Asal Çarpanlar, EBOB ve EKOK Konu Anlatımı

Asal Çarpanlar, EBOB ve EKOK – KPSS Ortaöğretim Matematik

Konuya Giriş

KPSS'de asal sayı, asal çarpanlara ayırma, pozitif bölen sayısı, en büyük ortak bölen (EBOB) ve en küçük ortak kat (EKOK) konuları genellikle çok adımlı sorular içinde birlikte kullanılır. Bölme ve bölünebilme konusundaki bilgilerin burada da gerekli olduğunu unutma.

1. Asal sayılar ve çarpanlara ayırma

Sırasıyla 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 gibi asal sayılarla bölme yaparak asal çarpanlara ulaşılır. Örneğin:

**180 = 2² × 3² × 5**.

Bu gösterimde farklı asal çarpan sayısı **3**, asal çarpanların üsleri toplamı **5**, asal çarpanlar toplamı **10** olur. Bunlar farklı sorulardır.

2. Pozitif bölen sayısı

N = pᵃ × qᵇ × rᶜ biçiminde, p, q, r farklı asal sayıysa pozitif bölen sayısı:

**d(N) = (a+1)(b+1)(c+1)**.

Bu formül pozitif bölenler içindir. Negatif bölenler de soruluyorsa pozitif bölen sayısının iki katı olur. Yalnızca çift bölenleri sayarken 2'nin üssü en az bir olmalı; yalnızca tek bölenleri sayarken 2 çarpanı hiç kullanılmamalıdır.

3. EBOB – ortak ölçü ve en büyük eş parça

İki veya daha fazla doğal sayının ortak pozitif bölenleri arasındaki **en büyük** sayıya EBOB denir. Asal çarpanlar kullanılırken **ortak asal tabanların küçük üsleri** alınır:

72 = 2³ × 3² 120 = 2³ × 3 × 5

**EBOB(72,120) = 2³ × 3 = 24**.

İki sayının EBOB'u 1 ise sayılar **aralarında asaldır**. Bunun için her iki sayının da ayrı ayrı asal olması gerekmez: 14 ve 25 aralarında asaldır.

4. EKOK – ortak zaman ve tekrar

Birden fazla sayının ortak pozitif katları arasındaki en küçüğüne EKOK denir. Asal çarpanlarda **görülen bütün asal tabanların büyük üsleri** alınır:

72 = 2³ × 3² 120 = 2³ × 3 × 5

**EKOK(72,120) = 2³ × 3² × 5 = 360**.

Örneğin 12 ve 18 dakikada bir aynı noktaya dönen araçlar ilk kez **EKOK(12,18)=36 dakika** sonra birlikte döner.

5. EBOB × EKOK bağıntısı

İki pozitif tam sayı için:

**a × b = EBOB(a,b) × EKOK(a,b)**.

Örneğin EBOB(a,b)=12 ve EKOK(a,b)=180 ise a×b=2160'tır. Bir sayı da verilirse diğer sayı bu eşitlikle bulunabilir. İlişki **iki sayı** içindir; üç sayıya doğrudan aynı biçimde uygulanmaz.

6. Ortak bölenin gerçekte ne anlama geldiğini çözümleme

180 cm ve 252 cm ölçülerindeki dikdörtgen yüzeyleri aynı kenarlı en büyük karelerle döşeme probleminde kare kenarı EBOB(180,252)=36 cm olmalıdır. Gerekli kare sayısı 180/36 × 252/36 = 5 × 7 = **35** olarak bulunur.

Sık Karıştırılan Noktalar

• **1 asal değil**, 2 ise tek çift asal sayıdır.
• **EBOB'da küçük üs**, **EKOK'ta büyük üs** alınır.
• **Aralarında asal sayılar** birbirleriyle ortak asal çarpanı olmayan sayılardır; kendilerinin asal olması gerekmez.
• **Pozitif bölen sayısı** ile farklı asal çarpan sayısı aynı değildir.
• Bir sayının negatif bölenleri de dâhilse sayı iki katına çıkar; yalnızca pozitif bölen soruluyorsa çıkarılmaz.
• Ortak döngü sorularında başlangıçta birlikte olma anını yeniden buluşma olarak sayma.
• EBOB×EKOK=a×b eşitliğini **üç sayıya aynen taşımak yanlıştır**.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. İfadeyi sınıflandır: asal sayı mı, bölen sayısı mı, ortak bölen mi, ortak kat mı?
2. Gerekliyse sayıları en küçük asal çarpanlarından başlayarak ayır.
3. EBOB için ortak asal çarpanları küçük üsleriyle, EKOK için tüm asal çarpanları büyük üsleriyle yaz.
4. Fiziksel problemde sonucu anlamlandır: bulunan değer tek parça boyu mu, geçen dakika mı, kutu sayısı mı?
5. Sonucun iki sayıyı da bölüp bölmediğini ya da her ikisinin katı olup olmadığını kontrol et.

Konu Özeti

Asal çarpanları belirle; bölen sayısında üsleri bir artırıp çarp; EBOB için **ortak taban–küçük üs**, EKOK için **tüm tabanlar–büyük üs** kullan. İki sayı için **a×b=EBOB×EKOK** bağıntısını denetle.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• Bir sayının asal olup olmadığını ayırt edebilmelisin.
• Asal çarpanları üslü biçimde yazabilmelisin.
• Pozitif/tek/çift bölen sayılarını ayırabilmelisin.
• EBOB ve EKOK'u hesaplayıp problemde neden kullanıldığını açıklayabilmelisin.
• İki sayının çarpım bağıntısıyla eksik veriyi bulabilmelisin.