9. Sınıf Matematik Başkaları Tarafından Oluşturulan Tek Nicel Değişkenli Veri Dağılımlarını İnceleme Konu Anlatımı

Başkaları Tarafından Oluşturulan Tek Nicel Değişkenli Veri Dağılımlarını İnceleme

Gazetelerde, dergilerde, genel ağ sitelerinde ve sosyal medyada her gün “uzmanlar günde şu kadar su içilmesini öneriyor”, “gençlerin çoğu günde şu kadar saat ekran başında”, “bu aday seçimi kesin kazanıyor” gibi sayısal bilgilerle karşılaşırız. Bu bilgilerin bir kısmı dikkatli yürütülmüş istatistiksel araştırmalara dayanır; bir kısmı ise birkaç kişinin görüşüne, uygun olmayan bir örnekleme ya da yanlış yorumlanmış bir grafiğe dayanır.

Günlük hayatta karşılaşılan istatistiksel bilgileri eleştirel gözle incelemeden olduğu gibi doğru kabul etmek, hem bireyleri hem de toplumları yanlış yönlendirebilir. Bu konuda başkaları tarafından oluşturulan tek nicel değişkenli veri dağılımlarını ve bunlara dayanan sonuçları, istatistiksel araştırma sürecinin aşamalarını bir kontrol listesi gibi kullanarak değerlendirmeyi öğreneceğiz.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• bir istatistiksel bilginin hangi araştırma sorusuna ve hangi bağlama dayandığını sorgulamak,
• verilerin nasıl, kimden ve ne kadar toplandığını değerlendirmek,
• örneklemin evreni temsil edip etmediğini rastgelelik ve büyüklük açısından tartışmak,
• kullanılan grafik ve özet ölçülerin araştırma sorusuna uygunluğunu incelemek,
• sonuçların veriyle desteklenip desteklenmediğini ve hangi gruba genellenebileceğini değerlendirmek,
• hatalı bir çıkarımı gerekçesiyle çürütmek ve bilgiyi daha doğru sunmanın yolunu önermek.

1. Neden Eleştirel Bakmalıyız?

Bir lise öğrencisinin, gündelik bilgi sunan sitelerden derlediği şu paragrafı araştırma raporuna eklediğini düşünelim:

“Su tüketimi sağlık açısından oldukça faydalıdır. Sağlıklı bir yetişkinin kilo başına her gün yaklaşık 40 mililitre su tüketmesi gerekmektedir. Sağlık açısından günde yaklaşık 3,5–4 litre su içilmesi uzmanlar tarafından tavsiye edilmektedir.”

Bu paragrafta sayısal ifadeler vardır ama şu sorular cevapsızdır:

• Bu değerler hangi araştırmaya dayanıyor? Araştırmayı kim yapmış, kaynak nedir?
• Araştırmanın evreni kimlerdir? Yetişkinler mi, sporcular mı, belli bir iklimde yaşayanlar mı?
• Veriler nasıl toplanmış, kaç kişiden toplanmış?
• “Uzmanlar” kimlerdir; bu bir araştırmanın sonucu mu, bir görüş mü?
• İki öneri birbiriyle tutarlı mı? Örneğin 60 kg bir yetişkin için kilo başına 40 ml, günde 2,4 litre eder; bu “3,5–4 litre” önerisiyle uyuşmaz.

Bu sorular cevaplanmadan bilgiyi rapora olduğu gibi almak doğru değildir. Öğrencinin bilginin kaynağını belirtmesi, mümkünse resmî kurumların veya bilimsel çalışmaların verilerine dayanması ve sayısal ifadelerin hangi grup için geçerli olduğunu açıkça yazması gerekir.

2. Araştırma Sürecini Bir Kontrol Listesi Olarak Kullanmak

İstatistiksel araştırma süreci döngüseldir: araştırma sorusu oluşturma, veri toplama planı yapma ve verileri toplama, verileri analiz etme ve sonuçları yorumlama. Başkalarının ortaya koyduğu bir sonucu değerlendirirken bu aşamaların her biri için sorular sorulur.

Araştırma Sorusu ve Bağlam

• Sonuç hangi soruya cevap veriyor? Soru betimleyen mi karşılaştıran mı?
• İlgilenilen grup (evren) açık mı? “Gençler”, “insanlar” gibi belirsiz ifadeler var mı?
• Değişken ve ölçüm birimi açık mı? (dakika, litre, TL gibi)
• Soru araştırmaya değer mi ve nicel veri gerektiriyor mu?

Veri Toplama

• Veriler birincil mi ikincil mi? İkincil ise kaynağı belirtilmiş mi?
• Veriler kimden, nerede, ne zaman ve nasıl toplanmış?
• Örneklem evreni temsil ediyor mu? Rastgelelik sağlanmış mı?
• Örneklem büyüklüğü sonuç için yeterli mi?
• Veri toplama aracının soruları uygun mu? Örneğin bir ankette katılımcıların birden fazla seçenek işaretleyebileceği söylenmişse sonuçlar ona göre sunulmalıdır.
• Verilerin gizliliği korunmuş, veriler beklentiye göre değiştirilmemiş mi?

Analiz

• Kullanılan grafik araştırma sorusuna uygun mu? (nokta grafiği, histogram, kutu grafiği)
• Merkez için kullanılan ölçü uygun mu? Aykırı değer varken yalnız aritmetik ortalama verilmesi yanıltıcı olabilir.
• Yayılım hakkında bilgi verilmiş mi? Yalnız merkezin verilmesi, verilerin ne kadar farklılaştığını gizler.
• Grafikteki sayılar tutarlı mı? Örneğin bir daire grafiğinde yüzdelerin toplamı %100 olmalıdır.

Yorum

• Sonuç, verilerden gerçekten çıkıyor mu?
• Sonuç, verilerin toplandığı gruptan daha geniş bir gruba genellenmiş mi?
• Değişebilirlik dikkate alınmış mı? Farklı bir örneklemle farklı sonuç çıkabileceği göz önünde bulundurulmuş mu?
• Tahmin yapılıyorsa temkinli bir dil kullanılmış mı?

3. Örneklem ve Temsil Sorunları

Bir sonucun güvenilirliği büyük ölçüde örneklemin evreni temsil edip etmemesine bağlıdır. Evrendeki her elemanın eşit seçilme olasılığına sahip olduğu rastgele bir örneklem evreni daha iyi temsil eder. Aşağıdaki durumlarda temsil gücü düşüktür:

• Örneklem yalnız belirli bir yerden seçilmişse (örneğin yalnız bir pazar yerindeki kişiler).
• Örneklem gönüllülerden veya kolay ulaşılan kişilerden oluşuyorsa.
• Örneklem evrenin yalnız bir kısmını kapsıyorsa (örneğin bir okulun yalnız bir sınıf seviyesi).
• Örneklem çok küçükse.

4. Grafik ve Özet Ölçülerin İncelenmesi

Tutarsız Grafikler

Bir ankette katılımcıların birden fazla seçenek işaretleyebildiği durumda seçeneklerin yüzdelerinin toplamı %100'ü aşabilir. Böyle veriler daire grafiğiyle gösterilemez; çünkü daire grafiği bir bütünün parçalarını gösterir ve dilimlerin toplamı %100 olmalıdır. Bu tür veriler için her seçeneğin ayrı ayrı gösterildiği bir sütun grafiği daha uygundur.

Yalnız Ortalamaya Dayanan Sonuçlar

Aritmetik ortalama aykırı değerlerden çok etkilenir. Birkaç çok büyük değer ortalamayı yukarı çeker ve “ortalama” değer, verilerin çoğunluğunu temsil etmeyebilir. Bu nedenle bir raporda yalnız ortalama verilmişse ortancanın ve dağılımın da incelenmesi gerekir.

Yayılımın Göz Ardı Edilmesi

İki grubun ortalamaları birbirine yakın olsa bile yayılımları çok farklı olabilir. Örneğin iki sınıfın ortalama puanı 70 olabilir ama birinde puanlar 65–75 arasında toplanırken diğerinde 30–100 arasına yayılmış olabilir. Yalnız ortalamaya bakarak “iki sınıf aynı durumda” demek yanıltıcıdır. Kutu grafiği, çeyrekler açıklığı, ortalama mutlak sapma veya standart sapma gibi yayılım bilgileri de değerlendirilmelidir.

Kutu Grafiğinin Doğru Okunması

Bir hava yolu firmasının bir aydaki 78 uçuşunun gecikme sürelerine ait kutu grafiğinin beş sayılı özeti 0, 15, 37, 70 ve 125 dakika olsun. Bu grafikten şunlar okunabilir:

• Uçuşların yaklaşık yarısı 37 dakikadan az gecikmiştir.
• Uçuşların yaklaşık %50'sinin gecikmesi 15 ile 70 dakika arasındadır (çeyrekler açıklığı 55 dakika).
• Uçuşların yaklaşık %25'i 70 dakikadan fazla gecikmiştir.
• En uzun gecikme 125 dakikadır; gecikmesiz uçuş da vardır (en küçük değer 0).

Ancak “ortalama gecikme 37 dakikadır” demek hatalıdır; 37 dakika ortalamayı değil ortancayı gösterir. Firma bu grafikten, gecikmeye bağlı ikram ve konaklama hizmetlerinin bütçesini öngörmek için yararlanabilir; ancak tek bir aya ait verinin diğer aylara aynen genellenemeyeceği de dikkate alınmalıdır.

5. Sonuçların Genellenmesi

Bir araştırmanın sonuçları ancak evrenine genellenebilir. Bir okulun öğrencileriyle yapılan bir araştırmanın sonucu “Türkiye'deki tüm öğrenciler” için söylenemez. Benzer şekilde bir yılın verileri başka yıllara ancak eğilim ve yayılım benzer olduğunda ve temkinli bir dille (“benzer bir eğilim göstermesi beklenebilir”) aktarılabilir.

Ayrıca değişebilirlik her zaman vardır. Aynı evrenden alınan farklı örneklemler biraz farklı sonuçlar verebilir (örneklemden kaynaklı değişebilirlik). Bu nedenle küçük farklar abartılmamalı, sonuçlar kesin gerçekler gibi sunulmamalıdır.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Örneklemdeki Hata

Bir tahmin veya iddianın dayandığı veri toplama yöntemi verilir; hata sorulur.

Kalıp 2: Grafik Tutarlılığı

Bir grafikteki değerlerin tutarlılığı sorulur.

Kalıp 3: Uygun Özet Ölçü

Aykırı değer içeren veride yalnız ortalamaya dayanan bir iddia verilir.

Kalıp 4: Genelleme Sınırı

Bir araştırmanın evreni ile sonucun genellendiği grup karşılaştırılır.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Bir bilginin sayısal olması onun doğru olduğunu göstermez; kaynağı ve yöntemi sorgulanmalıdır.
• Çok sayıda kişiye sorulmuş olması, örneklem rastgele değilse temsil gücünü garanti etmez.
• Kolay ulaşılan kişilerden veya gönüllülerden oluşan örneklemler evreni temsil etmeyebilir.
• Kutu grafiğindeki ortadaki çizgi ortancadır, ortalama değildir.
• Daire grafiğinde yüzdelerin toplamı %100 olmalıdır; birden fazla seçenek işaretlenebiliyorsa daire grafiği uygun değildir.
• Aykırı değer varken yalnız ortalama vermek yanıltıcıdır.
• Ortalamaları aynı olan iki dağılımın yayılımları çok farklı olabilir.
• Sonuçlar yalnız araştırmanın evrenine genellenebilir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Önce iddiayı ve dayandığı verileri ayır.
• İddianın hangi gruba (evrene) ait olduğunu ve verinin hangi gruptan toplandığını karşılaştır.
• Örneklemin nasıl seçildiğini, büyüklüğünü ve rastgele olup olmadığını kontrol et.
• Grafikteki sayıların tutarlılığını (toplam %100, eksenler, birimler) kontrol et.
• Kullanılan ölçünün (ortalama, ortanca) veriye uygunluğunu ve yayılımın verilip verilmediğini değerlendir.
• Hatayı gerekçesiyle yaz ve bilginin nasıl daha doğru sunulabileceğini öner.

Konu Özeti

Başkaları tarafından oluşturulan istatistiksel bilgiler, istatistiksel araştırma sürecinin aşamaları bir kontrol listesi gibi kullanılarak eleştirel biçimde değerlendirilir. Araştırma sorusunun, evrenin, değişkenin ve ölçüm biriminin açık olup olmadığı; verilerin kimden, nasıl ve ne kadar toplandığı; örneklemin rastgele seçilip evreni temsil edip etmediği; kullanılan grafiklerin tutarlı ve soruya uygun olup olmadığı; merkez ve yayılım ölçülerinin doğru seçilip seçilmediği; sonuçların verilerle desteklenip doğru gruba genellenip genellenmediği sorgulanır. Küçük ve rastgele olmayan örneklemlere dayanan tahminler, toplamı %100'ü aşan daire grafikleri, aykırı değer varken yalnız ortalamaya dayanan yorumlar ve evren dışına yapılan genellemeler tipik hatalardır. Kaynağı belirtilmeyen bilgiler doğrudan kabul edilmemeli; güvenilir kaynaklara dayanılmalıdır.