9. Sınıf Matematik Deneysel Olasılık Konu Anlatımı

Deneysel Olasılık

Hava durumu tahminleri, bir basketbolcunun üç sayılık atış başarısı, bir futbolcunun penaltıyı gole çevirme şansı, bir fabrikada üretilen ürünlerin kusurlu çıkma ihtimali... Bu durumların ortak noktası, sonucun önceden kesin olarak bilinmemesidir. Böyle belirsiz durumlarda doğru karar verebilmek için daha önce ortaya çıkan benzer durumların verileri incelenir. Örneğin bir futbolcu son 40 penaltının 34'ünü gole çevirmişse bir sonraki penaltıyı gole çevirme olasılığı hakkında bu verilere dayanarak bir tahmin yapılabilir.

Gözleme ve deneye dayanarak elde edilen olasılık değerine deneysel olasılık denir. Bu konuda deneysel olasılığı hesaplamayı, birden çok olay içeren durumları incelemeyi ve tekrar sayısı arttıkça deneysel olasılık değerinin nasıl değiştiğini öğreneceğiz.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• deney, çıktı, olay ve örnek uzay kavramlarını kullanmak,
• bir ve birden çok olay içeren durumları ayırt etmek,
• bir olayın olasılığını tahmin etmek için hangi verilere ihtiyaç duyulduğunu belirlemek,
• çetele, sıklık ve göreli sıklık tabloları oluşturmak,
• göreli sıklığı deneysel olasılık olarak hesaplamak ve yorumlamak,
• sıklık ve göreli sıklık sütun grafiklerini oluşturup karşılaştırmak,
• tekrar sayısı arttıkça deneysel olasılık değerinin kararlı hâle geldiğini açıklamak.

1. Temel Kavramlar

• Deney: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen, gözlem yapılan işlemdir. Örneğin bir sayı küpünü atmak, bir çarkı çevirmek, bir kitaplıktan rastgele kitap seçmek.
• Çıktı: Deneyin olası sonuçlarından her biridir. Sayı küpü atıldığında üst yüze 4 gelmesi bir çıktıdır.
• Örnek uzay: Bir deneyin olası tüm çıktılarının kümesidir. Sayı küpü atıldığında örnek uzay {1, 2, 3, 4, 5, 6}'dır.
• Olay: Örnek uzayın bir alt kümesidir; ilgilendiğimiz çıktılardan oluşur. Sayı küpünde “üst yüze çift sayı gelmesi” olayının çıktıları 2, 4 ve 6'dır.

Bir ifadenin olay belirtmesi için bir deneyin olası sonuçlarından bazılarını tanımlaması gerekir. “Lokantada içilen içeceğin ayran olması” bir olaydır; “Kırmızı ışığa dikkat et!” ise bir uyarıdır, olay değildir. Olayı tanımlarken deneyi de doğru belirlemek gerekir: “Rastgele seçilen bir kitabın sayfa sayısının asal olması” olayında deney kitap seçmektir, sayfaları saymak değil.

2. Bir ve Birden Çok Olay İçeren Durumlar

Günlük hayatta karşılaştığımız belirsiz durumlar her zaman tek bir olaydan oluşmaz. Tatile gidecek biri hem ulaşım biçimine hem konaklama yerine karar verir. “Toplu taşıma ile gitmek” tek bir olay iken “toplu taşıma ile gitmek ve deniz kenarında konaklamak” birden çok olay içerir.

Birden çok olay içeren durumlar genellikle “ve”, “veya” gibi bağlaçlarla ifade edilir:

• “Atılan iki sayı küpünün birinde çift, diğerinde asal sayı gelmesi” iki olay içerir.
• “Bir çark iki kez çevrildiğinde birinde mavi, diğerinde sarı gelmesi” birden çok olay içerir.
• “Bir okçunun üç renk ok arasından rastgele birini seçmesi” tek bir olay içerir.
• “Bir yolcunun hava yolu, kara yolu ya da demir yolundan birini seçmesi” tek bir seçimdir; tek olay olarak ele alınır.

Birden çok olay içeren durumların olasılığını tahmin edebilmek için her bir olaya ait verilerin birlikte kaydedilmesi gerekir.

3. Sıklık, Göreli Sıklık ve Deneysel Olasılık

Bir deney tekrar tekrar yapılıp sonuçlar kaydedildiğinde:

• Çetele: Her çıktı gerçekleştiğinde bir çizgi çekilerek yapılan sayım kaydıdır.
• Sıklık: Bir çıktının veya olayın kaç kez gerçekleştiğidir.
• Göreli sıklık: Sıklığın toplam tekrar sayısına bölümüdür.

Göreli sıklık, o olayın deneysel olasılığıdır:

P(A) = A'nın sıklığı / toplam tekrar sayısı.

Deneysel olasılık 0 ile 1 arasında bir sayıdır; kesir, ondalık sayı veya yüzde olarak yazılabilir. Bir deneyin tüm çıktılarının göreli sıklıklarının toplamı 1'dir. Bu yüzden bir olayın gerçekleşmeme durumunun deneysel olasılığı 1 − P(A) olarak bulunabilir.

İki Yönlü Tablolarla Birden Çok Olay

Birden çok olay içeren deneylerde sonuçlar iki yönlü bir tabloda kaydedilebilir. Her hücre, iki olayın birlikte gerçekleşme sayısını gösterir.

4. Sıklık ve Göreli Sıklık Grafikleri

Bir deneyin sonuçları sütun grafikleriyle gösterilebilir. Sıklık grafiğinde dikey eksen çıktıların kaç kez gerçekleştiğini, göreli sıklık grafiğinde ise bu sayıların toplam tekrara bölünmüş hâlini gösterir.

Aynı tekrar sayısına ait sıklık ve göreli sıklık grafiklerinin şekli aynıdır; yalnızca dikey eksendeki değerler farklıdır. Çünkü göreli sıklık, her sıklığın aynı sayıya (toplam tekrar sayısına) bölünmesiyle elde edilir. Farklı tekrar sayılarındaki deneyleri karşılaştırırken göreli sıklık grafikleri daha kullanışlıdır; çünkü sıklıklar tekrar sayısıyla birlikte büyürken göreli sıklıklar 0 ile 1 arasında kalır.

5. Tekrar Sayısının Artması ve Kararlılık

Bir deney az sayıda tekrar edildiğinde göreli sıklıklar tekrardan tekrara büyük farklılık gösterebilir. Örneğin hilesiz bir madenî para 10 kez atıldığında 7 tura gelmesi şaşırtıcı değildir. Tekrar sayısı arttıkça göreli sıklıklardaki dalgalanma azalır ve deneysel olasılık belirli bir değere yaklaşma eğilimi gösterir.

Bu durum büyük sayılar yasası olarak bilinir: Deneme sayısı ne kadar çok olursa ortaya çıkan olasılık değeri o kadar kararlı olur. Az sayıda denemenin sonuçları, uzun vadede görülen sonuçlardan oldukça farklı olabilir.

Gerçek yaşamda bir deneyi binlerce kez tekrarlamak zor olabilir. Bu durumda istatistik yazılımları ve simülasyonlar kullanılarak tekrar sayısı istendiği kadar artırılabilir.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: Göreli Sıklık Hesaplama

Bir deneyin sıklık tablosu verilir; bir olayın deneysel olasılığı istenir.

Kalıp 2: Birden Çok Olay ve İki Yönlü Tablo

İki özelliğin birlikte gerçekleşme sayıları verilir.

Kalıp 3: Tekrar Sayısı ve Kararlılık

Farklı tekrar sayılarındaki sonuçlar verilir; değişim yorumlanır.

Kalıp 4: Olay Kavramı

Bir ifadenin olay olup olmadığı veya deneyin ne olduğu sorulur.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Sıklık bir sayıdır (kaç kez), göreli sıklık bir orandır (kaç kez / toplam).
• Deneysel olasılık 0'dan küçük veya 1'den büyük olamaz.
• Tüm çıktıların göreli sıklıkları toplamı 1'dir.
• Az tekrarla bulunan deneysel olasılık güvenilir olmayabilir; tekrar arttıkça kararlılık artar.
• Sıklık grafiği ile göreli sıklık grafiğinin şekli aynıdır; eksen değerleri farklıdır.
• Tek bir seçim yapılan durum (üç ok arasından birini seçmek) tek olaydır; iki ayrı işlemin birlikte değerlendirildiği durum birden çok olay içerir.
• Gruplar birleştirilirken oranların ortalaması değil, toplam sıklık / toplam tekrar alınır.
• Deneyi doğru belirlemek gerekir: “Kitap seçme” ile “sayfa sayma” farklı işlemlerdir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Deneyi, örnek uzayı ve ilgilenilen olayı belirle.
• Olay birden çok olay içeriyorsa hangi koşulların birlikte sağlanması gerektiğini yaz.
• Sıklıkları topla, toplamın tekrar sayısına eşit olduğunu kontrol et.
• Olayın sıklığını toplam tekrar sayısına bölerek deneysel olasılığı bul.
• Sonucu 0 ile 1 arasında olup olmadığına göre kontrol et; gerekiyorsa yüzdeye çevir.
• Farklı tekrar sayılarındaki sonuçları karşılaştırırken göreli sıklıklara bak ve kararlılığı yorumla.

Konu Özeti

Sonucu kesin olarak bilinmeyen durumlarda olasılık tahmini yapmak için daha önce gözlenen veriler kullanılır. Bir deneyin olası tüm çıktıları örnek uzayı, ilgilenilen çıktılar olayı oluşturur. Günlük hayattaki durumlar bir veya birden çok olay içerebilir; birden çok olay içeren durumlar için olayların birlikte gerçekleşmesine ait veriler gerekir. Deney tekrar edilip sonuçlar çetele ile kaydedilir; sıklık ve göreli sıklık bulunur. Bir olayın göreli sıklığı onun deneysel olasılığıdır ve 0 ile 1 arasındadır. Sıklık ve göreli sıklık sütun grafiklerinin şekli aynıdır. Tekrar sayısı arttıkça göreli sıklıklardaki değişebilirlik azalır, deneysel olasılık değeri kararlı hâle gelir; bu durum büyük sayılar yasası ile açıklanır. Tekrar sayısını artırmak için simülasyon ve istatistik yazılımları kullanılabilir.