TYT Geometri Açıortay ve Kenarortay Ders Notu

Açıortay ve Kenarortay Ders Notu

Açıortay ve Kenarortay konusu; üçgende açıları ve kenarları belirli oranlarda bölen doğruların özelliklerini inceler. TYT'de özellikle açıortay teoremi, kenarortay, ağırlık merkezi ve alan ilişkileri önemlidir.

1. Açıortay

Bir açıyı iki eşit açıya ayıran ışına açıortay denir.

ABC üçgeninde AD, A açısının açıortayıysa:

∠BAD = ∠DAC

Örnek: A=80° ise ∠BAD=∠DAC=40°.

1. İç Açıortay

Bir üçgenin iç açısını iki eşit parçaya ayırıp karşı kenarı kesen doğru parçasıdır.

ABC üçgeninde AD iç açıortay ve D, BC üzerindeyse:

∠BAD = ∠DAC

1. Açıortay Teoremi

İç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler.

BD/DC = AB/AC

Örnek: AB=6, AC=9 ve BD=4 ise:

4/DC = 6/9 4/DC = 2/3 DC = 6

1. Açıortayda Oran

AB:AC oranı ile BD:DC oranı aynıdır.

Örnek: AB:AC=3:5 ve BC=24 ise:

BD:DC=3:5

Toplam oran 8 birimdir.

BD=9 DC=15

1. Açıortayda Bilinmeyen Kenar

Örnek: BD=6, DC=9, AB=8 ve AC=x olsun.

6/9 = 8/x 2/3 = 8/x 2x = 24 x = 12

1. İkizkenar Üçgende Açıortay

AB=AC olan ikizkenar üçgende tepe noktasından tabana çizilen açıortay aynı zamanda kenarortay ve yüksekliktir.

AB=AC ise:

BD=DC

1. Dış Açıortay

Bir dış açıyı iki eşit parçaya ayıran doğruya dış açıortay denir.

Dış açıortay, karşı kenarın uzantısını komşu kenarların oranında böler.

BD/DC = AB/AC

İç açıortay karşı kenarı içeriden, dış açıortay ise genellikle kenarın uzantısını dışarıdan böler.

1. İç ve Dış Açıortay

Aynı köşeye ait iç ve dış açıortay birbirine diktir.

İç açıortay ⟂ Dış açıortay

1. Kenarortay

Bir üçgende bir köşeyi karşı kenarın orta noktasıyla birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.

D, BC'nin orta noktasıysa:

BD = DC

Örnek: BC=18 ise BD=DC=9.

1. Açıortay ve Kenarortay Farkı

Açıortay: Açıyı iki eşit parçaya böler. Kenarortay: Karşı kenarı iki eşit parçaya böler.

Açıortay → Açı eşitliği Kenarortay → Kenar eşitliği

1. İkizkenar Üçgende Kenarortay

AB=AC olan ikizkenar üçgende A köşesinden BC tabanına çizilen kenarortay aynı zamanda:

Açıortay Yükseklik

olur.

Kenarortay = Açıortay = Yükseklik

1. Eşkenar Üçgende Kenarortay

Eşkenar üçgende her köşeden çizilen kenarortay aynı zamanda açıortay ve yüksekliktir.

Üç kenarortay tek noktada kesişir.

1. Ağırlık Merkezi

Bir üçgenin üç kenarortayının kesişim noktasına ağırlık merkezi denir.

Genellikle G ile gösterilir.

1. Ağırlık Merkezinin Bölme Oranı

Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden orta noktaya doğru 2:1 oranında böler.

AG:GD = 2:1

Buna göre:

AG = 2·GD AD = 3·GD AG = 2AD/3 GD = AD/3

Örnek: AD=15 ise AG=10, GD=5.

1. Ağırlık Merkezinde Uzunluk

Örnek: AG=12 ise GD=6 ve AD=18.

GD=4 ise AG=8 ve AD=12.

1. Kenarortayın Alan Özelliği

Bir kenarortay üçgeni eş alanlı iki üçgene ayırır.

Alan(ABD) = Alan(ADC)

Örnek: ABC üçgeninin alanı 40 ise:

Alan(ABD)=20 Alan(ADC)=20

1. Üç Kenarortayın Alan Özelliği

Üç kenarortay birlikte çizildiğinde üçgen 6 eş alanlı küçük üçgene ayrılır.

Örnek: Toplam alan 60 ise her küçük üçgenin alanı 10'dur.

1. Açıortayda Alan Oranı

AD açıortay olduğunda ABD ve ADC üçgenlerinin BC doğrusu üzerindeki yükseklikleri aynıdır.

Bu nedenle:

Alan(ABD)/Alan(ADC) = BD/DC

Açıortay teoreminden:

BD/DC = AB/AC

Sonuç:

Alan(ABD)/Alan(ADC) = BD/DC = AB/AC

Örnek: AB:AC=2:3 ise Alan(ABD):Alan(ADC)=2:3.

1. Açıortay ve Toplam Alan

Örnek: AB:AC=3:5 ve ABC üçgeninin alanı 64 ise:

Alan(ABD):Alan(ADC)=3:5

Toplam oran 8 birimdir.

Alan(ABD)=24 Alan(ADC)=40

1. Kenarortay Uzunluğu Bağıntısı

ABC üçgeninde A köşesinden BC kenarına çizilen kenarortayın uzunluğu Va olsun.

BC=a, AC=b, AB=c ise:

Va² = (2b² + 2c² − a²) / 4

Eşdeğer biçim:

2b² + 2c² = a² + 4Va²

1. Kenarortay Uzunluğu Örneği

a=10, b=13, c=13 olsun.

Va² = (2·13² + 2·13² − 10²)/4 Va² = (338 + 338 − 100)/4 Va² = 144 Va = 12

1. Dik Üçgende Hipotenüse Kenarortay

Dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortayın uzunluğu hipotenüsün yarısına eşittir.

Hipotenüse ait kenarortay = Hipotenüs/2

Örnek: Hipotenüs 14 ise kenarortay 7'dir.

1. Hipotenüsün Orta Noktası

ABC dik üçgeninde A=90° ve D, hipotenüs BC'nin orta noktasıysa:

AD = BD = DC = BC/2

Örnek: BC=20 ise AD=BD=DC=10.

1. Kenarortaydan Dik Üçgeni Tanıma

Bir üçgende bir kenara çizilen kenarortay, o kenarın yarısına eşitse üçgen diktir.

AD kenarortay ve AD=BC/2 ise:

A=90°

1. Açıortayın Kenarortay Olması

AD hem açıortay hem kenarortaysa:

BD=DC

Açıortay teoreminden:

BD/DC = AB/AC

1 = AB/AC

Bu nedenle:

AB=AC

Yani üçgen ikizkenardır.

1. Oran Sorularında Kısa Yol

Açıortay: AB:AC = BD:DC Kenarortay: BD:DC = 1:1 Ağırlık merkezi: AG:GD = 2:1

1. Şeklin Görünüşüne Güvenme

Bir doğru açıortay veya kenarortay gibi görünebilir.

Ancak gerekli bilgi verilmediyse:

BD=DC kabul edilmez. ∠BAD=∠DAC kabul edilmez.

Yalnızca verilen veya kesin olarak çıkarılabilen bilgiler kullanılmalıdır.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Açıortay açıyı iki eşit parçaya böler. • Kenarortay karşı kenarı iki eşit parçaya böler. • Açıortay teoremi: BD/DC=AB/AC. • İç ve dış açıortay birbirine diktir. • Üç kenarortay ağırlık merkezinde kesişir. • Ağırlık merkezi kenarortayı 2:1 oranında böler. • Kenarortay üçgeni iki eş alanlı parçaya ayırır. • Üç kenarortay üçgeni 6 eş alanlı küçük üçgene böler. • Dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortay hipotenüsün yarısıdır. • İkizkenar üçgende tepe noktasından tabana çizilen kenarortay aynı zamanda açıortay ve yüksekliktir.

Açıortay ve Kenarortay Kısa Özeti

Açıortay: Açıyı iki eşit parçaya böler. Açıortay teoremi: BD/DC=AB/AC

Kenarortay: Karşı kenarı iki eşit parçaya böler. BD=DC

Ağırlık merkezi: Kenarortayların kesişim noktası. AG:GD=2:1 AG=2AD/3 GD=AD/3

Kenarortay alan özelliği: İki eş alan Üç kenarortay: 6 eş alan

Açıortayda alan oranı: Alan(ABD)/Alan(ADC)=BD/DC=AB/AC

Dik üçgende hipotenüse kenarortay: AD=BD=DC=BC/2

Kenarortay bağıntısı: Va²=(2b²+2c²−a²)/4