Kareköklü İfadeleri a√b Biçiminde Yazma ve Katsayıyı Kök İçine Alma | Konu Anlatımı

Kareköklü İfadeleri a√b Biçiminde Yazma ve Katsayıyı Kök İçine Alma — LGS Matematik Konu Anlatımı

Bu Konuda Neler Öğreneceğiz?

Bir karekökün içindeki tam kare çarpanını bularak kök dışına çıkaracağız. **√72=6√2** eşitliğinin neden doğru olduğunu görecek, **3√5=√45** örneğiyle işlemi ters yönde yapacağız. Hedef yalnızca sonucu ezberlemek değildir; aynı sayının farklı gösterimlerini tanımak, en sade biçimi seçmek ve sorularda istenen koşula göre doğru gösterimi kullanmaktır.

Bu konu, LGS'de kareköklü ifadelerle işlem yapma, alan–uzunluk problemleri ve sayıları karşılaştırma için önemli bir temeldir. Buradaki bütün karekökler **negatif olmayan sayıların aritmetik kareköküdür**; dolayısıyla √n, n≥0 için negatif değildir. İlk aşamada katsayıları pozitif tam sayılar olarak ele alacağız. İşaretli sayılara ilişkin uyarılar da ayrıca açıklanacaktır.

1. Karekökün Anlamı ve Tam Kareleri Hatırlayalım

**√36=6**, çünkü 6²=36 ve 6 negatif değildir. Buna karşılık √18, bir doğal sayıya eşit değildir. Ancak **18=9×2** yazılabildiği için √18=3√2 biçimine dönüştürülebilir. Burada sayının değeri değişmemiş, yalnızca yazılışı değişmiştir.

Sık kullanılan tam kareler:

| Sayı | Karesi | Sayı | Karesi | Sayı | Karesi | |---:|---:|---:|---:|---:|---:| | 2 | 4 | 8 | 64 | 14 | 196 | | 3 | 9 | 9 | 81 | 15 | 225 | | 4 | 16 | 10 | 100 | 16 | 256 | | 5 | 25 | 11 | 121 | 17 | 289 | | 6 | 36 | 12 | 144 | 18 | 324 | | 7 | 49 | 13 | 169 | 20 | 400 |

Kök dışına çıkarma işleminin anahtarı, kök içindeki sayıda **1'den büyük bir tam kare çarpan** aramaktır. Örneğin 72 sayısında 4, 9 ve 36 tam kare çarpanları vardır. Bunların içinden **36** seçilirse tek adımda en sade gösterime ulaşılır.

2. Temel Kural: Çarpımın Karekökü

**x≥0 ve y≥0** için şu eşitlik geçerlidir:

**√(x×y)=√x×√y**.

Bu kural, kök içindeki sayının iki çarpana ayrılmasıyla uygulanır. Çarpanlardan biri tam kareyse karekökü doğal sayı olarak bulunur ve kök dışına alınır.

• √(4×3)=√4×√3=2√3.
• √(9×2)=√9×√2=3√2.
• √(25×7)=√25×√7=5√7.
• √(100×6)=√100×√6=10√6.

Bu kuralları **√(x+y)=√x+√y** biçimine dönüştürme. Karekök, toplama üzerinde bu şekilde dağılmaz. Örneğin √(9+16)=√25=5 iken √9+√16=3+4=7'dir. Eşit değillerdir.

3. Kök Dışına Çıkarma: √n Sayısını a√b Biçiminde Yazma

**n=a²×b**, a pozitif tam sayı ve b pozitif tam sayı ise **√n=a√b** olur. Buradaki a, tam kare çarpanın pozitif kareköküdür. En sade biçimi bulmak için **b'nin 1'den büyük tam kare çarpanı kalmamalıdır**.

Adım adım yöntem:

1. Kök içindeki sayıyı tam kare bir çarpan ile diğer çarpanın çarpımı olarak yaz.
2. Tam kare çarpanın pozitif karekökünü bul.
3. Bulduğun sayıyı kök dışındaki katsayı olarak yaz.
4. Kök içinde kalan çarpanda 4, 9, 16, 25 gibi bir tam kare çarpan olup olmadığını yeniden denetle.

| Başlangıç | Tam kare çarpan | Ayrıştırma | En sade sonuç | |---|---:|---|---| | √12 | 4 | √(4×3) | 2√3 | | √18 | 9 | √(9×2) | 3√2 | | √20 | 4 | √(4×5) | 2√5 | | √27 | 9 | √(9×3) | 3√3 | | √32 | 16 | √(16×2) | 4√2 | | √45 | 9 | √(9×5) | 3√5 | | √50 | 25 | √(25×2) | 5√2 | | √72 | 36 | √(36×2) | 6√2 | | √98 | 49 | √(49×2) | 7√2 | | √125 | 25 | √(25×5) | 5√5 |

4. Kısmi Sadeleştirme ile En Sade Biçim Arasındaki Fark

**√72=2√18** yazılması bir eşitliktir; ancak bu **en sade biçim değildir**. Çünkü √18'in içinde hâlâ 9 tam kare çarpanı vardır:

**√72=2√18=2×3√2=6√2.**

Benzer şekilde:

• √48=2√12=2×2√3=**4√3**.
• √108=3√12=3×2√3=**6√3**.
• √180=2√45=2×3√5=**6√5**.
• √200=2√50=2×5√2=**10√2**.

Soru “eşdeğer ifade” istiyorsa 2√18 de aynı sayıyı gösterir. “**En sade biçim**” istiyorsa kök içindeki tam kare çarpanlar tamamen çıkarılmalıdır. Bu ayrım LGS çoktan seçmeli sorularında seçeneklerin değerlendirilmesini doğrudan etkiler.

5. Katsayıyı Kök İçine Alma: a√b=√(a²b)

Kök dışına çıkarma işleminin tersini yapabiliriz. **a≥0** olduğunda:

**a√b=√(a²×b)**.

Örneğin **3√5** ifadesinde 3'ü kök içine alırsak onu **9** olarak yazmalıyız: 3√5=√(9×5)=**√45**.

Katsayıyı aynen içeri yazmak yanlıştır; **3√5≠√15**. Çünkü iki pozitif ifade karesine alındığında sırasıyla 45 ve 15 elde edilir.

| Başlangıç | Katsayının karesi | Kök içine alınmış hâl | |---|---:|---| | 2√3 | 4 | √12 | | 3√2 | 9 | √18 | | 4√5 | 16 | √80 | | 5√3 | 25 | √75 | | 6√7 | 36 | √252 | | 8√3 | 64 | √192 |

6. Katsayısı Zaten Olan Köklü İfadeyi Sadeleştirme

Soruda başlangıçta kök dışında bir katsayı bulunabilir: **3√8**. Önce kök içini sadeleştir, sonra dış katsayıyla yeni katsayıyı çarp:

**3√8=3×√(4×2)=3×2√2=6√2**.

Önemli örnekler:

• 2√45=2×3√5=**6√5**.
• 5√12=5×2√3=**10√3**.
• 4√27=4×3√3=**12√3**.
• 3√50=3×5√2=**15√2**.
• 2√75=2×5√3=**10√3**.

Burada katsayı ile kök içindeki sayı gelişigüzel çarpılmaz. Örneğin **3√8**, 3×8=24 yapılarak √24'e eşitlenemez. 3'ü kök içine sokarsan 3√8=√(9×8)=√72, kök dışına çıkarırsan 6√2 bulursun. **√72 ve 6√2 aynı sayıdır**, √24 ise farklıdır.

7. Kök İçi veya Katsayı Bilinmiyorsa

Pozitif sayılar için **a√b=√n** eşitliğinin her iki tarafının karesi alınabilir: **a²b=n**. Bu eşitlik bilinmeyen katsayıyı ya da kök içindeki tam sayıyı buldurur.

**Durum A — Katsayıyı bulma:** a√5=√245, a pozitif tam sayı. Karelerini al: 5a²=245. Buradan a²=49 ve **a=7**.

**Durum B — Kök içini bulma:** 3√b=√117, b pozitif tam sayı. Karelerini al: 9b=117. Buradan **b=13**.

**Durum C — Tek kök altında sayı bulma:** √n=10√6 ise n=(10√6)²=100×6=**600**.

Eğer eşitliğin iki yanında negatif olmayan kareköklü ifadeler varsa, kareleri eşitlemek güvenlidir. Ancak işlem tamamlandıktan sonra elde ettiğin sayıyı **ilk eşitlikte kontrol etmek** her zaman iyi bir alışkanlıktır.

8. Kareköklü İfadeleri Karşılaştırma

İki pozitif kareköklü sayının hangisinin büyük olduğunu görmek için onları aynı tür gösterime getirebiliriz. **Pozitif sayılarda karelerini karşılaştırmak** özellikle kolaydır.

**5√2 ile √48** sayılarını karşılaştıralım:

• (5√2)²=25×2=50.
• (√48)²=48.
• 50>48 olduğundan **5√2>√48**.

Başka bir örnek: **√46 ve 3√5**. Kareleri sırasıyla 46 ve 45 olduğundan √46>3√5.

Alternatif olarak kök dışındaki katsayı içeri alınabilir: 5√2=√50, 3√5=√45. Kök içindeki sayıları karşılaştırırsın.

9. Kare ve Dikdörtgen Modellerinde Kullanım

Bir karenin alanı A ise kenarı **√A** olarak bulunur. Kenarın en sade köklü gösterimi, soruda verilen uzunluğun yorumlanmasını sağlar. Kare çevresi için kenar **4 ile çarpılır**.

**Örnek 1:** Alanı 98 cm² olan karenin kenarı √98=7√2 cm, çevresi **4×7√2=28√2 cm** olur.

**Örnek 2:** Alanı 72 cm² olan üç özdeş kare yan yana, ortak kenarları birleşecek şekilde yerleştirilsin. Tek karenin kenarı √72=6√2 cm. Üç karenin birlikte oluşturduğu yatay uzunluk **3×6√2=18√2 cm** olur.

**Örnek 3:** Alanı 180 cm² olan kare kartonun kenarı √180=6√5 cm'dir. **6√5**, aynı uzunluğun en sade köklü gösterimidir; santimetre birimi unutulmamalıdır.

10. Tek Adımda Değil, İki Adımda Sadeleştirme

Bazen ilk bakışta en büyük tam kare çarpanı fark edilmeyebilir. Bu durumda kısmi sadeleştirme yapıp devam edebilirsin:

**√432=√(4×108)=2√108=2×√(36×3)=2×6√3=12√3.**

**√600=√(4×150)=2√150=2×√(25×6)=10√6.**

Her adım bir öncekiyle **eşit** olduğu için işlem geçerlidir. Son aşamada 3 ve 6 sayılarının tam kare çarpanı yoktur; bu nedenle sonuçlar en sade hâldedir.

Bir diğer yöntem **asal çarpanlara ayırmadır**. Örneğin 180=2²×3²×5 olduğundan çift hâlindeki çarpanlar dışarı çıkar: √180=2×3√5=6√5. Kareleri oluşturan asal çarpan çiftlerini ayırma tekniği, özellikle çok büyük sayılarda yararlı olabilir.

11. En Sade Biçimin Doğruluğunu Denetleme

**a√b** ifadesinin en sade biçim olması için iki koşul göz önündedir:

1. **Değer doğru kalmalı:** a²×b, başlangıçtaki kök içi sayıya eşit olmalı.
2. **Kök içi sade olmalı:** b'nin 1'den büyük tam kare çarpanı bulunmamalı.

Örneğin √252 için **6√7** uygun sonuçtur. Çünkü 6²×7=36×7=252 ve 7'nin 1'den büyük tam kare çarpanı yoktur. Buna karşılık **3√28**, aynı değeri verse de b=28 içinde 4 bulunduğu için en sade biçim değildir.

Kontrol tablosu:

| İfade | Karesi | En sade mi? | Açıklama | |---|---:|---|---| | 2√12 | 48 | Hayır | √12=2√3 ⇒ 4√3 | | 4√3 | 48 | Evet | 3 içinde tam kare çarpan yok | | 5√2 | 50 | Evet | 5²×2=50 | | 3√8 | 72 | Hayır | √8=2√2 ⇒ 6√2 | | 6√2 | 72 | Evet | 6²×2=72 |

Bu doğrulama, yanlış şıkkı elemek için de kullanılabilir. İki köklü ifade gerçekten eşitse, **negatif olmadıkları durumda kareleri eşittir**.

12. Negatif Katsayıya İlişkin Önemli Uyarı

Bu kazanımda çoğunlukla pozitif katsayılı köklü ifadeler üzerinde çalışılır. Ancak sayıların işaretleriyle ilgili şu temel hata yapılmamalı: **-3√5, √45'e eşit değildir**. Çünkü -3√5 negatiftir, √45 ise pozitiftir. Doğru yazılış **-3√5=-√45** olur.

Benzer şekilde **√((-4)²×3)=4√3** çıkar; -4√3 değil. Bu nedenle genel ifade **√(a²b)=|a|√b** (b≥0) şeklindedir.

Sık Karıştırılan Noktalar

1. **Katsayının karesi unutuluyor:** 4√3=√12 değil, **√48**. Çünkü 4²×3=48.
2. **Tam kare çarpan yerine herhangi bir çarpan seçiliyor:** √45=√(9×5)=3√5. 45'i 3×15 ayırmak doğrudur ama iki çarpanın karekökü doğal sayı vermez.
3. **Kısmi sadeleştirme son sanılıyor:** √48=2√12 eşittir ancak en sade biçim **4√3**'tür.
4. **Kök içindeki toplam parçalanıyor:** √(9+16)=5, √9+√16=7; bu ikisi eşit değildir.
5. **Kök dışı katsayı doğrudan kök içindeki sayıyla çarpılıyor:** 3√8≠√24; doğru tek kök gösterimi √72'dir.
6. **Negatif katsayının işareti kayboluyor:** -2√7=-√28; √28 pozitif olduğu için ikisi aynı değildir.
7. **Alan ile kenar uzunluğu karıştırılıyor:** Alanı 72 cm² olan karenin kenarı 72 cm değil, √72=6√2 cm'dir.
8. **En sade ifade ile eşdeğer ifade karıştırılıyor:** 3√12 ile 6√3 eşdeğerdir, fakat en sade olan **6√3**'tür.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

**Soru “en sade biçim” mi istiyor?** Önce kök içindeki en büyük tam kare çarpanları ara. Sonuca ulaştığında kök içinde başka tam kare çarpan kalıp kalmadığını incele.

**Soru “tek kök içinde” mi istiyor?** Dış katsayının karesini al ve kök içindeki sayıyla çarp. Örneğin 8√3=√(64×3)=√192.

**Başlangıçta katsayı var mı?** √12=2√3 olduğunu bulduktan sonra 5√12=10√3 yazmayı unutma.

**Bilinmeyen tam sayı var mı?** Pozitif sayıların karelerini eşitle. Örneğin a√7=√252 ⇒ 7a²=252 ⇒ a²=36 ⇒ a=6.

**Geometrik bilgi verilmiş mi?** Alan verilmişse √alan ile kenarı bul; çevre veya yan yana dizilme gibi ikinci işlemi daha sonra yap.

**Seçenekler birbirine benziyor mu?** Her seçeneğin kök dışındaki katsayısını karesine alıp kök içiyle çarparak başlangıç sayısını verip vermediğini denetle. Ardından en sade olma şartını kontrol et.

Konu Özeti

• **Kök dışına çıkarma:** √(a²×b)=a√b (a≥0, b≥0).
• **Katsayıyı kök içine alma:** a√b=√(a²×b) (a≥0, b≥0).
• **En sade biçim:** Kök içindeki b sayısının 1'den büyük tam kare çarpanı kalmaz.
• **Katsayılı ifadeyi sadeleştirme:** Önce kök içini sadeleştir, çıkan katsayıyla mevcut katsayıyı çarp.
• **Eşdeğerlik kontrolü:** Negatif olmayan ifadelerin karelerini karşılaştırabilirsin.
• **En önemli uyarı:** Karekök çarpıma ayrılır; toplama, aynı yöntemle ayrılamaz.
• **İşaret uyarısı:** √(a²)=|a|; negatif katsayının işareti kök içine alırken korunmalıdır.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• [ ] √72 gibi bir karekökü tam kare çarpana ayırıp **6√2** biçimine dönüştürebiliyorum.
• [ ] 4√5 gibi bir ifadeyi **√80** biçiminde tek kök altında yazabiliyorum.
• [ ] 2√18'in neden en sade biçim olmadığını ve **6√2** ile eşdeğer olduğunu açıklayabiliyorum.
• [ ] 3√8 gibi başlangıçta katsayısı olan bir ifadeyi **6√2** biçiminde sadeleştirebiliyorum.
• [ ] a√7=√252 denklemindeki pozitif tam sayı a değerini **6** olarak bulabiliyorum.
• [ ] 5√2 ile √48'i karelerini karşılaştırarak sıralayabiliyorum.
• [ ] Alanı 98 cm² olan karenin çevresini **28√2 cm** olarak hesaplayabiliyorum.
• [ ] √(x+y) ile √x+√y'nin genel olarak eşit olmadığını biliyorum.
• [ ] Negatif katsayının işaretini kaybetmeden doğru gösterimi yazabiliyorum.

Bu kazanımları yerine getirebiliyorsan kareköklü ifadelerle çarpma, bölme ve farklı gösterimleri karşılaştırma sorularına sağlam bir temel oluşturdun.