Kareköklü İfadeleri a√b Biçiminde Yazma ve Katsayıyı Kök İçine Alma | Ders Notu

Kareköklü İfadeleri a√b Biçiminde Yazma — LGS Matematik Ders Notu

Temel Kavram

Karekök içindeki sayı bir tam kare ile başka bir sayının çarpımı biçiminde yazılabiliyorsa tam kare dışarı çıkarılabilir. Örneğin **72=36×2** olduğu için **√72=√36×√2=6√2**. Bu yazılışta sayı aynı kalır; yalnızca gösterimi değişir.

Kök içinden çıkarma kuralı: **√(a²b)=a√b** (a≥0, b≥0). Kök içine alma kuralı: **a√b=√(a²b)** (a≥0, b≥0). Bu iki işlem birbirinin tersidir.

En Sade Gösterime Ulaşma

Bir sayıyı kök dışına çıkarırken 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 gibi tam kareleri ararız. **En sade biçim**, kök içinde 1'den büyük tam kare çarpan bulunmayan biçimdir.

| İfade | Ayrıştırma | En sade yazılış | |---|---|---| | √18 | √(9×2) | 3√2 | | √27 | √(9×3) | 3√3 | | √45 | √(9×5) | 3√5 | | √48 | √(16×3) | 4√3 | | √72 | √(36×2) | 6√2 | | √108 | √(36×3) | 6√3 | | √180 | √(36×5) | 6√5 | | √200 | √(100×2) | 10√2 | | √252 | √(36×7) | 6√7 | | √288 | √(144×2) | 12√2 |

Küçük bir tam kareyle başlanırsa işlem sürdürülebilir. Örneğin **√48=2√12=2×2√3=4√3**. **2√12** değerce doğrudur; ancak en sade değildir.

Katsayıyı Kök İçine Alma

Kök dışında **a** katsayısı varsa kök içine **a²** olarak alınır. Katsayı kök içindeki sayıyla doğrudan çarpılmaz.

• 2√3=√(4×3)=**√12**.
• 3√5=√(9×5)=**√45**.
• 4√7=√(16×7)=**√112**.
• 6√2=√(36×2)=**√72**.
• 7√3=√(49×3)=**√147**.
• 8√5=√(64×5)=**√320**.

Kök Dışında Zaten Katsayı Varsa

Önce kök içini sadeleştir, dışarı çıkan yeni katsayıyla eski katsayıyı çarp:

• 3√8=3×2√2=**6√2**.
• 2√45=2×3√5=**6√5**.
• 4√27=4×3√3=**12√3**.
• 5√12=5×2√3=**10√3**.

**Kontrol et:** 4√27 ile 12√3 sayılarının kareleri **16×27=432** ve **144×3=432** olduğundan aynı pozitif sayıyı gösterirler.

Bilinmeyen Katsayı veya Kök İçi

Karekökler pozitif veya sıfırsa kareleri eşitleyebilirsin. **a√5=√245** ve a>0 için 5a²=245, a²=49, a=**7**. **3√b=√117** için 9b=117, b=**13**. **√n=10√6** için n=100×6=**600**.

Karşılaştırma ve Geometri

Pozitif köklü ifadeleri karşılaştırırken karelerini alabilirsin. **5√2 ile √48**: kareleri 50 ve 48 olduğu için **5√2>√48**. Aynı sonuç, 5√2=√50 yazılarak da görülür.

Bir karenin alanı **98 cm²** ise kenarı √98=7√2 cm, çevresi **28√2 cm** olur. Alanı 72 cm² olan üç kare yan yana konduğunda toplam yatay uzunluk **3×√72=18√2 cm** olur.

Hata Kontrolü

1. **4√3=√48**, √12 değil: katsayıyı içeri alırken karesi alınır.
2. **√(9+16)=5**, √9+√16=7: kök, toplama üzerinde dağılmaz.
3. **√72=6√2**, ancak 2√18 en sade biçim değildir.
4. **−3√5=−√45**, √45 değil: eksi işareti korunur.
5. **√(a²)=|a|**: örneğin √((-7)²)=7.

Kısa Özet

• **√(a²b)=a√b** ve **a√b=√(a²b)**; burada a≥0, b≥0.
• **√72=6√2**, **3√5=√45**.
• Katsayı içeri **karesiyle**, tam kare dışarı **kareköküyle** çıkar.
• En sade biçimde kök içinin başka tam kare çarpanı olmaz.
• Pozitif ifadelerin eşdeğerliğini karelerini karşılaştırarak kontrol edebilirsin.
• Negatif katsayının işaretini koru; kökü toplam üzerinden dağıtma.