9. Sınıf Matematik Tales, Öklid ve Pisagor Teoremleri Ders Notu

Tales, Öklid ve Pisagor Teoremleri – Ders Notu

Üç teorem de benzer üçgenlere dayanır. Paralel doğrular oranları korur; dik üçgende hipotenüse çizilen yükseklik birbirine benzer üç üçgen oluşturur.

Temel Orantı Teoremi

DE ∥ BC (D ∈ AB, E ∈ AC) ⇒ AD/DB = AE/EC.

• Parça uzunlukları için kullanılır.
• Paralel kenar için tam kenar oranı: DE/BC = AD/AB.

Tales Teoremi

d₃ ∥ d₄ ∥ d₅ ve iki kesen ⇒ AB/BC = DE/EF.

• İspat: bir kesene paralel çizilir, paralelkenarlar ve temel orantı kullanılır.

Özel Durumlar

• Zincirleme paralel: DF ∥ BE ve DE ∥ BC ⇒ AF/FE = AE/EC (ikisi de AD/DB'ye eşit).
• Kelebek: AB ∥ CD, AD ile BC H'de kesişir ⇒ AB/DC = AH/DH = BH/CH. Karanlık kutu görüntüsü bu şekilde bulunur.
• İki dik direk: 1/x = 1/b + 1/c (6 ve 12 m direklerde x = 4 m).

Öklid Teoremi

A dik, AH ⊥ BC, BH = p, HC = k, BC = a, AC = b, AB = c, AH = h:

• h² = p · k
• b² = k · a
• c² = p · a

Örnek: BH = 2, HC = 8 ⇒ h = 4; c² = 2 · 10 = 20.

Pisagor Teoremi

C dik ⇒ a² + b² = c². Öklid'den a² = p · c ve b² = k · c toplanarak ispatlanır.

• Sık üçlüler: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 ve katları.
• Eşkenar üçgende yükseklik: kenar 6 ⇒ h² = 36 − 9 ⇒ h = 3√3.

Kısa Özet

Paralel doğru parçaları orantılı ayırır (temel orantı, Tales). Dik üçgende yükseklik Öklid bağıntılarını verir; bunlardan Pisagor teoremi çıkar. Açının türü, karşı kenarın karesini diğer kenarların kareleri toplamıyla karşılaştırır.