Bölme ve Bölünebilme Konu Anlatımı

Bölme ve Bölünebilme – KPSS Ortaöğretim Matematik

Konuya Giriş

Bölme, bir tam sayıyı başka bir pozitif tam sayıyla paylaştırırken **bölüm** ve **kalan** kavramlarını kullanır. KPSS'de bir sayının belli bölenlerle bölümünden kalanını, eksik rakamları, birden fazla bölünebilme şartını ve büyüyen ifadelerin kalanlarını birlikte değerlendirmek gerekir.

1. Kalanlı bölmenin temeli

Örneğin **157 = 9×17 + 4** olduğundan 157'nin 9 ile bölümünde bölüm 17, kalan 4'tür. 9'a bölmede kalan 9 olamaz; kalan en çok 8 olabilir. Kalanı soran işlemlerde tüm bölmeyi uzun uzun yapmak yerine uygun bir kat çıkarılabilir.

2. 2, 5, 10 ve 25 ile bölünebilme

• **2:** Son rakam 0, 2, 4, 6 veya 8.
• **5:** Son rakam 0 veya 5.
• **10:** Son rakam 0.
• **25:** Son iki basamak 00, 25, 50 veya 75.
• **4:** Son iki basamak 4'e tam bölünür.
• **8:** Son üç basamak 8'e tam bölünür.

3. 3 ve 9 ile bölünebilme

• **3:** Rakamları toplamı 3'ün katıysa sayı 3'e tam bölünür.
• **9:** Rakamları toplamı 9'un katıysa sayı 9'a tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalanla aynıdır. Örneğin 735'in rakamları toplamı 15'tir; 15'in 9 ile bölümünden kalan **6** olduğundan 735'in kalanı da 6'dır.

4. 6, 12 ve 15 ile bölünebilme

• **6:** Hem 2'ye hem 3'e bölünmelidir.
• **12:** Hem 3'e hem 4'e bölünmelidir.
• **15:** Hem 3'e hem 5'e bölünmelidir.

İki koşulu tek başına sağlamak yetmez: Örneğin bir sayı 2'ye bölünüp 3'e bölünmüyorsa 6'ya tam bölünmez. Koşullar birlikte değerlendirilir.

5. 11 ile bölünebilme

Bir sayının rakamları sağdan veya soldan sırayla **artı–eksi** işaretleriyle toplanır. Elde edilen fark 11'in katıysa sayı 11'e tam bölünür. Örnek: 4.928 için (4+2)−(9+8)=−11; bu sayı 11'e bölünür. İşaretleri ters seçmek yalnız sonucun işaretini değiştirir, bölünebilirlik sonucunu değiştirmez.

6. İşlemlerin kalanları

A'nın B'ye bölümünden kalan r ise **A ≡ r (mod B)** diye yazılabilir. Kalanlar aynı bölen altında toplanabilir veya çarpılabilir:

• A'nın kalanı r, C'nin kalanı s ise **A+C** için kalan, r+s'nin B'ye bölümünden kalandır.
• **A×C** için kalan, r×s'nin B'ye bölümünden kalandır.
• **A²** için kalan, r²'nin B'ye bölümünden kalandır.

Örnek: N'nin 7 ile bölümünden kalan 4 ise **3N+5** sayısının kalanı 3×4+5=17'nin 7'ye bölümünden kalan **3**'tür.

7. Büyük üslerin kalanını bulma

Kuvvetlerin kalanları çoğu zaman tekrar eden bir döngü oluşturur. 2'nin 7 ile bölümündeki kuvvet kalanı sırası 2,4,1,2,4,1… biçimindedir. Üs 3'ün katıysa kalan 1, bir fazlasıysa 2, iki fazlasıysa 4 olur. Büyük üslerin kendisini hesaplamak gerekmez.

8. Birden fazla bölen ve en küçük sayı

Bir sayı 6 ile bölününce 4, 9 ile bölününce 7 kalanını veriyorsa iki koşulu da sağlayan sayıları düzenli olarak aranır. Özellikle **aynı kalan** varsa sayıdan bu kalan çıkarıldığında ilgili bölenlerin ortak katı bulunmalıdır. Örneğin 8 ve 6 ile bölümünden 5 kalanını veren bir sayı **24k+5** biçimindedir.

Sık Karıştırılan Noktalar

1. **Bölünebilme ile kalan aynı şey değildir.** 9'a bölmede kalan 6 ise sayı 9'a tam bölünmüyor demektir.
2. **4'e bölmede son iki, 8'e bölmede son üç basamağa bakılır.** Bütün rakamları toplamak 3 ve 9 için uygundur; 4 ve 8 için değil.
3. **6'ya bölünmek için çift olmak yetmez.** Rakamlar toplamının da 3'ün katı olması gerekir.
4. **Kalan hiçbir zaman bölen kadar veya daha büyük olamaz.** 7'ye bölümde kalan 7 gösteriliyorsa bir kat daha çıkarılmalıdır.
5. **Negatif ara farklar yanıltmasın.** 11 kuralında −11 de 11'in katıdır; sayı tam bölünür.
6. **“En küçük pozitif” ile “kaç farklı” ayrı sorulardır.** Sonuç bulmadan önce verilen sayı aralığı ve rakam sınırları denetlenmelidir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

**1.** Soruda bölen ve kalan açıkça verilmişse **A=BQ+R** yaz; R için 0≤R<B şartını kontrol et.

**2.** Bölünebilme testi varsa uygun yöntemi seç: 2/5/10 son basamak; 4/25 son iki basamak; 8 son üç basamak; 3/9 rakam toplamı; 11 dönüşümlü toplam.

**3.** Birden fazla kural varsa koşulların **kesişimini** bul. Örneğin 4a6 sayısı 6'ya bölünecekse çiftlik tamamdır, ayrıca 4+a+6'nın 3'ün katı olması gerekir.

**4.** Bilinmeyen rakamları bulduğunda 0–9 aralığında olup olmadıklarına bak. İstenen “kaç tane” ise bütün adayları sistematik say.

**5.** Büyük sayının kalanını ararken sayıyı üretme; küçük kalanlarla işlem yap. Son adımda kalan bölenin altına indirilmiş olmalı.

Konu Özeti

Bölme ve bölünebilmede temel eşitlik A=BQ+R'dir. Son basamak kuralları, rakam toplamı, 11'in dönüşümlü toplamı, kalanların cebiri ve düzenli ortak kat araması soru çözümünün omurgasını oluşturur.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

1. Bölme eşitliğinden bölüm ve kalanı doğru bulabilmek.
2. 2,3,4,5,6,8,9,10,11,12,15,25 kurallarını yerinde kullanabilmek.
3. Eksik rakamlı bir sayıda birkaç bölünebilme şartını birlikte çözebilmek.
4. Toplama, çarpma ve üs işlemlerinin kalanını hesaplayabilmek.
5. Birden çok kalanı sağlayan sayıların sayısını veya en küçüğünü bulabilmek.