AYT Geometri Dönüşüm Geometrisi Konu Anlatımı

Dönüşüm Geometrisi

Dönüşüm Geometrisi, düzlemdeki noktaların ve şekillerin belirli kurallarla başka konumlara taşınmasını inceler. AYT Geometri’de özellikle öteleme, yansıma, dönme, merkezi simetri ve koordinat düzlemindeki dönüşümler kullanılır.

Bu konunun sonunda bir öğrencinin:

• öteleme dönüşümünü uygulayabilmesi,
• x ve y eksenlerine göre yansıma yapabilmesi,
• orijine göre simetri alabilmesi,
• y=x ve y=-x doğrularına göre yansıma yapabilmesi,
• orijin etrafında 90°, 180° ve 270° dönmeleri uygulayabilmesi,
• dönüşümlerin uzunluk ve açı üzerindeki etkisini yorumlayabilmesi,
• ardışık dönüşümleri doğru sırayla uygulayabilmesi,
• bir dönüşümün tersini belirleyebilmesi,
• şekillerin alan ve çevrelerinin hangi dönüşümlerde korunduğunu yorumlayabilmesi,
• koordinat düzleminde dönüşüm sonrası görüntü noktalarını bulabilmesi

gerekir.

Dönüşüm Nedir?

Bir şeklin düzlemde belirli bir kurala göre başka bir şekle dönüştürülmesine dönüşüm denir.

Başlıca dönüşümler:

• öteleme,
• yansıma,
• dönme.

Bir noktanın dönüşüm sonrası oluşan yeni konumuna görüntü noktası denir.

Öteleme

Bir noktanın veya şeklin bütün noktalarının aynı yönde ve aynı miktarda yer değiştirmesine öteleme denir.

P(x,y) noktası:

• a birim sağa,
• b birim yukarı

ötelenirse:

**P'(x+a, y+b)**

olur.

Negatif Yönde Öteleme

Sola ötelemede x koordinatı azalır.

Aşağı ötelemede y koordinatı azalır.

Öteleme Vektörü

Bir öteleme:

**(a,b)**

vektörüyle ifade edilebilir.

P(x,y) noktası (a,b) vektörü kadar ötelenirse:

**(x+a, y+b)**

elde edilir.

x Eksenine Göre Yansıma

P(x,y) noktasının x eksenine göre simetriği:

**(x,-y)**

dir.

Yani:

• x değişmez,
• y işaret değiştirir.

y Eksenine Göre Yansıma

P(x,y) noktasının y eksenine göre simetriği:

**(-x,y)**

dir.

Yani:

• x işaret değiştirir,
• y değişmez.

Orijine Göre Simetri

P(x,y) noktasının orijine göre simetriği:

**(-x,-y)**

dir.

Her iki koordinatın da işareti değişir.

y = x Doğrusuna Göre Yansıma

P(x,y) noktası y=x doğrusuna göre yansıtılırsa koordinatlar yer değiştirir:

**(x,y) → (y,x)**

y = -x Doğrusuna Göre Yansıma

P(x,y) noktası y=-x doğrusuna göre yansıtılırsa:

**(x,y) → (-y,-x)**

olur.

Orijin Etrafında Dönme

Bir noktanın orijin etrafında belirli bir açı kadar döndürülmesine dönme dönüşümü denir.

Pozitif yön:

**saat yönünün tersi**

olarak kabul edilir.

Negatif yön:

**saat yönü**

dür.

90° Saat Yönünün Tersine Dönme

P(x,y) noktası orijin etrafında 90° saat yönünün tersine döndürülürse:

**(x,y) → (-y,x)**

180° Dönme

P(x,y) noktası orijin etrafında 180° döndürülürse:

**(x,y) → (-x,-y)**

olur.

Bu sonuç orijine göre simetriyle aynıdır.

270° Saat Yönünün Tersine Dönme

270° saat yönünün tersine dönme, 90° saat yönünde dönmeyle aynıdır.

Kural:

**(x,y) → (y,-x)**

90° Saat Yönünde Dönme

Saat yönünde 90° dönme:

**(x,y) → (y,-x)**

şeklindedir.

Dönmede Merkeze Uzaklık

Bir nokta bir dönme merkezi etrafında döndürüldüğünde:

• dönme merkezine uzaklığı değişmez.

Bu yüzden orijin etrafında dönen bir nokta için:

**x²+y²**

değeri korunur.

Yansımanın Geometrik Özelliği

Bir nokta bir doğruya göre yansıtıldığında:

• nokta ile görüntüsünü birleştiren doğru parçası yansıma doğrusuna diktir,
• yansıma doğrusu bu doğru parçasını ortalar.

Dönüşümlerde Uzunluk

Öteleme, yansıma ve dönme dönüşümlerinde iki nokta arasındaki uzaklık korunur.

Dolayısıyla şeklin kenar uzunlukları değişmez.

Dönüşümlerde Açı

Öteleme, yansıma ve dönmede açı ölçüleri korunur.

Şeklin biçimi ve büyüklüğü değişmez.

Dönüşümlerde Alan ve Çevre

İzometri dönüşümlerinde:

• alan korunur,
• çevre korunur.

Yönelim

Öteleme ve dönme şeklin yönelimini korur.

Yansıma ise şeklin yönelimini tersine çevirir.

Ardışık Ötelemeler

Bir nokta önce (a,b), sonra (c,d) kadar ötelenirse toplam öteleme:

**(a+c, b+d)**

olur.

Ötelemenin Tersi

(a,b) ötelemesinin tersi:

**(-a,-b)**

ötelemesidir.

Bu iki dönüşüm art arda uygulanırsa nokta başlangıç konumuna döner.

Yansımanın Tersi

Aynı doğruya göre iki kez yansıma yapılırsa başlangıç şekli elde edilir.

Dönmenin Tersi

θ kadar saat yönünün tersine dönmenin tersi:

θ kadar saat yönünde dönmedir.

Örneğin:

90° ters yönün tersi → 90° saat yönü.

İki Eksen Yansıması

Bir nokta önce x eksenine, sonra y eksenine göre yansıtılırsa:

**(x,y) → (-x,-y)**

elde edilir.

Bu dönüşüm:

• orijine göre simetri,
• 180° dönme

ile aynıdır.

y=x ve y=-x Yansımaları

Bir noktanın y=x ve y=-x doğrularına göre ardışık yansımaları da dönme etkisi oluşturabilir.

Dönüşümlerde işlem sırası önemlidir.

Doğruların Ötelenmesi

Bir doğru üzerindeki bütün noktalar aynı vektörle ötelenirse yeni doğru eski doğruya paralel olur.

Öteleme:

• doğrunun eğimini değiştirmez.

Yansımada Doğrular

Bir doğru yansıma eksenine göre yansıtıldığında açı ve uzaklık korunur.

Özel durumlarda koordinat dönüşüm kuralları doğrudan doğru denklemine uygulanabilir.

Dönmede Şekiller

Bir şekil döndürüldüğünde:

• kenar uzunlukları,
• açıları,
• alanı,
• çevresi

değişmez.

Sadece konumu ve yönü değişebilir.

Sabit Nokta

Bir dönüşüm uygulandığında konumu değişmeyen noktaya sabit nokta denir.

Örneğin:

• orijin etrafındaki dönmede orijin sabit noktadır,
• x eksenine göre yansımada x ekseni üzerindeki bütün noktalar sabittir.

Sık Karıştırılan Noktalar

1. Sağ ötelemede x artar.
2. Yukarı ötelemede y artar.
3. x ekseni simetrisinde yalnız y işaret değiştirir.
4. y ekseni simetrisinde yalnız x işaret değiştirir.
5. Orijin simetrisinde iki koordinat da işaret değiştirir.
6. y=x simetrisinde koordinatlar yer değiştirir.
7. y=-x simetrisinde koordinatlar yer değiştirir ve ikisinin işareti değişir.
8. 90° saat yönünün tersine dönme (-y,x) kuralıdır.
9. 90° saat yönünde dönme (y,-x) kuralıdır.
10. 180° dönme (-x,-y) kuralıdır.
11. Öteleme, dönme ve yansımada uzunluk korunur.
12. Bu dönüşümlerde alan ve çevre korunur.
13. Yansıma yönelimi tersine çevirir.
14. Dönmede merkeze uzaklık korunur.
15. Ardışık dönüşümlerde işlem sırası önemlidir.
16. Aynı doğruya göre iki yansıma başlangıç şekline döndürür.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Dönüşüm türünü belirle.
2. Ötelemede vektörü koordinatlara ekle.
3. Yansımada hangi eksen veya doğru kullanıldığını belirle.
4. Dönmede yönü dikkatle oku.
5. 90°, 180° ve 270° dönüşüm kurallarını doğru seç.
6. Ardışık dönüşümlerde ilk görüntüyü yazmadan ikinci dönüşüme geçme.
7. Sonucun doğruluğunu uzaklık korunumu ile kontrol et.
8. Yansıma sorusunda nokta ile görüntüsünün orta noktasını kontrol et.
9. Alan veya çevre sorusunda dönüşüm izometriyse değerin değişmediğini kullan.
10. Ters dönüşüm sorusunda dönüşümü geri alan kuralı uygula.

Konu Özeti

• Ötelemede koordinatlara öteleme vektörü eklenir.
• x ekseni simetrisi (x,-y)’dir.
• y ekseni simetrisi (-x,y)’dir.
• Orijin simetrisi (-x,-y)’dir.
• y=x simetrisinde koordinatlar yer değiştirir.
• y=-x simetrisinde (-y,-x) elde edilir.
• 90° saat yönünün tersine dönme (-y,x)’tir.
• 180° dönme (-x,-y)’dir.
• 90° saat yönünde dönme (y,-x)’tir.
• Öteleme, yansıma ve dönmede uzunluk, açı, alan ve çevre korunur.
• Yansıma yönelimi değiştirir.
• Ardışık dönüşümlerde işlem sırası önemlidir.