9. Sınıf Matematik Mantık Bağlaçları ve Niceleyicilerin Algoritmik Problemlerde Kullanımı Ders Notu

Mantık Bağlaçları ve Niceleyicilerin Algoritmik Problemlerde Kullanımı – Ders Notu

Bağlaç ve niceleyiciler önermelerin yapı taşıdır; ispatları ve algoritmaları şekillendirir. İşlevleri: koşullara göre karar verme, adımları birleştirme, genelleme ve özelleştirme, sembolik ifadeleri netleştirme.

İspat ve Algoritma

• “Her” önermesi cebirsel ispatla kanıtlanır; sonlu test kanıt değildir.
• Tek karşı örnek “her” önermesini çürütür.
• İspattaki “ise” ⇒ algoritmada karar adımı; “ve” ⇒ birlikte kontrol; “her” ⇒ döngüyle deneme.

Örnek İspatlar

• Tek sayının karesi: x = 2n + 1 ⇒ x² = 2(2n² + 2n) + 1 ⇒ tek.
• 6'ya bölünme: (a + b + c = 3m ∧ c = 2k) ⇒ abc = 6n. abc = 3(33a + 3b) + (a + b + c).
• 9'a bölünme: abc = 9(11a + b) + (a + b + c).
• 8'e bölünme: abc = 8(12a + b) + (4a + 2b + c).
• Artanlık: a > 0 ve x₁ < x₂ ⇒ f(x₂) − f(x₁) = a(x₂ − x₁) > 0.
• a · b = 0 ⇒ (a = 0 ∨ b = 0): a ≠ 0 ise 1/a ile çarp, b = 0.

Basamak Ayırma

a ← abc / 100 (tam kısım), b ← (abc / 10) % 10, c ← abc % 10. (738 ⇒ 7, 3, 8)

Diffie-Hellman

Açık: p (asal), g (taban). Gizli: a, b.

• A = g^a % p, B = g^b % p gönderilir.
• u = B^a % p, e = A^b % p; ikisi de g^(a·b) % p.
• u = e ise güvenli iletişim kurulur.

Örnek: p = 11, g = 2, a = 3, b = 4 ⇒ A = 8, B = 5, u = e = 4.

Kısa Özet

Önermeler cebirsel olarak ispatlanır, ispat adımları algoritmaya dönüştürülür. Ve birlikte kontrol, veya en az bir durum, ise karar adımı sağlar. Diffie-Hellman üslü ifade ve kalanla ortak anahtar üretir.