AYT Geometri Çokgenler Konu Anlatımı

Çokgenler

Çokgenler konusu; üç veya daha fazla doğru parçasının kapalı bir şekil oluşturmasıyla ortaya çıkan geometrik yapıların açı, köşegen, çevre ve alan özelliklerini inceler. AYT Geometri’de özellikle iç ve dış açı toplamları, düzgün çokgenler, köşegen sayısı ve dörtgenlerin temel özellikleri üzerinden sorular gelir.

Bu konunun sonunda bir öğrencinin:

• çokgen kavramını açıklayabilmesi,
• iç ve dış açıları ayırt edebilmesi,
• çokgenlerin iç açıları toplamını hesaplayabilmesi,
• bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısını bulabilmesi,
• toplam köşegen sayısını hesaplayabilmesi,
• düzgün çokgenlerde bir iç ve bir dış açıyı bulabilmesi,
• kenar sayısını açı bilgisinden belirleyebilmesi,
• dörtgenlerin ortak özelliklerini kullanabilmesi,
• paralelkenar, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, kare ve yamuk özelliklerini ayırt edebilmesi,
• deltoid ve özel dörtgen sorularını çözebilmesi,
• çokgenleri üçgenlere ayırarak alan ve açı problemleri çözebilmesi

gerekir.

Çokgen Nedir?

En az üç doğru parçasının uç uca eklenerek kapalı bir şekil oluşturmasına çokgen denir.

Çokgenler kenar sayılarına göre adlandırılır:

• 3 kenar → üçgen
• 4 kenar → dörtgen
• 5 kenar → beşgen
• 6 kenar → altıgen
• 7 kenar → yedigen
• 8 kenar → sekizgen
• 9 kenar → dokuzgen
• 10 kenar → ongen

Çokgende İç Açı

Bir çokgenin ardışık iki kenarının arasında, çokgenin iç bölgesinde kalan açıya iç açı denir.

n kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamı:

**(n - 2) · 180°**

Çokgende Dış Açı

Bir kenarın uzantısı ile komşu kenar arasında oluşan açı dış açıdır.

Her köşeden aynı yönde birer dış açı alındığında dış açıların toplamı:

**360°**

olur.

Düzgün Çokgen

Bütün kenarları ve bütün iç açıları eşit olan çokgene düzgün çokgen denir.

Düzgün n-genin bir dış açısı:

**360° / n**

Bir iç açısı:

**180° - 360° / n**

veya

**[(n - 2) · 180°] / n**

ile bulunur.

Düzgün Çokgende Kenar Sayısı

Bir dış açı α ise:

**n = 360° / α**

Köşegen

Bir çokgende komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına köşegen denir.

n kenarlı bir çokgende bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısı:

**n - 3**

Toplam köşegen sayısı:

**n(n - 3) / 2**

Bir Köşeden Çizilen Köşegenlerin Oluşturduğu Üçgenler

Bir köşeden tüm köşegenler çizildiğinde çokgen:

**n - 2**

üçgene ayrılır.

Bu sonuç iç açı toplamı formülünün temelini oluşturur.

Dörtgenler

Dörtgen, dört kenarlı çokgendir.

Her dörtgenin iç açıları toplamı:

**360°**

olur.

Dörtgenlerin temel türleri:

• paralelkenar,
• dikdörtgen,
• eşkenar dörtgen,
• kare,
• yamuk,
• deltoid.

Paralelkenar

Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir.

Paralelkenarda:

• karşılıklı kenarlar eşittir,
• karşılıklı açılar eşittir,
• komşu açılar bütünlerdir,
• köşegenler birbirini ortalar.

Paralelkenarda Alan

Bir paralelkenarın alanı:

**taban · yükseklik**

ile bulunur.

Ayrıca iki komşu kenar a ve b, aralarındaki açı θ ise:

**Alan = a · b · sinθ**

Dikdörtgen

Bütün açıları 90° olan paralelkenardır.

Dikdörtgende:

• karşılıklı kenarlar eşittir,
• köşegenler birbirini ortalar,
• köşegenler eşittir.

Eşkenar Dörtgen

Bütün kenarları eşit olan paralelkenardır.

Eşkenar dörtgende:

• karşılıklı açılar eşittir,
• köşegenler birbirini ortalar,
• köşegenler birbirine diktir,
• köşegenler açıortay özelliği taşır.

Eşkenar Dörtgende Alan

Köşegen uzunlukları d₁ ve d₂ ise:

**Alan = d₁ · d₂ / 2**

Kare

Bütün kenarları eşit ve bütün açıları 90° olan dörtgendir.

Kare:

• paralelkenarın,
• dikdörtgenin,
• eşkenar dörtgenin

bütün temel özelliklerini taşır.

Karede:

• köşegenler eşittir,
• köşegenler diktir,
• köşegenler birbirini ortalar,
• köşegenler açıortaydır.

Karenin Alanı ve Köşegeni

Kenar uzunluğu a ise:

Alan:

**a²**

Köşegen:

**a√2**

Köşegen d ise:

Alan:

**d² / 2**

Yamuk

En az bir çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir.

Paralel kenarlara taban denir.

Yamukta aynı yan kenar üzerindeki komşu açılar toplamı:

**180°**

olur.

Yamukta Orta Taban

Yamuğun yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir.

Alt taban a, üst taban b ise orta taban:

**(a + b) / 2**

Yamuğun Alanı

Alt taban a, üst taban b, yükseklik h ise:

**Alan = (a + b) · h / 2**

İkizkenar Yamuk

Yan kenarları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.

İkizkenar yamukta:

• aynı tabana ait açılar eşittir,
• köşegenler eşittir.

Dik Yamuk

Yan kenarlardan biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir.

Dik yamukta iki açı 90°’dir.

Deltoid

Ardışık iki kenarı birbiriyle, diğer ardışık iki kenarı da birbiriyle eşit olan dörtgene deltoid denir.

Deltoidde:

• köşegenler diktir,
• köşegenlerden biri diğerini ortalar,
• simetri ekseni olan köşegen bazı açıları ikiye böler.

Deltoidde Alan

Köşegenler d₁ ve d₂ ise:

**Alan = d₁ · d₂ / 2**

Dörtgenlerde Köşegen Özellikleri

Paralelkenar

Köşegenler birbirini ortalar.

Dikdörtgen

Köşegenler eşit ve birbirini ortalar.

Eşkenar Dörtgen

Köşegenler dik ve birbirini ortalar.

Kare

Köşegenler eşit, dik ve birbirini ortalar.

İkizkenar Yamuk

Köşegenler eşittir.

Deltoid

Köşegenler diktir; biri diğerini ortalar.

Düzgün Altıgen

Düzgün altıgen özel bir çokgendir.

Bir iç açısı:

**120°**

Bir dış açısı:

**60°**

Merkezden köşelere çizilen yarıçaplarla altı eşkenar üçgene ayrılır.

Kenar uzunluğu a olan düzgün altıgende çevrel çember yarıçapı:

**a**

olur.

Düzgün Çokgen ve Merkez Açı

Düzgün n-genin merkez açısı:

**360° / n**

olur.

Merkez açı ile dış açı eşittir.

Alan Problemlerinde Parçalama

Çokgenlerin alanı çoğu zaman:

• üçgenlere,
• dikdörtgenlere,
• yamuklara

ayrılarak bulunabilir.

Özellikle düzgün çokgenlerde merkezden köşelere çizilen doğrular eş üçgenler oluşturabilir.

Sık Karıştırılan Noktalar

1. İç açı toplamı (n - 2)·180°’dir.
2. Dış açıların toplamı her zaman 360°’dir.
3. Düzgün çokgende bir dış açı 360°/n’dir.
4. Düzgün çokgende merkez açı dış açıya eşittir.
5. Bir köşeden köşegen sayısı n - 3’tür.
6. Toplam köşegen sayısı n(n - 3)/2’dir.
7. Bir köşeden köşegenlerle n - 2 üçgen oluşur.
8. Dörtgenin iç açıları toplamı 360°’dir.
9. Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar.
10. Dikdörtgende köşegenler eşittir.
11. Eşkenar dörtgende köşegenler diktir.
12. Karede köşegenler hem eşit hem diktir.
13. Yamukta orta taban tabanların aritmetik ortalamasıdır.
14. İkizkenar yamukta köşegenler eşittir.
15. Deltoidde köşegenler diktir.
16. Düzgün altıgen altı eşkenar üçgene ayrılır.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Önce kenar sayısını belirle.
2. İç açı toplamı soruluyorsa (n - 2)·180 kullan.
3. Düzgün çokgense dış açı üzerinden çözümü kontrol et.
4. Köşegen sorusunda bir köşe mi toplam mı sorulduğunu ayır.
5. Dörtgende paralellik ve kenar eşitliklerini işaretle.
6. Paralelkenarda köşegenlerin birbirini ortaladığını kullan.
7. Dikdörtgen ve ikizkenar yamukta köşegen eşitliğini düşün.
8. Eşkenar dörtgen ve deltoidde köşegen dikliğini düşün.
9. Karede hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgen özelliklerini kullan.
10. Yamukta orta taban ve alan bağıntılarını kontrol et.
11. Düzgün altıgende eşkenar üçgen oluştur.
12. Gerekirse çokgeni üçgenlere ayır.

Konu Özeti

• n-genin iç açı toplamı (n - 2)·180°’dir.
• Dış açıların toplamı 360°’dir.
• Düzgün n-genin dış açısı 360°/n’dir.
• Bir köşeden köşegen sayısı n - 3’tür.
• Toplam köşegen sayısı n(n - 3)/2’dir.
• Dörtgenin iç açı toplamı 360°’dir.
• Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar.
• Dikdörtgende köşegenler eşittir.
• Eşkenar dörtgende köşegenler diktir.
• Kare bütün bu özellikleri birlikte taşır.
• Yamukta orta taban (a+b)/2’dir.
• Yamuğun alanı (a+b)h/2’dir.
• Düzgün altıgen altı eşkenar üçgene ayrılır.