AYT Geometri Üçgenler Ders Notu

Üçgenler Ders Notu

Üçgenler, geometri sorularının temelini oluşturur. Açı, uzunluk, alan ve benzerlik sorularının büyük bölümü üçgen bilgileriyle çözülür.

İç Açıların Toplamı

Bir üçgenin iç açıları toplamı:

**180 derece**

Kısa eşleştirme:

Üçgen → 180 derece

Dış Açı

Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Ayrıca:

Dış açı + komşu iç açı = 180 derece

Kenar–Açı İlişkisi

Büyük açının karşısında büyük kenar bulunur.

Küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.

Kısa eşleştirme:

Büyük açı → büyük karşı kenar

Üçgen Eşitsizliği

Kenarlar a, b ve c ise:

**|a - b| < c < a + b**

Önemli:

Sınır değerler üçgen oluşturmaz.

İkizkenar Üçgen

İki kenarı eşittir.

Eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir.

Tabana indirilen:

• Açıortay
• Kenarortay
• Yükseklik

aynı doğru parçası olabilir.

Eşkenar Üçgen

Üç kenarı eşittir.

Bütün iç açıları:

**60 derece**

Bir kenarı a ise:

Yükseklik:

**a√3 / 2**

Alan:

**a²√3 / 4**

Dik Üçgen

Bir açısı 90 derece olan üçgendir.

90 derecenin karşısındaki kenar hipotenüstür.

Pisagor

Dik kenarlar a ve b, hipotenüs c ise:

**a² + b² = c²**

Sık kullanılan üçlüler:

• 3 - 4 - 5
• 5 - 12 - 13
• 8 - 15 - 17
• 7 - 24 - 25

45-45-90 Üçgeni

Dik kenarlar:

a ve a

Hipotenüs:

**a√2**

Kısa eşleştirme:

45-45-90 → a, a, a√2

30-60-90 Üçgeni

30 derecenin karşısı:

a

60 derecenin karşısı:

a√3

90 derecenin karşısı:

2a

Kısa eşleştirme:

30-60-90 → a, a√3, 2a

Öklid Bağıntıları

Hipotenüse indirilen yükseklik h, hipotenüs parçaları p ve q ise:

**h² = p·q**

Dik kenarlar a ve b, hipotenüs c ise:

**a² = c·p**

**b² = c·q**

Kısa eşleştirme:

Hipotenüse yükseklik → Öklid

Açıortay

Bir açıyı iki eşit açıya böler.

A köşesinden BC kenarına çizilen açıortay D noktasında kesiyorsa:

**BD / DC = AB / AC**

Önemli:

Açıortay, karşı kenarı komşu kenarlar oranında böler.

Kenarortay

Bir köşeyi karşı kenarın orta noktasıyla birleştirir.

Üç kenarortay ağırlık merkezinde kesişir.

Ağırlık Merkezi

Kenarortayları:

**2 : 1**

oranında böler.

Köşeye yakın parça daha uzundur.

Kısa eşleştirme:

Ağırlık merkezi → kenarortay → 2:1

Yükseklik

Bir köşeden karşı kenara veya uzantısına indirilen dik doğru parçasıdır.

Üç yükseklik diklik merkezinde kesişir.

Diklik merkezi:

• Dar üçgende içeride
• Dik üçgende dik köşede
• Geniş üçgende dışarıda

Orta Dikme

Bir kenarın orta noktasından geçen dik doğrudur.

Üç orta dikme çevrel çember merkezinde kesişir.

Çevrel çember merkezi köşelere eşit uzaklıktadır.

İçteğet Çember Merkezi

İç açıortayların kesişim noktasıdır.

Üç kenara eşit uzaklıktadır.

Kısa ayrım:

Köşelere eşit uzaklık → orta dikme

Kenarlara eşit uzaklık → açıortay

Üçgende Alan

Temel alan bağıntısı:

**Alan = taban × yükseklik / 2**

İki Kenar ve Aradaki Açı ile Alan

Kenarlar a ve b, aradaki açı C ise:

**Alan = a·b·sinC / 2**

Alan Oranları

Aynı yüksekliğe sahip üçgenlerde:

Alan oranı = taban oranı

Aynı tabana sahip üçgenlerde:

Alan oranı = yükseklik oranı

Benzerlik

Benzer üçgenlerde karşılıklı açılar eşit, karşılıklı kenarlar orantılıdır.

Benzerlik oranı k ise:

• Uzunluk oranı → k
• Çevre oranı → k
• Alan oranı → k²

Önemli:

Uzunluk oranı ile alan oranını karıştırma.

Benzerlik Kriterleri

• Açı–Açı
• Kenar–Açı–Kenar
• Kenar–Kenar–Kenar

Paralellik ve Benzerlik

Üçgen içinde bir kenara paralel çizilen doğru, küçük ve büyük üçgen arasında benzerlik oluşturabilir.

Kısa eşleştirme:

Paralel doğru → benzerlik

Sık Karıştırılan Noktalar

• İç açılar toplamı 180 derecedir.
• Dış açı uzak iki iç açının toplamıdır.
• Büyük açının karşısında büyük kenar bulunur.
• Üçgen eşitsizliğinde sınırlar dahil değildir.
• İkizkenarda taban açıları eşittir.
• Eşkenarda bütün açılar 60 derecedir.
• Pisagor yalnız dik üçgende kullanılır.
• 30 derecenin karşısı hipotenüsün yarısıdır.
• 45-45-90 üçgeninde hipotenüs dik kenarın √2 katıdır.
• Öklid bağıntıları hipotenüse indirilen yükseklikle ilişkilidir.
• Açıortay karşı kenarı komşu kenarlar oranında böler.
• Kenarortay karşı kenarı iki eşit parçaya böler.
• Ağırlık merkezi 2:1 oranını oluşturur.
• Orta dikmelerin kesişimi köşelere eşit uzaklıktadır.
• Açıortayların kesişimi kenarlara eşit uzaklıktadır.
• Benzerlik oranı k ise alan oranı k²’dir.
• Paralellik benzerlik oluşturabilir.

Üçgenler Kısa Özeti

İç açı toplamı → 180

Dış açı → uzak iki iç açının toplamı

Büyük açı → büyük karşı kenar

Üçgen eşitsizliği → farktan büyük, toplamdan küçük

İkizkenar → taban açıları eşit

Eşkenar → 60-60-60

45-45-90 → a, a, a√2

30-60-90 → a, a√3, 2a

Pisagor → a² + b² = c²

Öklid → hipotenüse yükseklik

Açıortay → komşu kenar oranı

Ağırlık merkezi → 2:1

Alan → taban × yükseklik / 2

Benzerlik oranı k → alan oranı k²