AYT Geometri Çember ve Daire Konu Anlatımı

Çember ve Daire

Çember ve Daire konusu, AYT Geometri’de merkez, yarıçap, kiriş, çap, teğet, yay, merkez açı, çevre açı, daire alanı ve çember uzunluğu gibi temel kavramları kapsar. Sorular çoğunlukla açı ilişkileri, teğet–kiriş özellikleri, kuvvet bağıntıları ve alan–uzunluk hesapları üzerinden gelir.

Bu konunun sonunda bir öğrencinin:

• çember ve daire kavramlarını ayırt edebilmesi,
• merkez, yarıçap, çap, kiriş, yay ve teğeti tanıyabilmesi,
• merkez açı ile yay ilişkisini kurabilmesi,
• çevre açı özelliklerini uygulayabilmesi,
• aynı yayı gören açıları yorumlayabilmesi,
• çapı gören çevre açının 90 derece olduğunu kullanabilmesi,
• teğetin yarıçapa dik olduğunu bilmesi,
• teğet–kiriş açılarını çözebilmesi,
• iki kirişin kesişmesiyle oluşan açıları yorumlayabilmesi,
• dışarıdan çizilen kesen ve teğet bağıntılarını kullanabilmesi,
• çemberin çevresini ve dairenin alanını hesaplayabilmesi,
• daire dilimi ve yay uzunluğu hesaplayabilmesi

gerekir.

Çember ve Daire

Bir düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu kapalı eğriye çember denir.

Bu sabit noktaya merkez, eşit uzaklığa yarıçap denir.

Çember ve iç bölgesinin birlikte oluşturduğu şekle daire denir.

Yarıçap ve Çap

Merkezden çember üzerindeki bir noktaya çizilen doğru parçasına yarıçap denir.

Merkezden geçen ve uçları çember üzerinde bulunan kirişe çap denir.

Çap:

**2r**

uzunluğundadır.

Kiriş

Uç noktaları çember üzerinde bulunan doğru parçasına kiriş denir.

En uzun kiriş:

**çap**

tır.

Yay

Çember üzerindeki iki nokta arasında kalan çember parçasına yay denir.

Yayın ölçüsü, onu gören merkez açının ölçüsüyle eşittir.

Merkez Açı

Köşesi çemberin merkezinde bulunan açıya merkez açı denir.

Merkez açının ölçüsü:

• gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.

Çevre Açı

Köşesi çember üzerinde bulunan ve kenarları çemberi kesen açıya çevre açı denir.

Çevre açının ölçüsü:

**gördüğü yayın yarısıdır.**

Aynı Yayı Gören Çevre Açılar

Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşittir.

Çapı Gören Çevre Açı

Çapın gördüğü yay yarım çemberdir ve 180 derecedir.

Bu yayı gören çevre açı:

**90 derece**

olur.

Teğet

Çembere yalnız bir noktada değen doğruya teğet denir.

Teğet, değme noktasına çizilen yarıçapa diktir.

Dışarıdaki Bir Noktadan Çizilen Teğetler

Çember dışındaki aynı noktadan çembere çizilen iki teğet parçasının uzunlukları eşittir.

Teğet–Kiriş Açısı

Teğet ile kiriş arasında oluşan açı:

**gördüğü yayın yarısına**

eşittir.

Aynı yayı gören çevre açıyla da eşittir.

İki Kirişin İçeride Kesişmesi

Çember içinde kesişen iki kirişin oluşturduğu açının ölçüsü:

**karşılıklı gördüğü iki yayın toplamının yarısıdır.**

Dışarıda Kesişen İki Kesen

Çember dışında kesişen iki kesenin oluşturduğu açının ölçüsü:

**büyük yay ile küçük yay farkının yarısıdır.**

Teğet ve Kesenin Dışarıda Oluşturduğu Açı

Çember dışındaki bir noktadan çizilen teğet ve kesenin oluşturduğu açıda da:

**yay farkının yarısı**

kullanılır.

Kirişin Merkeze Uzaklığı

Merkezden bir kirişe indirilen dikme kirişi iki eşit parçaya böler.

Ayrıca eşit kirişlerin merkeze uzaklıkları eşittir.

Merkeze daha yakın kiriş daha uzundur.

Eşit Kirişler ve Yaylar

Bir çemberde eşit kirişler:

• eşit yaylar görür,
• eşit merkez açılar oluşturur.

Çemberde Kesişen Kirişler Bağıntısı

Çember içinde iki kiriş P noktasında kesişiyorsa:

**PA · PB = PC · PD**

Dışarıdan İki Kesen Bağıntısı

Çember dışındaki P noktasından iki kesen çizilmişse:

**dış parça · tüm kesen = dış parça · tüm kesen**

Teğet–Kesen Bağıntısı

Çember dışındaki P noktasından bir teğet ve bir kesen çizilmişse:

**teğet² = dış parça · tüm kesen**

Çemberin Çevresi

Yarıçap r ise:

**Çevre = 2πr**

Çap d ise:

**Çevre = πd**

Dairenin Alanı

Yarıçap r ise:

**Alan = πr²**

Yay Uzunluğu

Merkez açı α derece, yarıçap r ise yay uzunluğu:

**(α / 360) · 2πr**

Daire Diliminin Alanı

Merkez açı α derece, yarıçap r ise daire diliminin alanı:

**(α / 360) · πr²**

Yarım Daire

Merkez açısı:

**180 derece**

Yay uzunluğu:

**πr**

Alan:

**πr² / 2**

Çeyrek Daire

Merkez açısı:

**90 derece**

Yay uzunluğu:

**πr / 2**

Alan:

**πr² / 4**

Halkasal Bölge

Aynı merkezli iki daire arasında kalan bölgeye halka denir.

Dış yarıçap R, iç yarıçap r ise alan:

**π(R² - r²)**

Daire Parçası ve Daire Dilimi

Daire dilimi:

• iki yarıçap ve yay arasında kalan bölgedir.

Daire parçası:

• bir kiriş ile yay arasında kalan bölgedir.

Çemberde Simetri

Merkezden geçen her çap çemberi iki eş parçaya böler.

Çember sonsuz sayıda simetri eksenine sahiptir.

Sık Karıştırılan Noktalar

1. Çember yalnız sınır, daire iç bölgeyi de kapsar.
2. En uzun kiriş çaptır.
3. Merkez açı gördüğü yaya eşittir.
4. Çevre açı gördüğü yayın yarısıdır.
5. Aynı yayı gören çevre açılar eşittir.
6. Çapı gören çevre açı 90 derecedir.
7. Teğet değme noktasındaki yarıçapa diktir.
8. Aynı dış noktadan çizilen teğetler eşittir.
9. Teğet–kiriş açısı gördüğü yayın yarısıdır.
10. İçeride kesişen kirişlerde açı yay toplamının yarısıdır.
11. Dışarıda kesişen doğrularda açı yay farkının yarısıdır.
12. Merkezden kirişe dikme kirişi ortalar.
13. Kesişen kirişlerde parça çarpımları eşittir.
14. Teğet–kesen bağıntısında teğetin karesi kullanılır.
15. Çember çevresi 2πr’dir.
16. Daire alanı πr²’dir.
17. Yay uzunluğu çevrenin açı oranına karşılık gelir.
18. Daire dilimi alanı dairenin açı oranına karşılık gelir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Önce merkez, yarıçap, kiriş ve teğetleri işaretle.
2. Açı köşesinin merkezde mi çember üzerinde mi olduğuna bak.
3. Merkez açıysa yayla eşitle.
4. Çevre açıysa gördüğü yayın yarısını kullan.
5. Çap görüyorsan 90 derece çevre açı olasılığını kontrol et.
6. Teğet görüyorsan yarıçapla dik açı oluştur.
7. İki teğet aynı dış noktadan çıkıyorsa uzunlukları eşitle.
8. Çember içinde kesişen kirişlerde toplam yay ilişkisini kullan.
9. Çember dışında kesişme varsa yay farkını düşün.
10. Uzunluk sorularında kiriş–kiriş veya teğet–kesen kuvvet bağıntısını kontrol et.
11. Yay uzunluğu ve alan sorularında açı/360 oranını kullan.
12. Gerekirse merkeze yarıçap çizerek dik üçgen oluştur.

Konu Özeti

• Çember sınır, daire iç bölgeyle birlikte şekildir.
• Çap 2r’dir ve en uzun kiriştir.
• Merkez açı gördüğü yaya eşittir.
• Çevre açı gördüğü yayın yarısıdır.
• Çapı gören çevre açı 90 derecedir.
• Teğet yarıçapa diktir.
• Aynı dış noktadan teğet uzunlukları eşittir.
• İçeride kesişen kirişlerde açı yay toplamının yarısıdır.
• Dışarıda kesişen doğrularda açı yay farkının yarısıdır.
• Kesişen kirişlerde parça çarpımları eşittir.
• Teğet² = dış × bütün.
• Çember çevresi 2πr’dir.
• Daire alanı πr²’dir.
• Yay uzunluğu ve daire dilimi alanı açı oranıyla bulunur.