9. Sınıf Matematik Teorik Olasılık Konu Anlatımı

Teorik Olasılık

Ankara'dan İstanbul'a otobüs, tren veya uçakla giden; İstanbul içinde de dolmuş veya metroyla ulaşımını tamamlayan bir yolcu düşünelim. Bu yolcunun kaç farklı biçimde yolculuk yapabileceğini ve rastgele bir seçimin belirli bir yolculuk olma olasılığını, yolculuğu hiç yapmadan hesaplayabiliriz. Bunun için olası tüm çıktıları düzenli bir biçimde görselleştirmemiz ve istenen çıktıları saymamız yeterlidir.

Deneysel olasılıkta deneyi tekrar tekrar yapıp göreli sıklığa bakıyorduk. Teorik olasılıkta ise deneyi yapmadan, olası tüm çıktıları belirleyip bunlar arasından istenenleri sayarak olasılığı hesaplarız. Bu konuda olası çıktıları ağaç şeması, tablo ve sistematik liste ile görselleştirmeyi, teorik olasılığı hesaplamayı, ayrık ve ayrık olmayan olayların birleşiminin olasılığını bulmayı ve deneysel olasılıkla teorik olasılığın ilişkisini öğreneceğiz.

Bu konunun sonunda şunları yapabiliyor olmalısın:

• bir deneyin olası tüm çıktılarını ağaç şeması, tablo ve sistematik liste ile görselleştirmek,
• duruma en uygun görselleştirme aracını seçmek,
• teorik olasılığı istenen çıktılar / olası tüm çıktılar oranıyla hesaplamak,
• ayrık ve ayrık olmayan olayları ayırt etmek,
• “veya” ile bağlı olayların olasılığını bulmak,
• iki yönlü tablolarla olasılık hesaplamak,
• tekrar sayısı arttıkça deneysel olasılığın teorik olasılığa yaklaştığını açıklamak.

1. Olası Tüm Çıktıları Görselleştirme

Teorik olasılık hesaplamanın ilk adımı, deneyin olası tüm çıktılarını eksiksiz ve tekrarsız biçimde belirlemektir. Bunun için üç görselleştirme aracı kullanılır.

Ağaç Şeması

Deney aşama aşama ilerliyorsa her aşamanın olası sonuçları dallar hâlinde çizilir. Kökten uca giden her yol bir çıktıdır. Ağaç şemaları özellikle üç veya daha fazla aşamalı deneylerde kullanışlıdır.

Tarihte ağaç şemalarını ilk kullanan bilim insanlarından biri, 9. yüzyılda yaşamış Kindi'dir. Kindi, şifreli metinlerin çözümlenmesini anlattığı eserinde şifreleme sistemlerini ağaç şeması ile sınıflandırmıştır.

Örneğin üç madenî para atıldığında birinci para için Y ve T dalları, her birinden ikinci para için Y ve T, onların her birinden de üçüncü para için Y ve T dalları çizilir. Sonuçta 2 · 2 · 2 = 8 çıktı oluşur: YYY, YYT, YTY, YTT, TYY, TYT, TTY, TTT.

Tablo

Deney iki aşamalıysa birinci aşamanın sonuçları satırlara, ikinci aşamanın sonuçları sütunlara yazılır. Her hücre bir çıktıdır. İki sayı küpü atıldığında 6 satır ve 6 sütundan oluşan tabloda 6 · 6 = 36 çıktı vardır: (1, 1), (1, 2), ..., (6, 6).

Sistematik Liste

Çıktılar belirli bir düzen içinde art arda yazılır. Örneğin birinci torbadaki her top için ikinci torbadaki tüm toplar sırayla eşleştirilir. Çıktı sayısı fazla olduğunda ve bazı çıktılar tekrar ettiğinde sistematik liste kolaylık sağlar.

Hangi Araç Ne Zaman?

• İki aşamalı ve çıktı sayısı az olan deneyler (bir dört yüzlü ve bir sayı küpü) → tablo.
• Üç veya daha fazla aşamalı deneyler (üç torbadan top çekme) → ağaç şeması.
• Çıktı sayısı fazla olan ve tekrar eden çıktılar içeren deneyler (çok bölmeli çarklar) → sistematik liste.

Bir aşamada m, diğer aşamada n sonuç varsa iki aşamalı deneyin olası tüm çıktılarının sayısı m · n'dir. Örneğin 4 toplu iki torbadan birer top çekildiğinde 4 · 4 = 16 çıktı vardır.

2. Teorik Olasılık Hesaplama

Olayların teorik olasılık değeri hesaplanırken olası tüm çıktılar görselleştirilir, bunlar arasından istenen çıktılar belirlenir ve oranlanır:

Olayın teorik olasılık değeri = Olaya ait çıktıların sayısı / Olası tüm çıktıların sayısı.

Bu formülün kullanılabilmesi için tüm çıktıların ortaya çıkma şanslarının eşit olması gerekir. “Hilesiz”, “özdeş”, “eş bölmelere ayrılmış”, “rastgele” ifadeleri bu eşitliği gösterir. Örneğin eş bölmelere ayrılmış bir çarkta her bölmenin gelme olasılığı aynıdır.

Teorik olasılık 0 ile 1 arasındadır. İmkânsız bir olayın olasılığı 0, kesin bir olayın olasılığı 1'dir.

3. Ayrık ve Ayrık Olmayan Olaylar

Aynı örnek uzaya ait iki olayın ortak çıktısı yoksa bu olaylara ayrık olaylar, ortak çıktısı varsa ayrık olmayan olaylar denir.

Sayı küpü atıldığında “çift sayı gelmesi” ({2, 4, 6}) ile “tek sayı gelmesi” ({1, 3, 5}) ayrık olaylardır. “Çift sayı gelmesi” ile “asal sayı gelmesi” ({2, 3, 5}) ise 2 ortak çıktısına sahip olduğundan ayrık olmayan olaylardır.

“A veya B” olayı (A ∪ B), A'nın ya da B'nin (ya da ikisinin birden) gerçekleşmesidir. “A ve B” olayı (A ∩ B), ikisinin birlikte gerçekleşmesidir.

E olası tüm çıktıların kümesi ve s(…) çıktı sayısı olmak üzere:

• A ile B ayrık olmayan olaylarsa ortak çıktılar iki kez sayılmasın diye bir kez çıkarılır: s(A ∪ B) / s(E) = s(A) / s(E) + s(B) / s(E) − s(A ∩ B) / s(E), yani P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• A ile B ayrık olaylarsa ortak çıktı yoktur: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

4. İki Yönlü Tablolarla Olasılık

Veriler iki özelliğe göre sınıflandırıldığında iki yönlü tablo kullanılır. “Ve” olayları tek bir hücreyi, “veya” olayları ise satır ve sütunların birleşimini gösterir.

5. Genetikte Olasılık

Biyolojideki çaprazlamalar da tablo ile görselleştirilir. Bezelyelerde sarı tohum aleli (S) yeşile (s), düzgün tohum aleli (D) buruşuğa (d) baskındır. Bir genotipten oluşabilecek gametler satır ve sütunlara yazılır; her hücre bir yavru genotipidir ve tüm hücreler eşit olasılıklıdır.

6. Deneysel Olasılıktan Teorik Olasılığa

Bir deney çok sayıda tekrarlandığında deneysel olasılık değeri, teorik olasılık değerine yaklaşma eğilimindedir. Deneysel ve teorik olasılık değerleri arasındaki fark tekrar sayısı arttıkça 0'a yaklaşır.

Sınavlarda Sık Görülen Soru Kalıpları

Kalıp 1: İki Sayı Küpü

36 çıktılı tablo üzerinden bir koşulun olasılığı sorulur.

Kalıp 2: Veya ile Bağlı Olaylar

İki olayın birleşiminin olasılığı istenir.

Kalıp 3: Ağaç Şeması

Üç aşamalı deneyde belirli bir çıktı grubunun olasılığı istenir.

Kalıp 4: Deneysel ve Teorik

Tekrar sayısı ile iki olasılık arasındaki fark yorumlanır.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Teorik olasılık formülü çıktıların eşit olasılıklı olmasını gerektirir.
• İki zarda (1, 2) ile (2, 1) farklı çıktılardır.
• Ayrık olaylarda ortak çıktı yoktur; ayrık olmayanlarda “veya” hesaplanırken ortak kısım bir kez çıkarılır.
• “Ve” iki olayın birlikte, “veya” en az birinin gerçekleşmesidir.
• Ağaç şemasında çıktı sayısı her aşamadaki seçenek sayılarının çarpımıdır.
• Deneysel olasılık teorik olasılığa eşit olmak zorunda değildir; tekrar sayısı arttıkça yaklaşır.
• Bir bölmesinde aynı sayı iki kez yazılı çarklarda her bölme ayrı bir çıktıdır; sayılar değil bölmeler eşit olasılıklıdır.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

• Deneyin kaç aşamalı olduğuna bak ve uygun görselleştirme aracını seç.
• Olası tüm çıktıların sayısını bul.
• İstenen çıktıları sistemli biçimde say; tekrar ve eksik olmamasına dikkat et.
• “Veya” sorularında ortak çıktıları belirle; formülü veya doğrudan saymayı kullan.
• İki yönlü tablolarda satır ve sütun toplamlarını önce hesapla.
• Sonucu sadeleştir ve 0 ile 1 arasında olduğunu kontrol et.

Konu Özeti

Teorik olasılık, deney yapılmadan olası tüm çıktıların belirlenmesiyle hesaplanır. Çıktılar ağaç şeması, tablo veya sistematik liste ile görselleştirilir; iki aşamalı deneylerde tablo, çok aşamalı deneylerde ağaç şeması, çok ve tekrar eden çıktılarda sistematik liste kolaylık sağlar. Eşit olasılıklı çıktılarda olayın teorik olasılık değeri, olaya ait çıktıların sayısının olası tüm çıktıların sayısına oranıdır. Ortak çıktısı olmayan olaylar ayrık, ortak çıktısı olanlar ayrık olmayan olaylardır; P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ve ayrık olaylarda P(A ∪ B) = P(A) + P(B). İki yönlü tablolar ve genetik çaprazlamalar bu hesaplamaların günlük hayattaki uygulamalarıdır. Bir deneyin tekrar sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır.