9. Sınıf Matematik Benzer Üçgenler Oluşturma Konu Anlatımı

Benzer Üçgenler Oluşturma

Üçgen biçimli bir balık havuzunun içine, yavru balıklar için yine üçgen biçimli küçük bir bölme yapmak istediğimizi düşünelim. Bölmenin büyük havuzla aynı biçimde, yani ona benzer olmasını istiyorsak bölme çizgisini rastgele çekemeyiz. Hangi noktaları birleştirirsek benzer bir üçgen elde ederiz? Bunun için önceden hangi ölçümleri yapmalıyız?

Birçok geometri probleminin temelinde iç içe geçmiş benzer üçgenler vardır. Bir üçgene benzer başka bir üçgenin nasıl oluşturulduğunu bilmek, bu problemlerde hangi üçgenlerin benzer olduğunu görmeyi ve gerektiğinde şekle yardımcı bir doğru çizerek benzerlik yaratmayı sağlar. Bu konuda benzerlik koşullarını kullanarak bir üçgenin içinde benzer üçgenler oluşturmayı öğreneceğiz.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• bir üçgenin iki kenarı üzerinde, ortak köşeye göre orantılı noktaları birleştirerek benzer üçgen oluşturmak,
• bir kenara paralel doğru çizerek benzer üçgen oluşturmak ve oranları yazmak,
• orta taban özelliğini kullanmak,
• yardımcı paralel çizerek bilinmeyen uzunluk, oran ve açıları bulmak,
• dik üçgende dik köşeden çizilen yüksekliğin oluşturduğu benzer üçgenleri belirlemek,
• bu benzerlikleri günlük hayat problemlerinde kullanmak.

1. Ortak Köşeden Orantılı Noktalar Seçerek Benzer Üçgen Oluşturma

ABC üçgeninde K noktası AB üzerinde, L noktası AC üzerinde olsun. AKL ve ABC üçgenlerinin A açısı ortaktır. Bu iki üçgenin benzer olması için ortak açıyı oluşturan kenarların orantılı olması yeterlidir (K.A.K.). Bunun iki farklı yolu vardır.

Birinci Yol: AK/AB = AL/AC

Bu durumda K, B ile; L, C ile eşleşir ve AKL ∼ ABC olur. Karşılıklı açılar eşit olduğundan m(AKL) = m(ABC) olur. Bu açılar yöndeş açılardır; bu yüzden KL ∥ BC'dir. Yani kenarları aynı oranda bölen noktaları birleştiren doğru parçası karşı kenara paraleldir.

İkinci Yol: AK/AC = AL/AB

Bu durumda K, C ile; L, B ile eşleşir ve AKL ∼ ACB olur. Üçgenler yine benzerdir ama KL, BC'ye paralel değildir; küçük üçgen büyük üçgenin “ters dönmüş” bir kopyası gibidir. Bu durumda m(AKL) = m(ACB) ve m(ALK) = m(ABC) olur.

Bu yüzden benzer üçgen oluşturulurken iki eşleştirmenin de kontrol edilmesi gerekir. Oranlar hangi eşleştirmede eşit çıkıyorsa benzerlik o eşleştirmeyle yazılır.

2. Bir Kenara Paralel Çizerek Benzer Üçgen Oluşturma

ABC üçgeninde AB ve AC kenarlarını kesen ve BC'ye paralel olan bir d doğrusu çizelim; d, AB'yi D'de, AC'yi E'de kessin.

• A açısı iki üçgende ortaktır.
• DE ∥ BC olduğundan yöndeş açılar eşittir: m(ADE) = m(ABC) ve m(AED) = m(ACB).

İki açı eşit olduğundan ADE ∼ ABC (A.A.) ve

AD/AB = AE/AC = DE/BC

olur. Bu sonuç, kenara paralel çizilen her doğru için geçerlidir; doğru hangi kenara paralel çizilirse çizilsin, oluşan küçük üçgen büyük üçgene benzerdir.

Oranı yazarken tam kenar kullanılmalıdır. AD/DB ve AE/EC oranları da birbirine eşittir, ama DE/BC oranı AD/DB'ye değil AD/AB'ye eşittir.

Orta Taban

Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir. Orta noktalar kenarları 1/2 oranında böldüğünden oluşan küçük üçgen büyük üçgene benzerdir ve benzerlik oranı 1/2'dir. Bu yüzden orta taban üçüncü kenara paraleldir ve uzunluğu üçüncü kenarın yarısıdır.

Tersine, bir kenarın orta noktasından diğer kenara paralel çizilen doğru, üçüncü kenarı da orta noktasından keser.

3. Yardımcı Paralel Çizerek Problem Çözme

Bazı problemlerde şekilde hazır benzer üçgen yoktur. Uygun bir noktadan bir kenara paralel doğru çizilerek benzer üçgenler oluşturulur. Paralel çizilecek noktayı seçerken genellikle oranı bilinen bir noktadan (orta nokta, belirli oranda bölen nokta) başlamak işe yarar.

Kenarortaylar ve Orta Taban

KLM üçgeninde LP ve MN kenarortaylar olsun (P, KM'nin; N, KL'nin orta noktası) ve G noktasında kesişsinler. NP orta taban olduğundan NP ∥ LM ve NP = LM/2'dir. NP ∥ LM olduğundan GNP ∼ GML (A.A.; ters açılar ve iç ters açılar). Benzerlik oranı NP/ML = 1/2 olduğundan GP/GL = 1/2, yani GL = 2 · GP'dir. Kenarortaylar kesim noktasında 2'ye 1 oranında bölünür.

4. Dik Üçgende Yüksekliğin Oluşturduğu Benzer Üçgenler

PRS üçgeninde P açısı dik olsun ve P'den hipotenüse PH yüksekliği çizilsin. m(PRH) = a ve m(RPH) = b alırsak PRH üçgeninde a + b = 90°'dir. P açısı 90° olduğundan m(HPS) = a; PHS üçgeninde m(PSH) = b olur.

Böylece PRH, SPH ve SRP üçgenlerinin üçünün de açıları 90°, a ve b'dir. Bu üç üçgen Açı-Açı koşuluna göre birbirine benzerdir: Bir dik üçgenin dik köşesinden çizilen yüksekliğin oluşturduğu iki üçgen, hem birbirine hem de büyük üçgene benzerdir.

5. Günlük Hayattan Uygulamalar

Duvara dayalı bir merdiven, yer ve duvar bir dik üçgen oluşturur. Merdiven üzerindeki her basamaktan yere inen dikme, duvara paraleldir. Bu yüzden her basamakta oluşan küçük üçgen büyük üçgene A.A. koşuluna göre benzerdir.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Eşit Aralıklarla Bölünmüş Kenarlar

Kenarlar eşit parçalara bölünür; hangi noktaların birleştirileceği veya oluşan doğru parçasının uzunluğu sorulur.

Kalıp 2: Paralel Doğru ile Uzunluk

Bir kenara paralel doğru çizilir; parça uzunluğu istenir.

Kalıp 3: Yardımcı Paralel ile Oran

Bir kenarortay veya belirli oranda bölen noktadan geçen iki doğru parçasının kesişimiyle oluşan oran sorulur.

Kalıp 4: Dik Üçgende Yükseklik

Dik köşeden çizilen yükseklik ve hipotenüs parçaları verilir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Ortak köşeden orantılı noktalar iki şekilde eşleşebilir: AK/AB = AL/AC ise KL ∥ BC'dir; AK/AC = AL/AB ise üçgenler yine benzerdir ama KL, BC'ye paralel değildir.
• Paralel doğru oranında tam kenar kullanılır: DE/BC = AD/AB, AD/DB değil.
• Orta taban üçüncü kenarın yarısıdır; ikinci kenarın değil.
• Yardımcı paralel rastgele çizilmez; oranı bilinen bir noktadan geçirilir.
• Dik üçgende yüksekliğin oluşturduğu iki küçük üçgende eş açıları doğru eşleştirmek gerekir: Küçük üçgenlerden birinin dar açısı diğerinin öbür dar açısına eşittir.
• Kenarortaylar kesim noktasında köşeden itibaren 2'ye 1 oranında bölünür; 1'e 1 değil.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Ortak açıyı bul ve ortak açıyı oluşturan kenarların oranlarını iki eşleştirme için de hesapla.
• Paralel doğru varsa A.A. benzerliğini yaz; oranları tam kenarlarla kur.
• Hazır benzer üçgen yoksa oranı bilinen bir noktadan uygun kenara paralel çiz.
• Oranlar için uzunluklara p, 2p, k gibi harfler vererek işlem yap; sonunda oranı sadeleştir.
• Dik üçgende yükseklik görünce üç benzer üçgeni ve eşit açıları işaretle.
• Bulduğun sonucu, mümkünse ikinci bir benzerlik veya orta taban gibi bir özellikle kontrol et.

Konu Özeti

Bir üçgene benzer üçgen oluşturmanın temel yolları, ortak köşeyi oluşturan iki kenar üzerinde orantılı noktalar seçmek (K.A.K.) ve bir kenara paralel doğru çizmektir (A.A.). AK/AB = AL/AC ise KL karşı kenara paraleldir; AK/AC = AL/AB ise üçgenler benzerdir ama bu doğru parçası paralel değildir. Bir kenara paralel çizilen doğru ile oluşan üçgende AD/AB = AE/AC = DE/BC'dir. Orta taban üçüncü kenara paralel ve onun yarısıdır; kenarortaylar kesim noktasında 2'ye 1 oranında bölünür. Hazır benzer üçgen olmayan problemlerde oranı bilinen noktadan yardımcı paralel çizilir. Dik üçgende dik köşeden çizilen yükseklik, birbirine ve büyük üçgene benzer iki dik üçgen oluşturur.