9. Sınıf Matematik Tales, Öklid ve Pisagor Teoremleri Konu Anlatımı

Tales, Öklid ve Pisagor Teoremleri

Antik çağda Tales'in, Mısır piramitlerinin yüksekliğini yalnızca yere dikilmiş bir çubuk ve gölgeler yardımıyla hesapladığı anlatılır. Aynı saatte güneş ışınları çubuğa ve piramide aynı açıyla geldiğinden çubuk ile gölgesi, piramit ile gölgesi benzer üçgenler oluşturur. Çubuğun boyu ve iki gölge ölçülürse piramidin yüksekliği bir orantıyla bulunur.

Benzerlik çalışmalarında en sık karşılaşılan şekiller paralel doğrular ve kesenlerden oluşur. Bu konuda benzer üçgenlerden yararlanarak üç önemli teoremi inceleyeceğiz: paralel doğrular ile kesenler arasındaki ilişkiyi veren Tales teoremi, dik üçgende hipotenüse ait yükseklikle ilgili Öklid teoremi ve dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi veren Pisagor teoremi.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• temel orantı teoremini ve Tales teoremini benzerlikle ispatlamak ve kullanmak,
• paralel doğrular ve kesenlerle kurulan problemlerde bilinmeyen uzunlukları bulmak,
• Öklid teoremini ve ilgili bağıntıları benzerlikle elde etmek ve kullanmak,
• Pisagor teoremini Öklid teoremiyle ispatlamak ve kullanmak,
• bir açının dar, dik veya geniş olmasına göre karşısındaki kenarın karesini diğer kenarların kareleri toplamıyla karşılaştırmak,
• bu teoremleri günlük hayat problemlerinde kullanmak.

1. Temel Orantı Teoremi

ABC üçgeninde D noktası AB üzerinde, E noktası AC üzerinde ve DE ∥ BC olsun. Daha önce gördüğümüz gibi ADE ∼ ABC (A.A.) ve AD/AB = AE/AC'dir.

AB = AD + DB ve AC = AE + EC yazılırsa AD/(AD + DB) = AE/(AE + EC) olur. İçler dışlar çarpımı yapılıp sadeleştirilirse

AD/DB = AE/EC

elde edilir. Bu sonuca temel orantı teoremi denir: Bir üçgenin bir kenarına paralel olan doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara ayırır.

Dikkat: AD/DB = AE/EC eşitliği parçalar arasındadır. DE uzunluğu bu oranla değil, AD/AB oranıyla bulunur: DE/BC = AD/AB.

2. Tales Teoremi

Teorem: Birbirine paralel en az üç doğru, kendilerini kesen farklı iki doğru üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturur.

d₃ ∥ d₄ ∥ d₅ olsun. d₁ doğrusu bu doğruları A, B, C noktalarında; d₂ doğrusu D, E, F noktalarında kessin. Tales teoremine göre

AB/BC = DE/EF.

İspat fikri: A noktasından d₂'ye paralel bir doğru çizelim; bu doğru d₄'ü K'de, d₅'i L'de kessin. AKED ve KLFE paralelkenar olduğundan AK = DE ve KL = EF'dir. ACL üçgeninde BK ∥ CL olduğundan temel orantı teoremiyle AB/BC = AK/KL olur. Buradan AB/BC = DE/EF elde edilir.

Tales teoremi ile temel orantı teoremi aynı fikre dayanır: Paralel doğrular, kesenler üzerinde aynı oranları korur. İki kesen bir noktada kesişiyorsa (üçgen durumu) temel orantı teoremi, kesişmiyorsa Tales teoremi doğrudan kullanılır.

Paralel Doğrularla Zincirleme Oranlar

Bir üçgende birden fazla paralel doğru varsa temel orantı teoremi art arda kullanılarak bilinmeyen uzunluk bulunur.

Kelebek Durumu

AB ve CD doğru parçaları birbirine paralel olsun; AD ve BC doğru parçaları H noktasında kesişsin. H'deki ters açılar eşittir ve paralellikten iç ters açılar eşittir. Bu yüzden AHB ∼ DHC (A.A.) ve

AB/DC = AH/DH = BH/CH

olur. Karanlık kutu (iğne deliği) kamerasında ve mum alevinin kutu yüzeyindeki görüntüsünde bu benzerlik kullanılır.

İki Dik Direk Arasındaki Kesişim

İki dik direğin tepelerinden karşıdaki direğin dibine teller gerilsin. Tellerin kesişim noktasından yere inen dikmenin uzunluğu x, direklerin boyları b ve c ise iki ayrı benzerlik (A.A.) yazılıp taraf tarafa toplanırsa

1/x = 1/b + 1/c

bağıntısı elde edilir. Direkler arasındaki uzaklık bu sonuca etki etmez.

3. Öklid Teoremi

Teorem: Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir.

BAC dik üçgeninde m(BAC) = 90°, AH ⊥ BC olsun. BH = p, HC = k, BC = a, AC = b, AB = c ve AH = h olsun.

İspat: ABH, CAH ve CBA üçgenlerinin her birinde bir dik açı vardır ve ABH ile CBA'da B açısı, CAH ile CBA'da C açısı ortaktır. Bu yüzden üç üçgen de A.A. koşuluna göre birbirine benzerdir.

• ABH ∼ CAH ⇒ AH/CH = BH/AH ⇒ h² = p · k.
• CAH ∼ CBA ⇒ CA/CB = CH/CA ⇒ b² = k · a.
• BAH ∼ BCA ⇒ BA/BC = BH/BA ⇒ c² = p · a.

Bu üç bağıntının hepsine Öklid bağıntıları denir. Her bir dik kenarın karesi, hipotenüs ile o kenara komşu olan hipotenüs parçasının çarpımına eşittir.

4. Pisagor Teoremi

Teorem: Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir.

ACB dik üçgeninde C açısı dik, BC = a, AC = b ve AB = c ise a² + b² = c².

İspat (Öklid teoremiyle): C'den hipotenüse CH yüksekliği çizilsin; AH = k, HB = p ve p + k = c olsun. Öklid bağıntılarından a² = p · c ve b² = k · c'dir. Taraf tarafa toplanırsa

a² + b² = p · c + k · c = c · (p + k) = c · c = c².

Pisagor teoreminin bilinen yüzlerce farklı ispatı vardır. Bu teorem dik üçgende iki kenarı bilinen durumlarda üçüncü kenarı bulmaya yarar.

Kenarları tam sayı olan bazı dik üçgenler sık karşımıza çıkar: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 ve bunların katları (6-8-10, 9-12-15 gibi). Bu üçlüler işlemi hızlandırır ama her zaman Pisagor bağıntısıyla kontrol edilmelidir.

5. Açının Türüne Göre Kenarlar Arasındaki İlişki

Bir üçgende iki kenar sabit tutulup aralarındaki açı büyütülürse karşıdaki kenar uzar. Açı 90° iken karşı kenarın karesi diğer iki kenarın kareleri toplamına eşittir. Buna göre ABC üçgeninde C açısının karşısındaki kenar c, diğer kenarlar a ve b ise:

• m(C) > 90° ⇒ c² > a² + b²,
• m(C) = 90° ⇒ c² = a² + b²,
• m(C) < 90° ⇒ c² < a² + b².

Bu ilişki, üçgen eşitsizliği ile birlikte kullanıldığında bir kenarın alabileceği değerleri daraltır.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Temel Orantı ve Tales

Paralel doğrular ve kesenlerle bir parça uzunluğu istenir.

Kalıp 2: Öklid Bağıntıları

Dik üçgende yükseklik ve hipotenüs parçaları verilir.

Kalıp 3: Pisagor ile Uzaklık

Birim kareli zemin, dikdörtgen yol veya merdiven gibi bir durumda kuş uçuşu uzaklık istenir.

Kalıp 4: Geniş veya Dar Açıya Göre Kenar Aralığı

İki kenar ve aralarındaki açının türü verilir; üçüncü kenarın değer aralığı istenir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Temel orantı parçalar arasındadır (AD/DB = AE/EC); paralel kenarın uzunluğu ise tam kenar oranıyla bulunur (DE/BC = AD/AB).
• Tales teoreminde oranlar aynı sıradaki parçalar arasında kurulur; bir kesende üst/alt, diğer kesende de üst/alt yazılır.
• Öklid'de dik kenarın karesi, o kenara komşu hipotenüs parçası ile hipotenüsün çarpımıdır; karşıdaki parça ile değil.
• h² = p · k bağıntısında h, hipotenüse ait yüksekliktir; başka bir yükseklik için geçerli değildir.
• Pisagor teoremi yalnız dik üçgende geçerlidir; hipotenüs her zaman dik açının karşısındaki en uzun kenardır.
• Geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür; dar açıda küçüktür.
• 1/x = 1/b + 1/c bağıntısında direkler arasındaki uzaklık sonucu etkilemez.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Şekilde paralel doğruları işaretle; kesenlerin kesişip kesişmediğine bak.
• Parça uzunluğu isteniyorsa temel orantı veya Tales, paralel kenar uzunluğu isteniyorsa benzerlik oranı kullan.
• Dik üçgende hipotenüse yükseklik görürsen üç Öklid bağıntısını yaz ve verilene uyanı seç.
• Dik üçgende iki kenar biliniyorsa üçüncüyü Pisagor ile bul; bilinen üçlüleri (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) kontrol et.
• Açının türü verilmişse önce dik açı durumundaki değeri bul, sonra büyüktür veya küçüktür yönünü belirle; üçgen eşitsizliğini de unutma.
• Sonucu, mümkünse bir başka bağıntıyla (örneğin Pisagor ile Öklid sonucunu) kontrol et.

Konu Özeti

Bir üçgenin bir kenarına paralel doğru diğer iki kenarı orantılı parçalara ayırır (temel orantı teoremi: AD/DB = AE/EC). Paralel en az üç doğru, iki kesen üzerinde orantılı parçalar oluşturur (Tales teoremi: AB/BC = DE/EF). Bu teoremler gölge, gölet genişliği, karanlık kutu ve direk problemlerinde kullanılır. Dik üçgende hipotenüse ait yükseklik birbirine benzer üç üçgen oluşturur ve Öklid bağıntıları elde edilir: h² = p · k, b² = k · a, c² = p · a. Bu bağıntılar toplanarak Pisagor teoremi ispatlanır: dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Bir açı geniş ise karşısındaki kenarın karesi diğer iki kenarın kareleri toplamından büyük, dar ise küçüktür.