Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma İşlemleri | Konu Anlatımı

Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma İşlemleri — LGS Matematik Konu Anlatımı

Bu Konuda Neler Öğreneceğiz?

Kareköklü ifadelerle toplama ve çıkarma işlemlerinin en önemli şartı, **benzer köklü terimleri** ayırt etmektir. Örneğin **2√3+5√3=7√3** yazabiliriz; çünkü kök içleri aynıdır. Buna karşılık **√2+√3** tek bir karekök hâline getirilemez. İlk bakışta kök içleri farklı olsa bile sadeleştirmeden sonra aynı hâle gelebilirler: **√12+√27=2√3+3√3=5√3**.

Bu derste kökleri sadeleştirmeyi, katsayıları doğru toplamayı veya çıkarmayı, işaretleri korumayı ve uzunluk–çevre problemlerini çözmeyi öğreneceğiz. LGS'de özellikle birden fazla köklü uzunluğun birleştirildiği, bir parçasının çıkarıldığı ya da bir katsayının bulunmasının istendiği sorularda bu yöntem işe yarar.

1. Benzer Köklü Terimler Nedir?

**Kök içindeki sayı aynıysa** terimler benzerdir. Örneğin **3√2** ile **7√2** benzerdir; **5√3** ile **2√3** benzerdir. Benzer terimlerde kök içindeki sayı değiştirilmeden, yalnızca kök dışındaki katsayılar işleme alınır.

Benzerliği kontrol ederken kök içlerinin **en sade biçimine** bakmalıyız. Örneğin **√8** ve **√18** ilk bakışta farklı köklere sahiptir; fakat √8=2√2 ve √18=3√2 olduğu için ikisi benzer terime dönüşür.

| İlk ifade | Sade biçimi | Diğer ifade | Sade biçimi | Benzer mi? | |---|---|---|---|---| | √12 | 2√3 | √27 | 3√3 | Evet | | √8 | 2√2 | √50 | 5√2 | Evet | | √20 | 2√5 | √45 | 3√5 | Evet | | √18 | 3√2 | √75 | 5√3 | Hayır | | √28 | 2√7 | √63 | 3√7 | Evet | | √32 | 4√2 | √12 | 2√3 | Hayır |

Buradaki “benzer” sözcüğü **değeri eşit** demek değildir. 2√3 ile 3√3 farklı sayılardır, ama aynı köklü birimi taşıdıkları için toplanıp çıkarılabilirler.

2. Aynı Köklü İfadelerin Toplanması

**a√b+c√b=(a+c)√b** eşitliğinde, b≥0 olur. Dış katsayılar toplanır; **√b aynı kalır**.

Örnekler:

• 2√3+5√3=(2+5)√3=**7√3**.
• 3√2+4√2=(3+4)√2=**7√2**.
• √5+6√5=(1+6)√5=**7√5**.
• 6√11+2√11=**8√11**.
• 2√10+3√10=**5√10**.

Katsayısı ayrıca yazılmayan √b ifadesinin katsayısı **1'dir**. Dolayısıyla √5+6√5 işleminde 1+6=7 yaparız.

Bu yöntemi benzer nesnelerin toplamı gibi düşünebilirsin: 2 kalem+5 kalem=7 kalem. Burada “kalem” sözcüğünün yerinde **√3** bulunur. Kök içini toplamayız; aynı köklü terimden kaç tane bulunduğunu sayarız.

3. Aynı Köklü İfadelerin Çıkarılması

**a√b−c√b=(a−c)√b** eşitliğinde kök içi sabit kalır, dış katsayılar birbirinden çıkarılır.

• 8√3−3√3=**5√3**.
• 9√2−4√2=**5√2**.
• 10√5−6√5=**4√5**.
• 7√7−2√7=**5√7**.
• 12√11−5√11=**7√11**.

Çıkarma işleminde sayıların sırası önemlidir: **3√2−5√2=−2√2** olur; 2√2 yazmak yanlış olur. Eksi işareti köklü terimin parçasıdır. Soruda sonuç pozitif istenmiyorsa negatif değer de geçerli olabilir.

İki terim birbirinin aynısıysa fark **0** olur: **5√3−5√3=0**. Bu, kök içinde 0 yazmaktan daha sade ve doğru bir sonuçtur.

4. Önce Sadeleştir, Sonra Topla

Soru doğrudan √12+√27 biçiminde verildiyse kök içleri aynı görünmez. İlk aşamada tam kare çarpanlar dışarı çıkarılır:

**√12+√27=√(4×3)+√(9×3)=2√3+3√3=5√3.**

Başka örnekler:

• √8+√18=2√2+3√2=**5√2**.
• √20+√45=2√5+3√5=**5√5**.
• √28+√63=2√7+3√7=**5√7**.
• √32+√50=4√2+5√2=**9√2**.

Her örnekteki sonuç, **kök dışına çıkarma** kazanımıyla doğrudan bağlantılıdır. Kök içinde kalacak sayıyı doğru seçemezsen benzerliği fark edemeyebilirsin.

5. Önce Sadeleştir, Sonra Çıkar

Çıkarma işleminde de aynı yöntem uygulanır. Önce her kökü en sade biçimde yaz, ardından katsayıları çıkar.

**√75−√12=5√3−2√3=3√3**.

**√98−√8=7√2−2√2=5√2**.

**√80−√20=4√5−2√5=2√5**.

**√147−√27=7√3−3√3=4√3**.

**√108−√27=6√3−3√3=3√3**.

Burada önemli bir ayrım var: √75−√12, **√(75−12)=√63** değildir. Doğru sonuç 3√3'tür. Çünkü karekök işareti toplama veya çıkarma üzerinde dağıtılarak birleştirilemez.

6. Benzer Olmayan Köklerle Ne Yapılır?

**√2+√3** ifadesini daha fazla toplayamayız. İki kök farklı en sade kök içlerine sahip olduğu için bu ifade **√2+√3** olarak kalır. Aynı şekilde **4√2−3√5** ifadesi benzer olmadığı için tek bir köklü terime indirgenemez.

Bir doğal sayı ile köklü terim de normalde tek kökte birleştirilmez: **3+2√2** ifadesi bu hâliyle kalır. **3√2** ile **2√2** ise benzerdir ve 5√2 sonucunu verir. Sayıların yanına gelen kök işareti temel farktır.

Bu ayrımı kendi kendine kontrol etmek için örnek değerleri kullanabilirsin. √2 yaklaşık 1,414 ve √3 yaklaşık 1,732'dir. Toplamları yaklaşık 3,146 eder; √5 ise yaklaşık 2,236'dır. Dolayısıyla √2+√3=√5 olamaz. Ancak yaklaşık sayılar yalnız **kontrol** içindir; sınavda kesin köklü ifadeyi yazmak gerekir.

7. Üç ve Daha Fazla Terimde İşlem

Çok terimli ifadelerde aynı köklü birimlere ait katsayıları toplarız. Bazı terimlerin başında eksi işareti olabilir. İşlem sırası ve işaretler korunmalıdır.

**Örnek 1:** 3√2+√8−√18=3√2+2√2−3√2=**2√2**.

**Örnek 2:** 2√3+√27−√12=2√3+3√3−2√3=**3√3**.

**Örnek 3:** 4√5+√45−√20=4√5+3√5−2√5=**5√5**.

**Örnek 4:** 5√7−√63+√28=5√7−3√7+2√7=**4√7**.

**Örnek 5:** √200−√50+4√2=10√2−5√2+4√2=**9√2**.

Bir terimin başında “−” varsa onu o terimle birlikte düşün. Örneğin **3√12−√27+√3** işleminde 6−3+1=4 olduğundan sonuç 4√3'tür. Yanlışlıkla 6−(3+1) yapılmamalıdır; çünkü parantez verilmemiştir.

8. Parantezli İfadelerde Eksi İşareti

Parantez içinde toplama veya çıkarma bulunuyorsa önce parantezin gerektirdiği işlemleri takip ederiz. Parantezin önünde eksi işareti varsa içindeki terimlerin işaretleri değişebilir:

**7√3−(2√3+√3)=7√3−3√3=4√3.**

**8√2−(3√2−√2)=8√2−2√2=6√2.**

**(√72+√50)−√8=(6+5−2)√2=9√2.**

**(3√12−√27)+√75=(6−3+5)√3=8√3.**

Dağıtma yapılacaksa **−(a+b)=−a−b** ve **−(a−b)=−a+b** kuralları geçerlidir. Bu kurallar köklü ifadelerde de değişmez.

9. Katsayı Bilinmiyorsa Nasıl Bulunur?

Benzer köklerden oluşan bir eşitlikte kök içleri aynı olduğundan katsayılar eşitlenir. Bu, birinci dereceden basit denkleme dönüşür.

• **a√3+2√3=9√3** ⇒ a+2=9 ⇒ **a=7**.
• **4√2−b√2=√2** ⇒ 4−b=1 ⇒ **b=3**.
• **√12+c√3=7√3** ⇒ 2+c=7 ⇒ **c=5**.
• **d√5−√45=2√5** ⇒ d−3=2 ⇒ **d=5**.
• **√72+e√2=10√2** ⇒ 6+e=10 ⇒ **e=4**.
• **f√7+√28=9√7** ⇒ f+2=9 ⇒ **f=7**.

Başlangıçta kök içlerinin farklı olduğu sorularda da önce **sadeleştirme**, sonra **katsayı eşitliği** yapılır. Bilinmeyenin pozitif tam sayı olduğu belirtilmişse bulduğun sonucu bu koşulla kontrol et.

10. Dikdörtgenin Çevresinde Köklü Uzunluklar

Bir dikdörtgenin çevresi **2×(uzun kenar+kısa kenar)** ile bulunur. Kenar uzunlukları köklü sayılar olduğunda önce her birini en sade biçimde yazabilirsin.

**Örnek 1:** Dikdörtgenin kenarları √18 cm ve √8 cm olsun. √18=3√2, √8=2√2. Çevre **2(3√2+2√2)=10√2 cm** olur.

**Örnek 2:** Kenarları √200 cm ve √72 cm olan dikdörtgenin çevresi 2(10√2+6√2)=**32√2 cm** olur.

**Örnek 3:** Bir karenin kenarı √50 cm iken her kenarı √8 cm artırılsın. Yeni kenar √50+√8=5√2+2√2=7√2 cm; yeni çevre **4×7√2=28√2 cm** olur.

**Örnek 4:** Kenarı √98 cm olan karenin her kenarı 2√2 cm artırılırsa yeni kenar 7√2+2√2=9√2 cm, yeni çevre **36√2 cm** olur.

Kenar birimi **cm** olduğundan çevre birimi de **cm** olur. Alan sorularında birim cm² olacaktı; burada uzunlukların toplamını buluyoruz.

11. Kurdele, İp ve Yol Problemleri

Uzunluklar toplanırken veya bir parça kesilip çıkarılırken benzer köklü terimler kullanılır.

**Örnek A:** √75 m ve √12 m uzunluğundaki iki kurdele birleştirilirse toplam 5√3+2√3=**7√3 m** olur.

**Örnek B:** √98 m uzunluğundaki ipten √8 m kesilirse kalan 7√2−2√2=**5√2 m** olur.

**Örnek C:** √243 m ve √75 m ip birleştirilip √12 m kesilirse kalan 9√3+5√3−2√3=**12√3 m** olur.

**Örnek D:** √363 m ve √48 m uzunluğundaki kurdeleler birleştirilip √75 m kesilirse kalan 11√3+4√3−5√3=**10√3 m** olur.

“Birleştirme” **toplama**, “kesme/azaltma” **çıkarma** işlemine karşılık gelir. Farklı uzunlukların gerçekten aynı birimde ifade edildiğinden emin ol. Santimetre ve metre verilen sayıları birim dönüştürmeden doğrudan toplayamazsın.

12. Karşılaştırma ile Sonucu Kontrol Etme

Örneğin √98−√8=5√2 işleminin doğru olup olmadığını sayıları yaklaşık değerlendirerek kontrol edebilirsin: √98≈9,90 ve √8≈2,83; fark yaklaşık 7,07'dir. **5√2≈7,07** olduğundan sonuçla uyumludur.

Ancak bu kontrol tam çözümün yerine geçmez. **Doğru sonuç en sade köklü biçimde** yazılmalıdır. Özellikle işlem sonucu negatif olabilecekse işaretin korunup korunmadığını kontrol et.

Bir başka kontrol, toplanan terimleri geri çıkarmaktır: **√12+√27=5√3** ise **5√3−√12=3√3=√27** olmalıdır. Gerçekten sonuç aynı sayıyı verir.

Sık Karıştırılan Noktalar

1. **Kök içleri toplanıyor:** √12+√27=√39 değildir; doğrusu **5√3**.
2. **Kök içleri çıkarılıyor:** √75−√12=√63 değildir; doğrusu **3√3**.
3. **Sadeleştirme yapılmıyor:** √8+√18 benzemez sanılabilir; aslında ikisi √2 türündendir.
4. **Kök dışı 1 unutuluyor:** √5+6√5=(1+6)√5=**7√5**.
5. **Eksi işareti kayboluyor:** 2√3−5√3=**−3√3**.
6. **Parantez eksiyle açılmıyor:** a−(b+c)=a−b−c olmalıdır.
7. **Benzer olmayanlar zorla birleştiriliyor:** √2+√3, √5 değildir; bu hâliyle kalır.
8. **Çevre formülü yanlış kullanılıyor:** Dikdörtgenin çevresi iki kenarın toplamının iki katıdır.
9. **Çevre ile alan birimi karıştırılıyor:** Çevre cm, alan cm² ile ifade edilir.
10. **Katsayı eşitliği yanlış kuruluyor:** √12+a√3=7√3 için √12=2√3 olduğundan a=5'tir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. **Önce ifadeleri sadeleştir:** Kök içindeki tam kareleri dışarı çıkar.
2. **Benzer terimleri belirle:** Aynı en sade kök içlerine sahip olanları grupla.
3. **İşaretleri kaybetme:** Eksi işaretini o terimle birlikte taşı.
4. **Katsayıları işle:** Toplama veya çıkarma yap; ortak kök içini koru.
5. **Benzer olmayanları olduğu gibi bırak:** Toplayamıyorsan kök içlerini zorla birleştirme.
6. **Parantez varsa dikkat et:** Önünde eksi varsa içteki tüm işaretleri değiştir.
7. **Problem türünü oku:** Birleştirme/toplam yol toplama; kesme/fark çıkarma; çevre bütün kenarların toplamıdır.
8. **Sonucu kontrol et:** En sade mi, işaret doğru mu, birim doğru mu?

Konu Özeti

• **Benzer kökler:** Sadeleştirme sonrasında kök içi aynı olan terimlerdir.
• **Toplama:** a√b+c√b=(a+c)√b.
• **Çıkarma:** a√b−c√b=(a−c)√b.
• **Önce sadeleştir:** √12+√27=2√3+3√3=5√3.
• **Benzer olmayan kökler:** √2+√3 genel olarak bu hâliyle kalır.
• **İşaretler:** Negatif katsayı korunur; parantez önündeki eksi içerideki işaretleri değiştirir.
• **Uygulamalar:** Toplam uzunluk, kalan ip ve çevre soruları benzer köklerin toplamına/çıkarımına dönüşebilir.
• **Birim:** Çevre ve uzunluk cm veya m; alan cm² veya m² olarak yazılır.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• [ ] **2√3+5√3=7√3** işleminin neden doğru olduğunu açıklayabiliyorum.
• [ ] **√8+√18=5√2** sonucunu önce sadeleştirerek bulabiliyorum.
• [ ] **√75−√12=3√3** işlemini doğru gerçekleştirebiliyorum.
• [ ] **√2+√3** ifadesinin niçin √5 olamayacağını biliyorum.
• [ ] **2√3−5√3=−3√3** ifadesinde eksi işaretini koruyabiliyorum.
• [ ] Üç veya daha çok terimde katsayıları doğru toplayıp çıkarabiliyorum.
• [ ] Bilinmeyenli köklü eşitlikleri katsayı eşitliğine dönüştürebiliyorum.
• [ ] Kenarları köklü verilen dikdörtgenin çevresini bulabiliyorum.
• [ ] İp veya kurdele birleştirme–kesme problemlerinde işlemleri doğru seçebiliyorum.
• [ ] Sonucun en sade hâlini, işaretini ve birimini kontrol edebiliyorum.

Bu beceriler, kareköklü ifadeleri içeren cebirsel işlem ve yeni nesil problem sorularında gerekli temeli oluşturur.