AYT Geometri Dörtgenler Konu Anlatımı

Dörtgenler

Dörtgenler, AYT Geometri’de açı, kenar, köşegen, alan ve özel şekil ilişkilerinin birlikte kullanıldığı temel konulardan biridir. Paralelkenar, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, kare, yamuk ve deltoid gibi özel dörtgenlerin özellikleri bu başlık altında incelenir.

Bu konunun sonunda bir öğrencinin:

• dörtgenin temel açı özelliklerini kullanabilmesi,
• köşegenlerle oluşan üçgenleri yorumlayabilmesi,
• paralelkenarın kenar, açı ve köşegen özelliklerini uygulayabilmesi,
• dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve karenin farklarını ayırt edebilmesi,
• yamuk ve ikizkenar yamukta açı, orta taban ve alan bağıntılarını kullanabilmesi,
• deltoidin köşegen özelliklerini uygulayabilmesi,
• dörtgenlerde alan parçalama yöntemini kullanabilmesi,
• köşegen ve orta nokta ilişkilerinden yararlanabilmesi,
• özel dörtgenleri birbirine dönüştüren koşulları yorumlayabilmesi

gerekir.

Dörtgenin Temel Özellikleri

Dörtgen:

• 4 köşe,
• 4 kenar,
• 2 köşegen

içerir.

Bir dörtgende iç açıların toplamı 360 derecedir.

Dörtgende Dış Açılar

Her köşeden aynı yönde alınan birer dış açının toplamı:

**360°**

olur.

Dörtgende Köşegenler

Bir dörtgende iki köşegen bulunur.

Köşegenler dörtgeni üçgenlere ayırarak:

• açı ilişkileri,
• alan ilişkileri,
• benzerlik,
• eşlik

kurulmasını sağlar.

Paralelkenar

Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir.

Paralelkenarda:

• karşılıklı kenarlar eşittir,
• karşılıklı açılar eşittir,
• komşu açılar bütünlerdir,
• köşegenler birbirini ortalar.

Paralelkenarda Açı Özellikleri

Bir açı α ise:

• karşı açısı α,
• komşu açıları 180° - α

olur.

Paralelkenarda Köşegen

Paralelkenarda köşegenler kesiştikleri noktada birbirlerini iki eşit parçaya böler.

Paralelkenarda Alan

Taban a, bu tabana ait yükseklik h ise:

**Alan = a·h**

İki komşu kenar a ve b, aralarındaki açı θ ise:

**Alan = a·b·sinθ**

Paralelkenarda Alan Bölüşümü

Bir paralelkenarın köşegeni şekli eş alanlı iki üçgene ayırır.

Köşegenlerin kesişim noktası dörtgeni dört eş alanlı üçgene böler.

Dikdörtgen

Bütün açıları 90° olan paralelkenara dikdörtgen denir.

Dikdörtgende:

• karşılıklı kenarlar eşit ve paraleldir,
• köşegenler birbirini ortalar,
• köşegenler eşittir.

Dikdörtgende Köşegen

Kenarları a ve b olan dikdörtgende köşegen d ise:

**d² = a² + b²**

Dikdörtgende Alan ve Çevre

Alan:

**a·b**

Çevre:

**2(a+b)**

Eşkenar Dörtgen

Bütün kenarları eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir.

Eşkenar dörtgende:

• karşılıklı açılar eşittir,
• köşegenler birbirini ortalar,
• köşegenler birbirine diktir,
• köşegenler köşe açılarını ikiye böler.

Eşkenar Dörtgende Alan

Köşegen uzunlukları d₁ ve d₂ ise:

**Alan = d₁·d₂ / 2**

Ayrıca:

**Alan = taban·yükseklik**

bağıntısı da kullanılabilir.

Eşkenar Dörtgende Kenar Bulma

Köşegenler birbirini ortaladığı ve dik kestiği için yarım köşegenlerle dik üçgen oluşur.

Kare

Bütün kenarları eşit ve bütün açıları 90° olan dörtgendir.

Kare:

• paralelkenar,
• dikdörtgen,
• eşkenar dörtgen

özelliklerinin tamamını taşır.

Karede köşegenler:

• eşittir,
• birbirine diktir,
• birbirini ortalar,
• köşe açılarını ikiye böler.

Karede Köşegen ve Alan

Kenar a ise:

**Köşegen = a√2**

**Alan = a²**

Köşegen d ise:

**Alan = d² / 2**

Yamuk

En az bir çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir.

Paralel kenarlara taban denir.

Tabanlar a ve b ise aynı yan kenar üzerindeki iki iç açının toplamı:

**180°**

olur.

Yamukta Orta Taban

Yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir.

Tabanlar a ve b ise:

**Orta taban = (a+b)/2**

Yamukta Alan

Tabanlar a ve b, yükseklik h ise:

**Alan = (a+b)·h/2**

İkizkenar Yamuk

Yan kenarları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.

İkizkenar yamukta:

• aynı tabana komşu açılar eşittir,
• köşegenler eşittir.

Dik Yamuk

Yan kenarlardan biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir.

Dik yamukta iki açı 90°’dir.

Dik üçgen oluşturularak:

• Pisagor,
• özel üçgenler

kullanılabilir.

Deltoid

Ardışık iki kenarı kendi arasında, diğer iki ardışık kenarı da kendi arasında eşit olan dörtgene deltoid denir.

Deltoidde:

• köşegenler diktir,
• köşegenlerden biri diğerini ortalar,
• simetri ekseni olan köşegen köşe açılarını bölebilir.

Deltoidde Alan

Köşegenler d₁ ve d₂ ise:

**Alan = d₁·d₂ / 2**

Özel Dörtgenlerin Karşılaştırılması

Paralelkenar

• karşı kenarlar eşit
• köşegenler birbirini ortalar

Dikdörtgen

• bütün açılar 90°
• köşegenler eşit
• köşegenler birbirini ortalar

Eşkenar Dörtgen

• bütün kenarlar eşit
• köşegenler dik
• köşegenler birbirini ortalar

Kare

• bütün kenarlar eşit
• bütün açılar 90°
• köşegenler eşit ve dik
• köşegenler birbirini ortalar

İkizkenar Yamuk

• yan kenarlar eşit
• köşegenler eşit

Deltoid

• ardışık kenar çiftleri eşit
• köşegenler dik
• bir köşegen diğerini ortalar

Dörtgenlerde Orta Nokta Teoremi

Herhangi bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları birleştirildiğinde bir paralelkenar oluşur.

Bu paralelkenarın kenarları, başlangıçtaki dörtgenin köşegenlerinin yarısına eşittir ve onlara paraleldir.

Dörtgende Alan Parçalama

Bir köşegen dörtgeni iki üçgene ayırır.

Bu nedenle alan sorularında:

• aynı taban,
• aynı yükseklik,
• üçgen alan oranları,
• benzerlik

kullanılabilir.

Köşegenlerle Alan İlişkisi

Köşegenleri dik olan dörtgenlerde, köşegen uzunlukları d₁ ve d₂ ise alan:

**d₁·d₂ / 2**

olabilir.

Bu bağıntı:

• eşkenar dörtgen,
• kare,
• deltoid

için kullanılır.

Dörtgende Dönüşüm Koşulları

Bir paralelkenar:

• bir açısı 90° ise dikdörtgen,
• komşu iki kenarı eşitse eşkenar dörtgen,
• hem bir açısı 90° hem komşu iki kenarı eşitse kare

olur.

Sık Karıştırılan Noktalar

1. Dörtgenin iç açıları toplamı 360°’dir.
2. Paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşittir.
3. Paralelkenarda karşılıklı açılar eşittir.
4. Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar.
5. Dikdörtgende köşegenler eşittir.
6. Dikdörtgende köşegenlerin dik olması zorunlu değildir.
7. Eşkenar dörtgende köşegenler diktir.
8. Eşkenar dörtgende köşegenlerin eşit olması zorunlu değildir.
9. Karede köşegenler hem eşit hem diktir.
10. Yamukta orta taban tabanların aritmetik ortalamasıdır.
11. Yamuk alanı orta taban × yükseklik olarak da bulunabilir.
12. İkizkenar yamukta köşegenler eşittir.
13. Deltoidde köşegenler diktir.
14. Deltoidde köşegenlerden biri diğerini ortalar.
15. Dörtgen kenar orta noktaları birleştirildiğinde paralelkenar oluşur.
16. Köşegenleri dik dörtgenlerde alan d₁·d₂/2 olabilir.
17. Kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Önce dörtgen türünü belirle.
2. Paralellikleri ve eşit kenarları işaretle.
3. Köşegenlerin eşit, dik veya birbirini ortalayıp ortalamadığına bak.
4. Paralelkenarda karşı açı ve komşu açı ilişkilerini kullan.
5. Dikdörtgende Pisagor ile köşegen hesabını düşün.
6. Eşkenar dörtgende yarım köşegenlerle dik üçgen kur.
7. Karede 45-45-90 üçgenini kullan.
8. Yamukta orta taban ve yükseklik kontrolü yap.
9. İkizkenar yamukta taban açıları ve köşegen eşitliğini kullan.
10. Deltoidde dik köşegenlerden yararlan.
11. Alan sorusunda şekli üçgenlere ayır.
12. Kenar orta noktaları verilmişse orta nokta paralelkenarını düşün.

Konu Özeti

• Dörtgenin iç açıları toplamı 360°’dir.
• Paralelkenarda karşı kenarlar ve karşı açılar eşittir.
• Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar.
• Dikdörtgende köşegenler eşittir.
• Eşkenar dörtgende köşegenler diktir.
• Karede köşegenler eşit ve diktir.
• Yamukta orta taban (a+b)/2’dir.
• Yamuğun alanı (a+b)h/2’dir.
• İkizkenar yamukta köşegenler eşittir.
• Deltoidde köşegenler diktir.
• Dörtgenin kenar orta noktaları birleştirildiğinde paralelkenar oluşur.
• Dik köşegenli dörtgenlerde alan d₁·d₂/2 bağıntısı kullanılabilir.