Çarpanlar ve Katlar Konu Anlatımı

Çarpanlar ve Katlar

Bu ana konu; pozitif tam sayıların çarpanlarını, asal çarpanlara ayırmayı, EBOB’u, EKOK’u ve aralarında asal sayıları birlikte ele alır. Amaç yalnızca sayı hesaplamak değil; eşit gruplama, parçalara ayırma ve tekrar eden durumlarda hangi yöntemin kullanılacağını anlamaktır.

1. Pozitif tam sayı çarpanları

Bir pozitif tam sayı, iki pozitif tam sayının çarpımı olarak yazıldığında çarpımdaki sayılara o sayının çarpanları denir. Çarpanlar aynı zamanda sayıyı kalansız bölen sayılardır.

Her pozitif tam sayının en küçük pozitif böleni 1, en büyük pozitif böleni kendisidir. Çarpan listesi sonludur. Katlar ise sayının 1, 2, 3, ... ile çarpımlarından elde edilir ve devam eder. Örneğin 6’nın pozitif katları 6, 12, 18, 24, ... biçimindedir; bunlar 6’nın bölenleriyle karıştırılmamalıdır.

Bir dikdörtgenin alanı 40 cm² ve kenarları tam sayı ise kenarları yukarıdaki çarpan çiftlerinden biri olabilir. Kenarlar 5 ve 8 seçilirse çevre 2 · (5 + 8) = 26 cm olur. Çevre sorusunda yalnız alanı bilmek yetmez; uygun kenar çiftlerini incelemek gerekir.

2. Asal çarpanlar ve bölen listesi

Bir sayının pozitif çarpanları içindeki asal sayılara asal çarpanları denir. Asal sayılar 1’den büyük olup yalnızca 1’e ve kendisine bölünür. 1 asal sayı değildir.

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırırken:

1. Sayıyı yaz ve onu bölen en küçük asal sayıdan başla.
2. Bölümü yeni satıra yaz; asal sayılarla bölmeye devam et.
3. Sonuç 1 olunca dur.
4. Kullandığın asal bölenleri çarp; tekrar edenleri üs kullanarak gösterebilirsin.

Örnek: 180’i asal çarpanlarına ayıralım. 180 / 2 = 90; 90 / 2 = 45; 45 / 3 = 15; 15 / 3 = 5; 5 / 5 = 1. Bu nedenle 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 üzeri 2 × 3 üzeri 2 × 5. Farklı asal çarpanlar 2, 3 ve 5’tir. Asal çarpanlar istendiğinde 2’yi veya 3’ü iki kez saymayız. Fakat başlangıçtaki sayıyı yeniden oluştururken tekrar eden çarpanları da kullanırız.

3. En Büyük Ortak Bölen: EBOB

İki pozitif tam sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne EBOB denir. EBOB(A, B) biçiminde gösterilir.

Ortak bölenleri listeleme

20’nin bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20. 30’un bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Ortak bölenler 1, 2, 5, 10 olduğundan EBOB(20,30) = 10’dur.

Asal çarpanlardan EBOB bulma

72 = 2 üzeri 3 × 3 üzeri 2, 120 = 2 üzeri 3 × 3 × 5. Yalnızca iki sayıda da bulunan asal çarpanları kullanırız. Her ortak asalın küçük üssünü alırız: EBOB(72,120) = 2 üzeri 3 × 3 = 24. 5 yalnızca 120’de bulunduğundan EBOB’a alınmaz.

Ortak bölen listesiyle EBOB bulma

İki sayı yan yana yazılıp asal sayılarla bölünür. Bir sayı o asal sayıya bölünmüyorsa alt satıra aynen indirilir. EBOB için aynı satırda iki sayıyı da bölen asal bölenler çarpılır.

| Sayı A | Sayı B | Asal bölen | İkisini de böler mi? | |---|---|---|---| | 18 | 30 | 2 | Evet | | 9 | 15 | 3 | Evet | | 3 | 5 | 3 | Hayır | | 1 | 5 | 5 | Hayır | | 1 | 1 | — | İşlem bitti |

Bu listede iki sayıyı birlikte bölen asallar 2 ve 3’tür. EBOB(18,30) = 2 · 3 = 6 olur.

4. EBOB’u problemde kullanma

Farklı miktarlar eşit büyüklükte parçalara ayrılacaksa seçilen büyüklük bütün miktarları bölmelidir. En büyük parça veya en az parça istendiğinde EBOB kullanılır.

Örnek: 64 cm ve 80 cm uzunluğundaki iki şerit hiç artmadan eşit ve en uzun parçalara ayrılsın. EBOB(64,80) = 16 cm’dir. İlk şeritten 64 / 16 = 4, ikinci şeritten 80 / 16 = 5 parça çıkar. Toplam 9 parça elde edilir. Her kesimde yalnız bir şerit kesiliyorsa 4 parça için 3, 5 parça için 4 kesim gerekir. Toplam 7 kesim yapılır. Parça sayısı ile kesim sayısı aynı değildir.

Eş paket hazırlama

30 kalem ve 42 silgi, her pakette aynı sayıda kalem ve aynı sayıda silgi olacak biçimde paylaştırılsın. En fazla paket sayısı EBOB(30,42) = 6’dır. Her pakette 5 kalem ve 7 silgi bulunur. Burada EBOB parça uzunluğunu değil paket sayısını verir; soruda neyin ortak bölen olduğunu belirlemek gerekir.

Eşit aralıklarla yerleştirme

Kenarları 48 m ve 60 m olan dikdörtgenin çevresine köşelere de gelecek biçimde eşit aralıklarla direk dikilsin. En az direk için en büyük aralık EBOB(48,60) = 12 m olur. Çevre 216 m, direk sayısı 216 / 12 = 18’dir. Düz bir yolun iki ucuna da direk konulursa aralık sayısından bir fazla direk gerekir. Kapalı çevrede ise başlangıç noktası sona gelindiğinde tekrar sayılmaz.

5. En Küçük Ortak Kat: EKOK

İki pozitif tam sayının pozitif ortak katlarının en küçüğüne EKOK denir. EKOK(A, B) biçiminde gösterilir. Örneğin 8’in katları 8, 16, 24, ...; 12’nin katları 12, 24, 36, ... olur. İlk pozitif ortak kat 24’tür: EKOK(8,12) = 24.

Asal çarpanlardan EKOK bulma

72 = 2 üzeri 3 × 3 üzeri 2 ve 120 = 2 üzeri 3 × 3 × 5 için ortak asalların büyük üslerini ve ortak olmayan asal çarpanların tamamını alırız. EKOK(72,120) = 2 üzeri 3 × 3 üzeri 2 × 5 = 360. EBOB’da ortak olmayan çarpanlar alınmazken EKOK’ta alınır.

Ortak bölen listesiyle EKOK bulma

Yukarıdaki 18 ve 30 tablosunda kullanılan bütün asal bölenleri çarparız: 2 · 3 · 3 · 5 = 90. İki sayıyı aynı anda bölmesi şart değildir. EKOK(18,30) = 90’dır.

6. EKOK’u problemde kullanma

Bir miktar iki farklı büyüklükle tam oluşturulacaksa veya tekrar eden iki olay aynı anda gerçekleşecekse ortak kat düşünülür.

Örnek: 14 dakikada bir ve 21 dakikada bir kalkan iki araç saat 10.00’da birlikte kalksın. Yeniden birlikte kalkma aralığı EKOK(14,21) = 42 dakikadır. İlk ortak kalkış 10.42 olur.

Örnek: 9 cm ve 15 cm yüksekliğindeki bloklarla iki ayrı kule kurulacaktır. Her kulede tek tür blok kullanılacaktır. Kuleler eşit yükseklikte ve 100 cm’den kısa olsun. EKOK(9,15) = 45 cm’dir. Uygun yükseklikler 45 ve 90 cm’dir. En yüksek seçim 90 cm olur. Kulelerde 10 ve 6 blok, toplam 16 blok bulunur.

Kalanlı paketleme örneği: Bir miktar 6’lı ve 10’lu paketlendiğinde 2’şer artıyorsa miktardan 2 çıkar. Kalan sayı EKOK(6,10) = 30’un katıdır. Olası miktarlar 32, 62, 92, ... olur. İstenen aralığa uygun miktar bu listeden seçilir.

7. Aralarında asal sayılar

1’den başka ortak pozitif böleni olmayan iki doğal sayı aralarında asaldır. Bu sayıların her birinin asal olması gerekmez: 9 ve 20 asal değildir ama aralarında asaldır.

• 1 bütün pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.
• İki farklı asal sayı aralarında asaldır.
• Ardışık doğal sayılar aralarında asaldır.
• Aralarında asal A ve B için EBOB(A,B) = 1 ve EKOK(A,B) = A · B’dir.

Örnek: 14 ve 25’in ortak asal çarpanı yoktur. EBOB’ları 1, EKOK’ları 14 · 25 = 350’dir. Örnek: a/b = 30/42 ve a ile b aralarında asal pozitif tam sayılar olsun. 30/42, EBOB(30,42) = 6 ile sadeleştirilince 5/7 olur. Bu nedenle a = 5, b = 7’dir.

8. EBOB, EKOK ve sayıların çarpımı

İki pozitif tam sayı için A · B = EBOB(A,B) · EKOK(A,B) eşitliği geçerlidir. Örnek: A = 20, EBOB(A,B) = 4 ve EKOK(A,B) = 60 olsun. 20 · B = 4 · 60 = 240 olduğundan B = 12’dir. Kontrol: EBOB(20,12) = 4 ve EKOK(20,12) = 60’tır.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Aralarında asal olmak, iki sayının da asal olması değildir.
• Asal çarpanların sayısı ile bütün pozitif bölenlerin sayısı farklıdır.
• EBOB için yalnız ortak asalların küçük üsleri; EKOK için tüm asalların büyük üsleri kullanılır.
• Eş parçalara ayırmada EBOB, duruma göre parça büyüklüğünü veya grup sayısını verebilir.
• En küçük tekrar süresi için EKOK bulunur. Ancak ilk anda birlikte olma sayılıp sayılmayacağı ayrıca değerlendirilir.
• Düz yolda iki uç için eklenen 1, kapalı çevre sorusunda eklenmez.
• Her paketleme sorusu EBOB değildir. İki farklı paket türüyle eşit toplam adet oluşturma EKOK gerektirebilir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Sayıları ve birimlerini not et; koşulları ayrı yaz.
2. Aranan şeyin her miktarı bölen bir büyüklük mü, yoksa miktarların ortak katı mı olduğunu belirle.
3. Gerekiyorsa asal çarpanlara ayır ve EBOB veya EKOK’u hesapla.
4. Bulduğun sonucun parça uzunluğu, paket sayısı, tekrar süresi veya ortak yükseklik olduğunu açıkça belirle.
5. Ek sınır varsa ortak bölenleri ya da ortak katları filtrele.
6. Sorunun istediği son adıma geç: kesim sayısı, maliyet, toplam adet veya saat.
7. Sonucun bütün başlangıç koşullarını sağladığını kontrol et.

Konu Özeti

Çarpanlar kalansız bölen sayılardır. Asal çarpanlara ayırma, EBOB ve EKOK hesaplamalarını düzenler. EBOB ortak bölenlerin en büyüğü, EKOK pozitif ortak katların en küçüğüdür. Aralarında asal sayıların EBOB’u 1, EKOK’u çarpımlarıdır. Genel olarak iki sayının çarpımı, EBOB ve EKOK’larının çarpımına eşittir. Problemin koşulları, bulunan değerin son cevap olup olmadığını belirler.

Konuyu Bitirdiğinde Bunları Yapabiliyor Olmalısın

• Bir pozitif tam sayının bütün pozitif bölenlerini bulmak.
• Asal çarpanları ayırt etmek ve sayıyı asal tabanlı çarpım biçiminde yazmak.
• Listeleme, asal çarpanlar veya ortak bölen listesiyle EBOB ve EKOK hesaplamak.
• Aralarında asal sayıları tanımak ve ilgili kuralları kullanmak.
• Eşit gruplama, kesme, eşit aralık, ortak yükseklik ve tekrar problemlerini modellemek.
• Kalan, kapasite, zaman ve maliyet koşullarını hesaba katmak.