç nokta aynı doğru üzerindeyse:

• bu üç noktayla oluşturulan üçgenin alanı sıfırdır,
• iki farklı nokta çiftinden hesaplanan eğimler eşittir.

Simetri

Bir noktanın:

x eksenine göre simetriğinde y işaret değiştirir.

**(x,y) → (x,-y)**

y eksenine göre simetriğinde x işaret değiştirir.

**(x,y) → (-x,y)**

orijine göre simetriğinde iki koordinat da işaret değiştirir.

**(x,y) → (-x,-y)**

Sık Karıştırılan Noktalar

1. x ekseni üzerindeki noktaların y koordinatı sıfırdır.
2. y ekseni üzerindeki noktaların x koordinatı sıfırdır.
3. Uzaklık formülü Pisagor temellidir.
4. Orta noktada koordinatlar ayrı ayrı ortalanır.
5. Ağırlık merkezi üç köşe koordinatlarının ortalamasıdır.
6. Eğim y farkı / x farkıdır.
7. Yatay doğrunun eğimi sıfırdır.
8. Düşey doğrunun eğimi tanımsızdır.
9. y=mx+n denkleminde m eğimdir.
10. ax+by+c=0 denkleminde eğim -a/b’dir.
11. Paralel doğruların eğimleri eşittir.
12. Dik doğruların eğimleri çarpımı -1’dir.
13. Nokta–doğru uzaklığında mutlak değer kullanılır.
14. Paralel doğrular arası uzaklıkta x ve y katsayıları aynı biçime getirilmelidir.
15. Doğrusal üç noktanın oluşturduğu alan sıfırdır.
16. Simetride hangi eksene göre yansıma yapıldığına dikkat edilmelidir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Noktaların koordinatlarını ve bölgelerini doğru belirle.
2. Uzaklık sorusunda koordinat farklarını al ve Pisagor yapısını kontrol et.
3. Orta nokta sorusunda x ve y değerlerini ayrı ayrı ortala.
4. Doğru sorularında mümkünse önce eğimi bul.
5. Yatay ve düşey doğrularda özel durumları unutma.
6. Bir noktadan geçen doğru için nokta–eğim formunu kullan.
7. Paralellikte eğimleri eşitle.
8. Diklikte eğimler çarpımını -1 yap.
9. Kesişimde denklem sistemi çöz.
10. Nokta–doğru uzaklığında doğruyu ax+by+c=0 biçimine getir.
11. Alan sorusunda eksen kesenlerini veya determinant yöntemini seç.
12. Doğrusallıkta eğim eşitliği ya da alanın sıfır olması yöntemini kullan.

Konu Özeti

• Orijin (0,0)’dır.
• İki nokta arası uzaklık koordinat farklarının kareleri toplamının kareköküdür.
• Orta nokta koordinatların ayrı ayrı ortalamasıdır.
• Ağırlık merkezi üç köşe koordinatlarının ortalamasıdır.
• Eğim y farkı / x farkıdır.
• Yatay doğru eğimi 0, düşey doğru eğimi tanımsızdır.
• y=mx+n denkleminde m eğimdir.
• Paralel doğruların eğimleri eşittir.
• Dik doğruların eğimleri çarpımı -1’dir.
• İki doğrunun kesişimi denklem sistemiyle bulunur.
• Nokta–doğru uzaklığı mutlak değerli formülle hesaplanır.
• Koordinatlarla alan determinant yöntemiyle bulunabilir.
• Doğrusal üç noktanın alanı sıfırdır.
• Simetride ilgili koordinatların işaretleri değişir.