9. Sınıf Matematik Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler Konu Anlatımı

Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler

Cezeri'nin 1206'da tamamladığı eserinde anlatılan fil saati, yarım saatte bir sesli uyarı veren otomatik bir düzenektir. Delikli bir kap suya bırakılır, kap yavaşça su alarak batar; kap tamamen battığında bir tetikleyici çalışır, çekiç çana vurur ve kap yeniden su yüzeyine yerleştirilerek süreç baştan başlar. Bu düzenekte “kap battı mı?” sorusu bir koşul, sesin çalması bu koşula bağlı bir işlem, sürecin baştan başlaması ise bir döngüdür. Cezeri'nin çalışmaları, kendini yenileyen ve görevleri insan müdahalesi olmadan yerine getiren sistemleri inceleyen sibernetik biliminin öncülerinden sayılır.

Algoritmik yapılar, bir problemi çözmek veya bir görevi yerine getirmek için adım adım talimatlar içerir. Bu talimatlardaki koşullar çoğu zaman tek bir ifadeden değil, birkaç ifadenin “ve”, “veya”, “ya da”, “ise” gibi bağlaçlarla birleşmesinden oluşur. Ayrıca bir koşulun bir kümenin “her” elemanı için mi yoksa “bazı” elemanları için mi sağlandığı da önemlidir. Bu konuda mantık bağlaçlarını ve niceleyicileri, algoritmalarda nasıl kullanıldıklarıyla birlikte inceleyeceğiz.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• “ve”, “veya”, “ya da”, “ise” bağlaçlarının anlamlarını ve sembollerini bilmek,
• “her” ve “bazı” niceleyicilerinin anlamlarını ve sembollerini bilmek,
• sözel bir koşulu bağlaç ve niceleyicilerle ifade etmek,
• bir tablodaki verileri bileşik koşullara göre süzmek,
• akış şeması ve sözde kodda kullanılan bağlaçların rolünü açıklamak,
• tüketme yaklaşımı ile Kadane algoritmasını karşılaştırmak.

1. Önerme ve Koşul

Doğru ya da yanlış olduğu kesin olarak söylenebilen ifadelere önerme denir. “17 bir asal sayıdır.” doğru, “4 tek sayıdır.” yanlış bir önermedir. Algoritmalarda karar adımlarında kontrol edilen ifadeler de önermedir: “not > 85”, “x % 2 = 0”, “a = b” gibi. Bir öğrenci veya bir sayı için bu ifadelerin doğru ya da yanlış olmasına göre algoritma farklı yollara ayrılır.

Tek bir önerme çoğu zaman yeterli olmaz. Örneğin “Not ortalaması 85'ten büyük ve en az 2 yıl gönüllü çalışmış öğrenciler” ifadesinde iki önerme “ve” bağlacıyla birleştirilmiştir. Bu şekilde bağlaçlarla oluşturulan ifadelere bileşik önerme denir.

2. Mantık Bağlaçları

Ve Bağlacı (∧)

“p ∧ q” bileşik önermesi yalnızca p ve q'nun ikisi de doğru olduğunda doğrudur. Önermelerden biri bile yanlışsa bileşik önerme yanlıştır. Algoritmalarda bir işlemin yapılması için birden fazla koşulun aynı anda sağlanması gerekiyorsa “ve” kullanılır.

Örneğin bir sayının 6'ya tam bölünmesi için “x % 2 = 0 ∧ x % 3 = 0” koşulu sağlanmalıdır. 18 için iki koşul da doğrudur; 10 için ikinci koşul yanlış olduğundan bileşik önerme yanlıştır.

Veya Bağlacı (∨)

“p ∨ q” bileşik önermesi p ve q'dan en az biri doğru olduğunda doğrudur; yalnız ikisi de yanlışsa yanlıştır. Algoritmalarda seçeneklerden herhangi birinin sağlanması yeterliyse “veya” kullanılır.

Örneğin “b = 0 ∨ b = 5” koşulu, birler basamağı b olan bir sayının 5'e tam bölünüp bölünmediğini kontrol eder.

Ya Da Bağlacı (⊻)

“p ⊻ q” bileşik önermesi iki önermeden yalnızca biri doğru olduğunda doğrudur. İkisi de doğru ya da ikisi de yanlışsa yanlıştır. Günlük dilde “ya çay ya da kahve” denildiğinde ikisinin birlikte seçilemeyeceği anlatılır; ya da bağlacı bu “yalnız biri” anlamını taşır.

Merdiven ışıklarında kullanılan vavien devre buna güzel bir örnektir: Lamba, merdivenin başındaki A anahtarı ve sonundaki B anahtarından yalnızca biri açıkken yanar. Kişi aşağıda A'yı açınca lamba yanar; yukarıda B'yi de açınca iki anahtar birden açık olur ve lamba söner. Bu durumda lambanın yanma koşulu “A açık ⊻ B açık” biçimindedir.

İse Bağlacı (⇒)

“p ⇒ q” ifadesi “p ise q” diye okunur. Algoritmalarda bir koşulun sağlanması durumunda belirli bir komutun yerine getirilmesini anlatır: “Koşul doğru ise şu işlemi yap.” Örneğin “Bir çubuğun uzunluğu diğer ikisinin toplamından büyük ya da toplamına eşit ise üçgen oluşturulamaz.”

Sözde kodda ise bağlacı genellikle “eğer … ise … değilse …” yapısıyla yazılır.

Bağlaçların Doğruluk Durumları

İki önermenin alabileceği doğru (D) ve yanlış (Y) değerlerine göre bağlaçların sonuçları:

• p = D, q = D: ve → D, veya → D, ya da → Y.
• p = D, q = Y: ve → Y, veya → D, ya da → D.
• p = Y, q = D: ve → Y, veya → D, ya da → D.
• p = Y, q = Y: ve → Y, veya → Y, ya da → Y.

Veya ile ya da arasındaki tek fark, iki önermenin de doğru olduğu satırdadır.

3. Niceleyiciler

Niceleyiciler, bir önermenin bir kümenin kaç elemanı için doğru olduğunu belirtir.

• Her niceleyicisi (∀): “Her x için …” ifadesi, önermenin kümedeki tüm ögeler için doğru olduğunu söyler. Bir tane bile karşı örnek varsa “her” ile kurulan ifade yanlıştır.
• Bazı niceleyicisi (∃): “Bazı x için …” veya “En az bir x için …” ifadesi, önermenin en az bir öge için doğru olduğunu söyler. Tek bir örnek bulmak bu ifadeyi doğrulamaya yeter.

Örneğin A = {2, 4, 6, 9} kümesi için “∀x ∈ A, x çifttir” önermesi yanlıştır (9 tek). “∃x ∈ A, x tektir” önermesi doğrudur.

Bir sayının 3'e bölünebilme kuralı da niceleyici ve bağlaçla yazılabilir: üç basamaklı abc sayısı için “∀ k, n ∈ Z⁺ için a + b + c = 3k ⇒ abc = 3n”. Bu ifade, rakamlar toplamı 3'ün katı olan her üç basamaklı sayının 3'ün katı olduğunu anlatır.

Algoritmaların işleyişinde niceleyiciler genellikle doğrudan görünmez ama arka planda çalışır. “Listedeki her öğrenciyi kontrol et” bir “her” döngüsüdür. “Koşulu sağlayan en az bir öğrenci var mı?” sorusu ise “bazı” niceleyicisidir; algoritma koşulu sağlayan ilk ögeyi bulduğunda durabilir.

4. Tablolarda Bileşik Koşullarla Seçim

Bir okulun burs programı için öğrenci bilgileri aşağıdaki gibi olsun (not ortalaması, gönüllü etkinlikte bulunma süresi, bilimsel projede yer alma):

• Aslı: 91, 2 yıl, evet.
• Barış: 86, 0 yıl, hayır.
• Ceren: 79, 4 yıl, evet.
• Deniz: 88, 3 yıl, hayır.
• Efe: 84, 1 yıl, evet.
• Gizem: 95, 2 yıl, evet.

Ve bağlacı koşulları sağlayan kümelerin kesişimini, veya bağlacı birleşimini verir. Bir koşul ile onun “değili” birlikte sağlanamaz. Örneğin “(Not < 83) ∨ (projede yer almadı)” ile “(Not >= 83) ∧ (projede yer aldı)” koşulları birbirinin tam tersidir; bir öğrenci bunlardan yalnız birini sağlar. Bu durum, algoritmada ikinci koşulu ayrıca kontrol etmeye gerek bırakmaz; birincisini sağlamayanlar otomatik olarak ikincisini sağlar.

Veri sayısı çok büyük olduğunda (örneğin 20 000 başvuru) tabloya tek tek bakmak verimsizdir. Bu durumda koşulları her öğe için otomatik olarak kontrol eden bir algoritma kullanılır.

5. Akış Şemasında Bağlaçlar: Üçgen Türü Belirleme

Bir üretici, metal çubuklardan üçgen biçimli çalgılar yapıyor. Uzunlukları a, b, c olan üç çubuk alındığında algoritma şöyle işler:

1. Üçgen eşitsizliği kontrol edilir: |b − c| < a ∧ a < b + c. Bu bileşik koşul yanlışsa “Çalgı üretilemez.” yazdırılır.
2. Koşul doğruysa a = b ∧ b = c kontrol edilir; doğruysa üçgen eşkenardır.
3. Değilse a = b ∨ b = c ∨ a = c kontrol edilir; doğruysa üçgen ikizkenardır.
4. Hiçbiri sağlanmıyorsa üçgen çeşitkenardır.

Bu algoritmada “ve” bağlacı koşulların aynı anda sağlanmasını, “veya” bağlacı eşitliklerden herhangi birinin yeterli olmasını, “ise” bağlacı ise koşula bağlı kararları (“koşul sağlanıyor ise şunu yazdır”) ifade eder.

6. Tüketme Yaklaşımı ve Kadane Algoritması

Bir sayı dizisinde art arda gelen elemanların toplamlarından en büyüğünü bulmak isteyelim. Örneğin dizi 4, −6, 3, 5, −2, 6, −7 olsun.

Tüketme yaklaşımında her başlangıç noktası için bütün ardışık toplamlar hesaplanır ve karşılaştırılır. n elemanlı bir dizide yaklaşık n · (n + 1) / 2 toplam incelenir; dizi uzadıkça hesaplama süresi çok hızlı artar.

Kadane algoritması diziyi yalnızca bir kez dolaşır. Her adımda “o elemanda biten en büyük toplam” şu kuralla güncellenir: Önceki toplam negatifse onu bırak ve yeni elemanla yeni bir toplama başla; değilse yeni elemanı önceki toplama ekle. Her adımda bulunan değer şimdiye kadarki en büyük toplamla karşılaştırılır.

Negatif bir ara toplam, ardından gelen elemanlara eklendiğinde toplamı yalnızca küçültür. Bu nedenle Kadane algoritmasında negatif ara toplamlar dikkate alınmaz ve yeni bir toplama başlanır.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Bağlacın Doğruluk Değeri

İki önermenin doğruluk değerleri verilir; bileşik önermenin değeri sorulur.

Kalıp 2: Tablodan Süzme

Bir veri tablosu ve bileşik koşul verilir; koşulu sağlayanlar sorulur.

Kalıp 3: Niceleyici

Bir küme ve “her” ya da “bazı” ile kurulmuş önerme verilir.

Kalıp 4: Kadane

Bir dizide ardışık elemanların en büyük toplamı istenir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Veya (∨) iki önerme de doğruyken doğrudur; ya da (⊻) bu durumda yanlıştır.
• Ve bağlacında tek bir yanlış önerme bütün ifadeyi yanlış yapar.
• “Her” ile kurulan önermeyi yanlışlamak için tek bir karşı örnek yeter; “bazı” ile kurulan önermeyi doğrulamak için tek bir örnek yeter.
• “En az 85” ifadesi >= 85, “85'ten fazla” ifadesi > 85 demektir.
• “En az 2 yıl” >= 2, “2 yıldan fazla” > 2 demektir.
• Üçgen eşitsizliği kontrolünde iki koşul “ve” ile bağlanır, “veya” ile değil.
• Kadane algoritmasında negatif ara toplam bırakılır; negatif eleman değil.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Sözel ifadedeki basit önermeleri ayır ve her birine harf ver.
• Bağlacı ve varsa niceleyiciyi belirle; eşitsizlik yönlerine (>, >=) dikkat et.
• Tablo sorularında her koşul için ayrı liste çıkar; ve için kesişim, veya için birleşim al.
• Ya da sorularında iki koşulu birden sağlayanları çıkar.
• Akış şeması sorularında her karar adımının hangi bağlaçla kurulduğunu belirle ve verilen girdiyle adım adım ilerle.
• Dizi sorularında güncel toplamı ve en büyük toplamı iki ayrı sütunda takip et.

Konu Özeti

Algoritmalardaki koşullar çoğu zaman mantık bağlaçlarıyla birleşmiş önermelerden oluşur. Ve (∧) önermelerin hepsinin, veya (∨) en az birinin, ya da (⊻) yalnızca birinin doğru olup olmadığını kontrol eder; ise (⇒) bir koşul sağlandığında belirli bir komutun yerine getirilmesini sağlar. Her (∀) niceleyicisi önermenin tüm ögeler için, bazı (∃) niceleyicisi en az bir öge için doğru olduğunu ifade eder. Bu yapılar tablolardan veri seçmede, üçgen türü belirleme gibi akış şemalarında ve vavien devre gibi gerçek sistemlerde kullanılır. Ardışık elemanların en büyük toplamını bulmada tüketme yaklaşımı tüm toplamları incelerken, Kadane algoritması negatif ara toplamları bırakarak diziyi tek geçişte inceler ve çok daha verimlidir.