9. Sınıf Matematik Eşlik ve Benzerlik Koşulları Konu Anlatımı

Eşlik ve Benzerlik Koşulları

Bir duvar resminde, bir köprü iskeletinde ya da bir çatı makasında aynı biçimde tekrar eden üçgenler görürüz. Bu üçgenlerin bazıları birbirinin tıpatıp aynısıdır, bazıları ise aynı biçimde olup yalnızca büyüklükleri farklıdır. İlk duruma eşlik, ikinci duruma benzerlik denir. İki üçgenin eş ya da benzer olduğunu göstermek için bütün kenarlarını ve bütün açılarını tek tek ölçmek gerekmez; birkaç uygun ölçüm yeterlidir. Bu konuda hangi ölçümlerin yeterli olduğunu, yani eşlik ve benzerlik koşullarını öğreneceğiz.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• eş üçgen ve benzer üçgen kavramlarını açıklamak ve sembolle doğru göstermek,
• Kenar-Kenar-Kenar, Kenar-Açı-Kenar ve Açı-Kenar-Açı eşlik koşullarını kullanmak,
• Kenar-Kenar-Kenar, Açı-Açı ve Kenar-Açı-Kenar benzerlik koşullarını kullanmak,
• benzerlik oranını bulmak ve bu oranla bilinmeyen uzunlukları hesaplamak,
• eşlik ve benzerlik koşullarını ispatlarda ve günlük hayat problemlerinde kullanmak.

1. Eş Üçgenler

Yansıma, öteleme ve dönme gibi geometrik dönüşümler kenar uzunluklarını, açı ölçülerini, çevreyi ve alanı korur. Bu yüzden bir üçgen ile bu dönüşümler altındaki görüntüsünün karşılıklı kenarları ve açıları eşittir; yani bu iki üçgen eştir.

İki üçgenin köşeleri arasında bire bir eşleme yapıldığında karşılıklı kenar uzunlukları ve karşılıklı açı ölçüleri eşit ise bu üçgenlere eş üçgenler denir. KLM ve PRT üçgenleri eşse KLM ≅ PRT yazılır. Bu yazım şunu söyler: K ile P, L ile R, M ile T karşılıklı köşelerdir. Dolayısıyla KL = PR, LM = RT, KM = PT ve K, L, M açıları sırasıyla P, R, T açılarına eşittir.

Sembolde köşe sırasına dikkat etmek çok önemlidir. KLM ≅ PRT yerine KLM ≅ RPT yazmak, K ile R'nin karşılıklı olduğunu iddia etmek demektir ve genellikle yanlıştır.

Eşlik İçin Asgari Koşullar

İki üçgenin eş olduğunu göstermek için altı eşitliğin (üç kenar, üç açı) hepsini göstermeye gerek yoktur. Bir üçgeni tek türlü belirleyen bilgiler, eşlik için de yeterlidir. Bunu cetvel ve açıölçerle üçgen çizerek deneyebiliriz: Bazı bilgilerle yalnızca tek bir üçgen çizilebilirken, bazı bilgilerle birbirinden farklı birçok üçgen çizilebilir.

• Üç kenarı bilinen tek bir üçgen çizilebilir.
• İki kenarı ve bu kenarların arasındaki açısı bilinen tek bir üçgen çizilebilir.
• İki açısı ve bir kenarı bilinen tek bir üçgen çizilebilir.
• Üç açısı bilinen sonsuz sayıda üçgen çizilebilir (büyüklükleri farklı olur).

Son madde önemlidir: Karşılıklı açılarının hepsi eşit olan iki üçgen eş olmak zorunda değildir. Bu üçgenler benzerdir ama biri diğerinden büyük olabilir.

2. Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Eşliği

Üç kenar uzunluğu bilinen tek bir üçgen çizilebildiğinden karşılıklı üç kenar uzunluğu eşit olan iki üçgen eştir. Eş oldukları için karşılıklı açıları da eşittir.

Örneğin kenarları 5 cm, 9 cm ve 11 cm olan iki üçgen, nasıl çizilirse çizilsin üst üste getirildiğinde çakışır.

3. Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Eşliği

İki kenar uzunluğu ve bu iki kenarın arasındaki açısı bilinen tek bir üçgen çizilebilir. Bu yüzden karşılıklı iki kenarı ve bu kenarların oluşturduğu açıları eşit olan iki üçgen eştir. Eş olan bu üçgenlerin üçüncü kenarları ve diğer açıları da eşittir.

Dikkat: Açı, bilinen iki kenarın arasındaki açı olmalıdır. İki kenar ve bu kenarlardan birinin karşısındaki açı eşitliği, eşlik için yeterli değildir; bu bilgilerle iki farklı üçgen çizilebilir.

4. Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) Eşliği

Yalnızca açıların eşit olması eşlik için yetmez; çünkü üç açısı bilinen sonsuz sayıda üçgen vardır. Ancak karşılıklı ikişer açının ve bir kenarın eşit olması yeterlidir. En yaygın biçimde iki açı ve bu açıların arasındaki kenar kullanılır. İki açı eşitse üçüncü açılar da eşit olacağından, karşılık gelen herhangi bir kenarın eşitliği de eşliği garanti eder.

5. Benzer Üçgenler

İki üçgenin karşılıklı açıları eş ve bu açıların karşısındaki kenar uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir. ABC ve DEF üçgenlerinde

m(A) = m(D), m(B) = m(E), m(C) = m(F) ve AB/DE = BC/EF = AC/DF = k

ise ABC ∼ DEF yazılır. Buradaki k sayısına benzerlik oranı denir. Eşlikte olduğu gibi benzerlikte de sembolde karşılıklı köşeler aynı sırada yazılır; oranları kurarken bu sıradan yararlanılır.

Benzerlik oranının bazı sonuçları:

• Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarlarının hepsi aynı oranla büyür veya küçülür.
• Çevre uzunlukları da aynı oranla değişir: Çevrelerin oranı benzerlik oranına eşittir.
• Benzerlik oranı 1 ise karşılıklı kenarlar eşittir; benzer üçgenler eştir. Yani her eşlik aynı zamanda bir benzerliktir, ama her benzerlik eşlik değildir.

6. Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Benzerliği

İki üçgenin karşılıklı üç kenar uzunluğu orantılı ise bu üçgenler benzerdir. Oranları kurarken en kısa kenarı en kısa kenarla, ortanca kenarı ortanca kenarla, en uzun kenarı en uzun kenarla eşleştirmek gerekir.

Örneğin kenarları 4, 6, 7 cm olan bir üçgen ile kenarları 8, 12, 14 cm olan bir üçgen benzerdir; çünkü 4/8 = 6/12 = 7/14 = 1/2'dir.

7. Açı-Açı (A.A.) Benzerliği

İki üçgenin karşılıklı iki açısı eş ise bu üçgenler benzerdir. İki açı eşitse üçüncü açılar da eşittir ve karşılıklı kenarlar orantılı olur. Bu koşul en sık kullanılan benzerlik koşuludur, çünkü açı eşitlikleri şekillerde kolayca bulunur:

• ortak açılar,
• ters açılar,
• paralel doğrularla oluşan yöndeş ve iç ters açılar,
• dik açılar.

Paralel Doğru ile Oluşan Benzer Üçgenler

ABC üçgeninde D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerinde ve DE ∥ BC olsun. A açısı ortaktır; DE ∥ BC olduğundan yöndeş açılar eşittir: m(ADE) = m(ABC). Bu yüzden ADE ∼ ABC (A.A.) ve

AD/AB = AE/AC = DE/BC

olur. Oranları kurarken parçaların değil, tam kenarların kullanıldığına dikkat edilmelidir: AD/AB yazılır, AD/DB değil.

Benzer biçimde AB ∥ DE olacak şekilde iki doğru parçası C noktasında kesişirse (A, C, E ve B, C, D doğrusal), C'deki ters açılar ve paralellikten gelen iç ters açılar eşit olduğundan ABC ∼ EDC (A.A.) olur.

Ortak Açı ile Oluşan Benzer Üçgenler

ABC üçgeninde D noktası BC üzerinde ve m(BAD) = m(ACB) olsun. ABD ve CBA üçgenlerinde B açısı ortaktır ve m(BAD) = m(BCA)'dır. Bu yüzden ABD ∼ CBA (A.A.). Karşılıklı kenarlar:

AB/CB = BD/BA = AD/CA.

İlk eşitlikten AB · AB = BD · BC elde edilir. Bu tip sorularda üçgenleri ayrı ayrı çizip karşılık gelen köşeleri eşleştirmek hatayı önler.

8. Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Benzerliği

İki üçgenin karşılıklı iki kenar uzunluğu orantılı ve bu kenarların oluşturduğu açılar eş ise bu üçgenler benzerdir. Eşlikteki gibi burada da açı, orantılı iki kenarın arasındaki açı olmalıdır.

Orta Taban Özelliği

DEF üçgeninde K, DE kenarının; L, DF kenarının orta noktası olsun. DK/DE = DL/DF = 1/2 ve D açısı ortaktır. Bu yüzden DKL ∼ DEF (K.A.K.) ve benzerlik oranı 1/2'dir. Buradan iki sonuç çıkar:

• KL = EF/2, yani EF = 2 · KL.
• m(DKL) = m(DEF) olduğundan bu açılar yöndeştir ve KL ∥ EF'dir.

Üçgen biçimli bir kâğıt iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru boyunca kesilirse elde edilen küçük üçgen, büyük üçgene bu nedenle benzerdir.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Hangi Eşlik Koşulu?

Bir şekilde verilen eşitliklerden hangi koşulun kullanılacağı sorulur.

Kalıp 2: Paralel Doğru ile Oran

Üçgende tabana paralel bir doğru çizilir; bir kenar uzunluğu istenir.

Kalıp 3: Ortak Açılı Benzerlik

Bir açının başka bir üçgendeki açıya eşit olduğu verilir.

Kalıp 4: Ölçek ve Çevre

Harita veya maket üzerinden gerçek uzunluk istenir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Üç açının eşit olması eşlik için yetmez; yalnız benzerlik verir.
• K.A.K. koşulunda açı, iki kenarın arasındaki açı olmalıdır; bir kenarın karşısındaki açı yetmez.
• Sembolde köşe sırası karşılıklı köşeleri gösterir; ABC ≅ DEF ile ABC ≅ EDF farklı iddialardır.
• Paralel doğru ile kurulan oranda tam kenar kullanılır: AD/AB, AD/DB değil.
• Benzerlik oranı 1 ise üçgenler eştir; her eş üçgen çifti benzerdir, tersi doğru değildir.
• Çevrelerin oranı benzerlik oranına eşittir.
• K.K.K. benzerliğinde kenarlar büyüklük sırasına göre eşleştirilir; sıra karışırsa oranlar eşit çıkmaz.
• Ortak açılı benzerlikte üçgenleri ayrı çizip köşeleri eşleştirmeden oran kurmak hataya yol açar.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Şekilde ortak kenarları, ortak açıları, ters açıları ve paralel doğruların oluşturduğu açıları işaretle.
• Kenar eşitlikleri mi, kenar oranları mı verildiğine bak: eşitlik eşliğe, oran benzerliğe işaret eder.
• Hangi koşulun sağlandığını belirle ve parantez içinde yaz (K.K.K., K.A.K., A.K.A., A.A.).
• Karşılıklı köşeleri doğru sırayla yazarak sembolü kur; oranları bu sıradan oku.
• Bilinmeyeni tek bir orandan çöz; sonucu başka bir oranla kontrol et.
• Günlük hayat problemlerinde (gölge, harita, merdiven, kamera) önce üçgenleri çiz, eşit açıları belirle.

Konu Özeti

Karşılıklı kenarları ve açıları eşit olan üçgenler eştir (≅). Eşlik için üç kenarın eşitliği (K.K.K.), iki kenar ve aralarındaki açının eşitliği (K.A.K.) ya da iki açı ve bir kenarın eşitliği (A.K.A.) yeterlidir; yalnız açı eşitliği yetmez. Karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenler benzerdir (∼); orana benzerlik oranı denir ve çevreler de bu oranla değişir. Benzerlik için üç kenarın orantılı olması (K.K.K.), iki açının eşitliği (A.A.) ya da iki kenarın orantılı ve aralarındaki açının eşit olması (K.A.K.) yeterlidir. Benzerlik oranı 1 olan benzer üçgenler eştir. Tabana paralel doğru, ortak açı ve ters açı durumları A.A. benzerliğinin en sık görülen kaynaklarıdır; iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçası üçüncü kenara paralel ve onun yarısıdır.