AYT Geometri Üçgenler Konu Anlatımı

Üçgenler

Üçgenler, AYT Geometri’nin temel konularından biridir. Birçok geometri sorusunda doğrudan üçgen bilgisi kullanılır veya daha karmaşık şekiller üçgenlere ayrılarak çözülür.

Bu konunun sonunda bir öğrencinin:

• üçgende açı ilişkilerini kullanabilmesi,
• dış açı özelliklerini uygulayabilmesi,
• kenar–açı ilişkisini yorumlayabilmesi,
• üçgen eşitsizliğini kullanabilmesi,
• özel üçgenleri tanıyabilmesi,
• dik üçgende temel bağıntıları uygulayabilmesi,
• ikizkenar ve eşkenar üçgen özelliklerini kullanabilmesi,
• açıortay, kenarortay ve yükseklik kavramlarını ayırt edebilmesi,
• alan bağıntılarını kullanabilmesi,
• benzerlik oranlarından uzunluk ve alan bulabilmesi,
• Öklid ve Pisagor bağıntılarını uygulayabilmesi,
• karma üçgen problemlerinde yardımcı çizim yapabilmesi

gerekir.

Üçgenin Temel Elemanları

Bir üçgende:

• 3 köşe,
• 3 kenar,
• 3 iç açı

bulunur.

ABC üçgeninde:

• A, B ve C köşelerdir.
• AB, BC ve AC kenarlardır.
• A, B ve C açıları iç açılardır.

Üçgende İç Açıların Toplamı

Her üçgende iç açıların toplamı:

**180 derece**

olur.

Üçgende Dış Açı

Bir üçgenin bir kenarı uzatıldığında oluşan ve iç açıya komşu olan açı dış açıdır.

Bir dış açı:

• kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

Kenar–Açı İlişkisi

Bir üçgende:

• büyük açının karşısında büyük kenar,
• küçük açının karşısında küçük kenar

bulunur.

Aynı şekilde:

• büyük kenarın karşısında büyük açı,
• küçük kenarın karşısında küçük açı

vardır.

Üçgen Eşitsizliği

Bir üçgende herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır.

Ayrıca iki kenarın farkının mutlak değeri üçüncü kenardan küçük olmalıdır.

Kenarlar a, b ve c ise:

**|a - b| < c < a + b**

Üçgen Çeşitleri

Kenarlarına Göre

• Çeşitkenar üçgen
• İkizkenar üçgen
• Eşkenar üçgen

Açılarına Göre

• Dar açılı üçgen
• Dik üçgen
• Geniş açılı üçgen

İkizkenar Üçgen

İki kenarı eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir.

Eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir.

Eşkenar Üçgen

Üç kenarı eşit olan üçgene eşkenar üçgen denir.

Eşkenar üçgende:

• bütün iç açılar 60 derecedir,
• açıortaylar, kenarortaylar ve yükseklikler aynı doğrular üzerindedir,
• yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.

Bir kenarı a olan eşkenar üçgende yükseklik:

**a√3 / 2**

Alan:

**a²√3 / 4**

Dik Üçgen

Bir açısı 90 derece olan üçgene dik üçgen denir.

Dik açının karşısındaki kenar hipotenüstür.

Diğer iki kenara dik kenarlar denir.

Pisagor Teoremi

Dik üçgende:

**dik kenar² + dik kenar² = hipotenüs²**

a ve b dik kenar, c hipotenüs ise:

**a² + b² = c²**

Özel Dik Üçgenler

Sık kullanılan Pisagor üçlüleri:

• 3 - 4 - 5
• 5 - 12 - 13
• 8 - 15 - 17
• 7 - 24 - 25
• 9 - 12 - 15

Bu üçlülerin katları da dik üçgen oluşturur.

45-45-90 Üçgeni

Dik ikizkenar üçgendir.

Dik kenarlar:

**a ve a**

Hipotenüs:

**a√2**

30-60-90 Üçgeni

Açıları 30, 60 ve 90 derecedir.

30 derecenin karşısındaki kenar a ise:

• 60 derecenin karşısı a√3
• 90 derecenin karşısı 2a

olur.

Dik Üçgende Öklid Bağıntıları

Dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik, hipotenüsü iki parçaya ayırır.

Hipotenüs parçaları p ve q, yükseklik h ise:

**h² = p·q**

Dik kenarlar a ve b, hipotenüs c ise:

**a² = c·p**

**b² = c·q**

Üçgende Açıortay

Bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasına açıortay denir.

İç açıortay teoremine göre:

A köşesinden BC kenarına çizilen açıortay D noktasında kesiyorsa:

**BD / DC = AB / AC**

Dış Açıortay

Bir dış açıyı iki eşit parçaya bölen doğruya dış açıortay denir.

Dış açıortay teoreminde de komşu kenarların oranı karşı kenarın dıştan bölünme oranıyla ilişkilidir.

Kenarortay

Bir köşeyi karşı kenarın orta noktasıyla birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.

Bir üçgende üç kenarortay bir noktada kesişir.

Bu noktaya ağırlık merkezi denir.

Ağırlık Merkezi

Ağırlık merkezi kenarortayları:

**2 : 1**

oranında böler.

Köşeye yakın parça, kenara yakın parçanın 2 katıdır.

Yükseklik

Bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına indirilen dik doğru parçasına yükseklik denir.

Üç yükseklik bir noktada kesişir.

Bu noktaya diklik merkezi denir.

Diklik merkezi:

• dar açılı üçgende üçgenin içinde,
• dik üçgende dik açılı köşede,
• geniş açılı üçgende üçgenin dışında

bulunur.

Orta Dikme

Bir kenarın orta noktasından geçen ve o kenara dik olan doğruya orta dikme denir.

Üç orta dikme çevrel çember merkezinde kesişir.

Çevrel çember merkezi:

• üç köşeye eşit uzaklıktadır.

İçteğet Çember Merkezi

Üç iç açıortayın kesişim noktasıdır.

Bu nokta üç kenara eşit uzaklıktadır.

Üçgende Alan

Bir üçgenin alanı:

**taban × yükseklik / 2**

bağıntısıyla bulunur.

İki Kenar ve Aradaki Açı ile Alan

İki kenar a ve b, aralarındaki açı C ise:

**Alan = a·b·sinC / 2**

Özel açılar kullanılarak alan kolayca bulunabilir.

Eş Yükseklikli Üçgenlerde Alan

Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları tabanlarıyla orantılıdır.

Aynı tabana sahip üçgenlerin alanları yükseklikleriyle orantılıdır.

Benzer Üçgenler

Karşılıklı açıları eşit, karşılıklı kenarları orantılı üçgenler benzerdir.

Benzerlik oranı k ise:

• çevre oranı k,
• karşılıklı uzunlukların oranı k,
• alan oranı k²

olur.

Benzerlik Kriterleri

Açı–Açı

İki açısı eşit olan üçgenler benzerdir.

Kenar–Açı–Kenar

İki kenar oranı eşit ve aradaki açı eşitse üçgenler benzerdir.

Kenar–Kenar–Kenar

Karşılıklı üç kenar orantılıysa üçgenler benzerdir.

Eş Üçgenler

Karşılıklı bütün kenar ve açıları eşit olan üçgenler eştir.

Eşlikte benzerlik oranı 1’dir.

Paralellik ve Benzerlik

Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, genellikle küçük üçgen ile büyük üçgen arasında benzerlik oluşturur.

Açı Kenar Bağıntılarıyla Problem Çözme

Bir geometri sorusunda:

• eşit açıları işaretlemek,
• paralel doğrulardan açı taşımak,
• ikizkenar üçgen aramak,
• özel dik üçgenleri fark etmek,
• benzerlik oluşturmak

çözümü hızlandırır.

Yardımcı Çizim

Bazı üçgen sorularında doğrudan verilen şekil yeterli görünmez.

Yardımcı çizim olarak:

• yükseklik,
• açıortay,
• kenarortay,
• paralel doğru,
• eşit uzunluk oluşturacak parça

çizilebilir.

Sık Karıştırılan Noktalar

1. İç açılar toplamı 180 derecedir.
2. Bir dış açı, uzak iki iç açının toplamıdır.
3. Büyük açının karşısında büyük kenar bulunur.
4. Üçgen eşitsizliğinde sınırlar dahil değildir.
5. İkizkenarda eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir.
6. Eşkenar üçgende bütün açılar 60 derecedir.
7. 30-60-90 üçgeninde 30 derecenin karşısı hipotenüsün yarısıdır.
8. 45-45-90 üçgeninde hipotenüs dik kenarın √2 katıdır.
9. Pisagor yalnız dik üçgende kullanılır.
10. Öklid bağıntıları dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklikle ilişkilidir.
11. Açıortay karşı kenarı komşu kenarlar oranında böler.
12. Kenarortay karşı kenarı iki eşit parçaya böler.
13. Ağırlık merkezi kenarortayı 2:1 oranında böler.
14. Orta dikmelerin kesişimi köşelere eşit uzaklıktadır.
15. İç açıortayların kesişimi kenarlara eşit uzaklıktadır.
16. Benzerlik oranı k ise alan oranı k²’dir.
17. Paralellik çoğu zaman benzerlik oluşturur.
18. Aynı yükseklikli üçgenlerde alan oranı taban oranına eşittir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Şekilde verilen bütün açı ve kenar bilgilerini işaretle.
2. Önce açı toplamlarını kontrol et.
3. Eşit açı veya eşit kenar varsa ikizkenar üçgen ara.
4. Dik açı varsa Pisagor ve özel üçgenleri kontrol et.
5. Paralel doğru varsa benzerlik ara.
6. Açıortay varsa açıortay teoremini kontrol et.
7. Kenarortay varsa ağırlık merkezi veya alan ilişkisini düşün.
8. Hipotenüse indirilen yükseklik varsa Öklid bağıntılarını düşün.
9. Alan sorusunda aynı taban veya aynı yükseklik olup olmadığını kontrol et.
10. Benzerlikte uzunluk oranı ile alan oranını karıştırma.
11. Kenar değerlerinde üçgen eşitsizliğini unutma.
12. Gerekirse yardımcı çizim yap.

Konu Özeti

• Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
• Dış açı uzak iki iç açının toplamıdır.
• Büyük açının karşısında büyük kenar bulunur.
• Üçüncü kenar iki kenarın farkından büyük, toplamından küçüktür.
• İkizkenarda taban açıları eşittir.
• Eşkenarda bütün açılar 60 derecedir.
• Dik üçgende Pisagor bağıntısı kullanılır.
• 30-60-90 ve 45-45-90 üçgenleri temel özel üçgenlerdir.
• Dik üçgende Öklid bağıntıları hipotenüs parçalarıyla kullanılır.
• Açıortay karşı kenarı komşu kenarlar oranında böler.
• Ağırlık merkezi kenarortayları 2:1 oranında böler.
• Alan taban × yükseklik / 2’dir.
• Benzerlik oranı k ise alan oranı k²’dir.
• Üçgen içinde paralel doğru genellikle benzerlik oluşturur.