Çarpanlar ve Katlar Ders Notu

Çarpanlar ve Katlar – Ders Notu

Temel kavramlar

| Kavram | Anlamı | Örnek | |---|---|---| | Pozitif çarpan | Sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayı | 4, 28’in çarpanıdır. | | Asal çarpan | Çarpanlar içindeki asal sayı | 28’in asal çarpanları 2 ve 7’dir. | | Pozitif kat | Sayının pozitif tam sayılarla çarpımı | 7’nin katları 7, 14, 21, ... | | EBOB | En büyük ortak bölen | EBOB(16,24) = 8 | | EKOK | En küçük pozitif ortak kat | EKOK(16,24) = 48 | | Aralarında asal | Ortak pozitif böleni yalnızca 1 olan iki sayı | 8 ve 15 |

Çarpan bulma ve asal çarpanlara ayırma

Çarpan çiftlerini sırayla dene ve bulunan bütün sayıları listele. 1’i ve sayının kendisini unutma. Örnek: 28 = 1 · 28 = 2 · 14 = 4 · 7. Bölenler 1, 2, 4, 7, 14, 28’dir. Asal çarpanlara ayırmak için asal sayılara bölerek 1’e ulaş. Örnek: 168 → 84 → 42 → 21 → 7 → 1. Kullanılan bölenler 2, 2, 2, 3, 7’dir. 168 = 2 üzeri 3 × 3 × 7. Farklı asal çarpanlar 2, 3, 7; toplamları 12’dir. Tekrar sayıları toplamaya dâhil edilmez.

EBOB ve EKOK için yan yana kontrol

| İşlem | Ortak asal | Ortak olmayan asal | Ortak bölen listesinde | |---|---|---|---| | EBOB | Küçük üs alınır. | Alınmaz. | Aynı satırda ikisini de bölenler çarpılır. | | EKOK | Büyük üs alınır. | Tamamı alınır. | Kullanılan bütün asal bölenler çarpılır. |

Örnek: 40 = 2 üzeri 3 × 5; 60 = 2 üzeri 2 × 3 × 5. EBOB(40,60) = 2 üzeri 2 × 5 = 20. EKOK(40,60) = 2 üzeri 3 × 3 × 5 = 120. Kontrol: 40 · 60 = 20 · 120 = 2400.

Problem türüne göre işlem

| Verilen durum | Ortak büyüklük | Sonraki kontrol | |---|---|---| | Farklı uzunlukları eş ve en uzun parçalara kesme | EBOB parça uzunluğunu verir. | Parça sayısını ve kesimleri ayrıca bul. | | Her pakette aynı içerikle en fazla paket hazırlama | EBOB paket sayısını verir. | Her üründen paket başına kaç tane düşer? | | Renkler karışmadan eş miktarlı en az paket | EBOB paket içeriğini verir. | Her rengin paket sayısını topla. | | Köşeler dâhil eş aralıklı yerleştirme | EBOB en büyük aralığı verir. | Yol mu, kapalı çevre mi? | | Tekrar eden olayların aynı anda gerçekleşmesi | EKOK tekrar aralığını verir. | Başlangıç anı sayılıyor mu? | | Farklı bloklarla eş yüksekliğe ulaşma | EKOK ortak yüksekliğin temelidir. | Kapasiteyi aşmayan katı seç. | | İki farklı paket türüyle aynı toplam adedi alma | EKOK ortak adedi verir. | Paket sayısı ve fiyatı hesapla. |

Kısa uygulamalar

**Kesim:** 45 cm ve 75 cm şeritlerin en uzun eş parçaları 15 cm’dir. Parça sayısı 3 + 5 = 8; ayrı ayrı kesimde kesim sayısı 2 + 4 = 6’dır. **Tekrar:** 10 ve 14 dakikalık olaylar 70 dakikada bir birlikte olur. **Kapasite:** 6 cm ve 8 cm blokların ortak yükseklikleri 24’ün katlarıdır. 80 cm’lik rafta en yüksek ortak kule 72 cm olur. **Kalan:** 4’lü ve 6’lı gruplamada 1 artıyorsa sayıdan 1 çıkar; kalan EKOK(4,6) = 12’nin katıdır. Sayılar 13, 25, 37, ... biçimindedir.

Aralarında asal sayıların kuralları

• Ortak bölen yalnız 1 ise EBOB = 1’dir.
• Her iki sayının ayrı ayrı asal olması gerekmez; 4 ve 9 örnektir.
• 1 bütün pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.
• Ardışık doğal sayılar ve iki farklı asal sayı aralarında asaldır.
• A ve B aralarında asalsa EKOK(A,B) = A · B.
• Pay ve payda aralarında asal olacaksa kesri EBOB ile sadeleştir. 36/60 = 3/5.

Eksik sayıyı bulma

Her iki pozitif tam sayı için A · B = EBOB(A,B) · EKOK(A,B). Örnek: A = 15, EBOB = 5 ve EKOK = 60 ise 15 · B = 300; B = 20. Bulunan sayıyı iki koşulda da dene: EBOB(15,20) = 5 ve EKOK(15,20) = 60.

Sonuç denetimi

EBOB iki sayıyı da bölmelidir. EKOK iki sayıya da bölünebilmelidir. Aralık ve kapasite sınırlarını işlemden sonra tekrar oku. En az/en çok kelimeleri tek başına yöntem seçtirmez.

Kısa Özet

Çarpan çiftleri sayıyı oluşturur; asal çarpanlar bu çarpanların asal olanlarıdır. EBOB bölme ve eş gruplamada, EKOK ortak miktar ve tekrar durumlarında kullanılır. EBOB’da küçük üs, EKOK’ta büyük üs ve ortak olmayan asallar seçilir. Aralarında asal sayılar için EBOB 1’dir. Bir problemin son cevabı için bulunan EBOB/EKOK’un neyi temsil ettiğini ve ek koşulları kontrol et.