Tam Kare Pozitif Tam Sayılar ve Karekökleri Konu Anlatımı

Tam Kare Pozitif Tam Sayılar ve Karekökleri — LGS Matematik Konu Anlatımı

Bu Konuda Neler Öğreneceğiz?

Bu konuda bir pozitif tam sayının karesini bulacak, bir sayının **tam kare** olup olmadığını inceleyecek ve tam kare pozitif tam sayıların **kareköklerini** hesaplayacağız. Karenin kenarı ile alanı arasındaki ilişkiyi kullanacak; tam kareler arasındaki aralıkları, sayı örüntülerini ve çok aşamalı LGS problemlerini çözebileceğiz.

Bu kazanım, kareköklü ifadeler konusunun temelidir. Bir sonraki adımlarda tam kare olmayan sayıların kareköklerini yaklaşık değerleriyle ele alabilmek için önce tam kareleri hızlı tanımak gerekir.

1. Bir Pozitif Tam Sayının Karesi

Bir sayıyı kendisiyle çarpmaya **karesini alma** denir. n pozitif bir tam sayıysa karesi **n²=n×n** biçiminde yazılır.

• 3²=3×3=9
• 6²=6×6=36
• 11²=11×11=121
• 20²=20×20=400

Karesini aldığımız sayı **taban**, küçük üstte yazılan 2 ise **üs** olarak adlandırılır. Örneğin 12², 12×2 değildir; 12×12=**144**'tür.

2. Tam Kare Pozitif Tam Sayı Nedir?

Bir pozitif tam sayının **başka bir pozitif tam sayının karesi** olarak yazılabilmesi, onun tam kare olduğunu gösterir.

Örneğin **49=7²**, **144=12²**, **225=15²** olduğu için bu sayılar tam karedir. Buna karşılık **50, 145 ve 226** herhangi bir pozitif tam sayının karesi değildir.

İlk 25 tam kareyi tanıyalım

| Pozitif tam sayı n | n² | Pozitif tam sayı n | n² | Pozitif tam sayı n | n² | |---:|---:|---:|---:|---:|---:| | 1 | 1 | 10 | 100 | 19 | 361 | | 2 | 4 | 11 | 121 | 20 | 400 | | 3 | 9 | 12 | 144 | 21 | 441 | | 4 | 16 | 13 | 169 | 22 | 484 | | 5 | 25 | 14 | 196 | 23 | 529 | | 6 | 36 | 15 | 225 | 24 | 576 | | 7 | 49 | 16 | 256 | 25 | 625 | | 8 | 64 | 17 | 289 | | | | 9 | 81 | 18 | 324 | | |

Tabloyu baştan sona ezberlemek yerine **1²–15² arasını sağlam bilmek**, daha büyükleri ise ardışık karelerden üretmek iyi bir çalışmadır. Örneğin 19², (20−1)² biçiminde düşünülebilir: 400−40+1=361.

3. Karekök Ne Anlama Gelir?

Karekök, kare alma işlemini ters yönde kullanmamızı sağlar. Bir karenin alanını biliyorsak kenarını bulmak için karekök alırız.

**√a=b** eşitliği (a≥0 ve b≥0 iken) **b²=a** anlamına gelir. Buradaki √ işareti, verilen sayının **negatif olmayan karekökünü** gösterir.

• √25=5, çünkü 5²=25.
• √81=9, çünkü 9²=81.
• √169=13, çünkü 13²=169.
• √400=20, çünkü 20²=400.

Karekökü hesaplarken aklına şu soruyu getir: “**Hangi negatif olmayan sayıyı kendisiyle çarparsam bu sayıyı elde ederim?**”

4. Karekök İşaretinde Pozitiflik Kuralı

Önemli bir ayrım vardır: **x²=49** denklemini sağlayan iki tam sayı bulunur: x=7 ve x=−7. Çünkü her ikisinin de karesi 49'dur. Fakat **√49 yalnızca 7'dir**.

Başka bir anlatımla:

• **√64=8**, −8 değildir.
• **x²=64** denkleminin çözümleri x=8 ve x=−8'dir.
• **√(−64)** ifadesi gerçek sayılarda tanımlı değildir; negatif bir sayıya aynı anlamda karekök uygulanamaz.

Pozitif tam kareleri incelerken esas alınan sayıların hepsi pozitiftir. **0²=0 ve √0=0** doğrudur, ancak 0, **pozitif** tam sayı olmadığından “pozitif tam kareler” listesine dâhil edilmez.

5. Bir Karenin Alanı ve Kenarı

Bir karenin kenarı **k** birimse alanı **A=k²** birimkaredir. Alan verilirse kenar **k=√A** olarak bulunur.

| Alan (cm²) | Bir kenar (cm) | Çevre (cm) | |---:|---:|---:| | 49 | 7 | 28 | | 81 | 9 | 36 | | 144 | 12 | 48 | | 196 | 14 | 56 | | 225 | 15 | 60 |

Karenin çevresi **Ç=4k** formülüyle bulunur. Alanın birimi **cm²**, çevrenin birimi **cm** olur. Birimleri karıştırma.

Kenar değişirse alan nasıl değişir?

Kenar iki katına çıkarsa yeni alan **(2k)²=4k²** olur; yani alan dört katına çıkar. Kenar üç katına çıkarsa alan dokuz katına çıkar. “Kenar iki katına çıktı, alan da iki katına çıkar” düşüncesi yanlıştır.

• Kenarı 6 cm olan karenin alanı 36 cm²'dir.
• Kenarı 12 cm yapılırsa alanı 144 cm² olur.
• Alanın artışı 144−36=**108 cm²**'dir; yeni alan ilk alanın dört katıdır.

6. Tam Kare Sayılar Arasındaki Sıralama

Art arda gelen tam kare sayılar, art arda gelen pozitif tam sayıların kareleridir:

**1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...**

Bu dizide boşluklar giderek artar:

• 4−1=3
• 9−4=5
• 16−9=7
• 25−16=9
• 36−25=11

Genel kural: **(n+1)²−n²=2n+1**. İki ardışık pozitif tam karenin farkı tek sayıdır.

Bu özelliği hızlı sayma ve çıkarma sorularında kullanabiliriz. İki ardışık tam kare arasındaki **tam sayıların sayısı** ise farkın bir eksiğidir. Örneğin 16²=256 ile 17²=289 arasında **32** tam sayı bulunur: 257,258,…,288.

7. Tam Kare Olmayan Bir Sayıyı İki Karekök Arasına Yerleştirme

Tam kare olmayan bir pozitif sayının karekökünü doğrudan pozitif tam sayı olarak yazamayız. Fakat **hangi iki ardışık doğal sayı arasında olduğunu** karelerden bulabiliriz.

• 25<30<36 ⇒ **5<√30<6**.
• 144<145<169 ⇒ **12<√145<13**.
• 400<450<441 yanlış sıralamadır; 450 sayısı 441 ile 484 arasında olduğundan **21<√450<22** olmalıdır.

Buradaki temel yöntem:

1. Verilen sayıdan küçük en yakın tam kareyi belirle.
2. Verilen sayıdan büyük en yakın tam kareyi belirle.
3. Bu iki tam karenin pozitif kareköklerini bul.
4. Karekökü iki doğal sayı arasında göster.

Bu konuda tam kare olmayan sayıların karmaşık işlemlerini yapmıyoruz; yalnızca tam kare tablosuyla sınırlarını tanıyoruz.

8. Belirli Bir Aralıktaki Tam Kareleri Sayma

“100 ile 200 arasındaki tam kareler” sorusunda, sınırlar **hariç** denmişse 100'ü saymayız. Bu aralıktaki kareler **11²=121, 12²=144, 13²=169, 14²=196**'dır. Toplam **4** sayı vardır.

“1'den 100'e kadar” ifadesi genellikle her iki sınırı da içerir: **1²–10²** olmak üzere **10** pozitif tam kare vardır.

Karekökü belirli koşulu sağlayan tam kareler

Örneğin “100 ile 400 arasında, karekökü 3'ün katı olan tam kareler” istenirse önce sayıları değil **karekökleri** düşün:

• 100=10², 400=20² olduğu için aday kökler 11,12,…,19'dur.
• 3'ün katı olanlar 12,15,18'dir.
• Tam kareler **144,225,324** olur; toplam **3** sayı.

Bu tip sorularda “tam kare” ile “karekökün koşulu” ayrı ayrı kontrol edilmelidir.

9. Bir Tam Karenin Son Basamağı

Pozitif tam sayılar karesi alındığında birler basamağında yalnız **0,1,4,5,6,9** rakamları oluşabilir.

| Sayının birler basamağı | Karesinin birler basamağı | |---:|---:| | 0 | 0 | | 1 | 1 | | 2 | 4 | | 3 | 9 | | 4 | 6 | | 5 | 5 | | 6 | 6 | | 7 | 9 | | 8 | 4 | | 9 | 1 |

**2,3,7,8 ile biten pozitif tam sayılar tam kare olamaz.** Ancak 0,1,4,5,6,9 ile biten her sayı mutlaka tam kare değildir. Örneğin 26, 1 ile 100 arasındaki bir tam kare değildir; 26'nın son basamağı 6 olması onu tek başına tam kare yapmaz.

10. Büyük Karelerde Pratik Kontrol

Ezber listesinde olmayan daha büyük tam kareleri bulmak için yakın ve kolay kareyi kullanabilirsin:

**19²=(20−1)²=20²−2×20+1=400−40+1=361**

**21²=(20+1)²=20²+2×20+1=400+40+1=441**

Bu açılımlar ileri bir ezber değil, çarpma işleminin bir sonucudur. İstersen 19×19 veya 21×21 ile de kontrol edebilirsin. Hızdan çok doğruluk önemlidir.

Karede alan ve karoda parça sayısı

Bir kenarı 24 cm olan kare zemini, kenarı 6 cm olan kare karolarla boşluksuz kaplayalım. Bir kenara **24÷6=4** karo sığar. Toplam karo sayısı **4×4=16** olur. Alanla kontrol edersek zemin 24²=576 cm², her karo 6²=36 cm², 576÷36=16; sonuç aynı.

Tam kare sorularındaki önemli düşünce **bir kenardaki adet ile toplam adedi karıştırmamak**tır.

11. LGS Tarzı Yorumlama Soruları

Soru çözümü A — İki karenin alanı

Alanları 81 cm² ve 144 cm² olan iki kare karton var. Bu kartonların toplam alanına eşit alanlı üçüncü bir kare hazırlanacak. Üçüncü karenin bir kenarı kaç santimetre olur?

**Adım 1:** Alanları topla: 81+144=225 cm².

**Adım 2:** Yeni karenin kenarını karekökten bul: √225=**15 cm**.

**Kontrol:** 15²=225 doğru. İlk iki karenin kenarlarını doğrudan toplayıp 9+12=21 demek yanlıştır; bu soruda eşitlenen şey **alan**dır.

Soru çözümü B — Dıştan genişletilen kare

Alanı 196 m² olan kare bahçenin etrafına her kenardan dışarı doğru 1 m'lik yol yapılıyor. Yolun alanı kaç m² olur?

**Adım 1:** Bahçe kenarı √196=14 m.

**Adım 2:** Yol iki uçtan toplam 2 m ekler; dış karenin kenarı 16 m olur.

**Adım 3:** Dış alan 16²=256 m²; yolun alanı 256−196=**60 m²**.

**Dikkat:** 14+1=15 kullanmak yanlıştır. Yol her yönden eklendiği için karşılıklı iki kenardan da 1'er metre gelir.

Soru çözümü C — Kök ile koşulu birleştirme

Alanı 120 m²'den büyük ve 250 m²'den küçük kare biçimli alanlar arasından, kenar uzunluğu **çift doğal sayı** olanları bulalım.

**Adım 1:** 11²=121 ile 15²=225 aralıktadır. 16²=256 aralık dışıdır.

**Adım 2:** Kenar olasılıkları 11,12,13,14,15'tir.

**Adım 3:** Çift olanlar 12 ve 14 → kare alanlar 144 ve 196. Yani **2 seçenek** vardır.

Bu soru tipinde önce **aralığı**, sonra **ek koşulu** değerlendirmek hata olasılığını azaltır.

Sık Karıştırılan Noktalar

| Karıştırılan düşünce | Doğrusu | |---|---| | 12²=24 | 12²=144; 24 sayının iki katıdır. | | √49=±7 | √49=7; kök işareti negatif olmayan değeri verir. | | x²=49 için yalnız x=7 | Tam sayılarda x=7 ve x=−7 mümkündür. | | 0 pozitif tam karedir | 0²=0 olsa da 0 pozitif tam sayı değildir. | | 100 ile 200 aralığında 100 de sayılır | Sınırlar hariç denmişse 100 alınmaz. | | Kenar iki katına çıkınca alan iki katına çıkar | Alan dört katına çıkar. | | √144 cm² ifadesi çevredir | √144=12 cm kenar uzunluğudur; çevre 48 cm'dir. | | Sonu 1 ile biten bütün sayılar tam karedir | 41 örneğinde olduğu gibi bu yeterli koşul değildir. | | 11² ve 12² arasında 23 tam sayı vardır | Fark 144−121=23, arada 22 tam sayı vardır. | | √170 tam sayı olduğundan 13 veya 14'tür | 13<√170<14; tam sayı değildir. |

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. **Verilenleri ayır:** Alan, çevre, karekök, aralık veya tam sayı koşulu var mı?
2. **Sayıyı tanı:** Bildiğin bir tam kare mi, yoksa iki tam kare arasında mı?
3. **İşlemin yönünü belirle:** Kenardan alana giderken kare; alandan kenara giderken karekök kullan.
4. **Sınırları kontrol et:** “Arasında” ile “dâhil” aynı değildir. Eşitsizlik sıkı mı?
5. **Ek koşula geri dön:** Asal, çift, 3'ün katı, en küçük, en büyük gibi sözcükleri uygula.
6. **Şıkları ele:** Büyüklük, birim ve tam kare olma koşulunu kontrol et.
7. **Sonucu doğrula:** Karekök sonucu n ise n²'yi yeniden hesapla; alan isteniyorsa birimi kareli yaz.

Konu Özeti

• **Tam kare pozitif tam sayılar**, bir pozitif tam sayının kendisiyle çarpılmasıyla oluşur: 7²=49, 12²=144, 15²=225.
• **Karekök**, kare alma işleminin tersidir: √144=12. Kök işareti her zaman **negatif olmayan** sonucu gösterir.
• Bir karenin **alanı kenar²**, **kenarı √alan**, **çevresi 4×kenar** biçiminde hesaplanır.
• Art arda gelen **n² ve (n+1)²** tam karelerinin farkı **2n+1**'dir.
• Tam kare olmayan bir sayının karekökü, komşu tam kareler kullanılarak iki doğal sayı arasına yerleştirilir: 49<50<64 ⇒ **7<√50<8**.
• LGS problemlerinde **aralığın uç noktaları**, **ek koşullar**, **istenen büyüklük** ve **ölçü birimleri** dikkatle kontrol edilmelidir.

**Son kontrol örneği:** Alanı 196 cm² olan karenin kenarı 14 cm, çevresi 56 cm'dir. Soru kenarı mı, çevreyi mi istediğine göre cevabın değişir.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• 1²–15² arasındaki tam kareleri tanıyıp kareköklerini hızlı söyleyebiliyorum.
• Bir sayının tam kare olabilmesi için bir pozitif tam sayının karesi olarak yazılması gerektiğini biliyorum.
• √a simgesinin **negatif olmayan karekökü** anlattığını biliyorum.
• Bir karenin alanından kenarını, kenarından alanını ve çevresini bulabiliyorum.
• Ardışık tam kareleri ve aralarındaki farkı belirleyebiliyorum.
• Bir tam kare olmayan sayının karekökünün hangi iki doğal sayı arasında olduğunu bulabiliyorum.
• Aralık ve ek koşullar verildiğinde uygun tam kareleri sayabiliyorum.
• Çevreye eklenen yolların ya da kare karoların bulunduğu problemlerde doğru modeli kurabiliyorum.
• “Arasında/dâhil”, “pozitif”, “asal”, “en az/en çok” ifadelerinin sonucu nasıl değiştirdiğini açıklayabiliyorum.
• İşlem sonunda **birim ve büyüklük kontrolü** yapabiliyorum.