TYT Geometri Açıortay ve Kenarortay Konu Anlatımı

Açıortay ve Kenarortay

Açıortay ve Kenarortay konusu, üçgen içerisinde açıları veya kenarları belirli oranlarda bölen doğruların özelliklerini inceler. TYT sorularında özellikle açıortay teoremi, kenarortay ve ağırlık merkezi ilişkileri önemlidir.

1. Açıortay Nedir?

Bir açıyı ölçüleri eşit iki açıya ayıran ışına açıortay denir.

ABC üçgeninde AD, A açısının açıortayıysa:

1. İç Açıortay

Üçgenin bir köşesindeki iç açıyı iki eşit parçaya ayırıp karşı kenarı kesen doğru parçasına iç açıortay denir.

ABC üçgeninde AD iç açıortay ve D noktası BC üzerinde olsun.

1. Açıortay Teoremi

Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların uzunlukları oranında böler.

ABC üçgeninde AD açıortaysa:

1. Açıortayda Oran Mantığı

AB:AC oranı neyse karşı kenarın parçaları BD:DC oranı da aynıdır.

1. Açıortayda Bilinmeyen Kenar

1. Eşit Kenar Durumunda Açıortay

AB=AC ise açıortay teoreminden:

BD/DC = AB/AC = 1

Bu nedenle:

İkizkenar üçgende tepe noktasından tabana çizilen açıortay aynı zamanda kenarortaydır.

1. Dış Açıortay

Bir üçgenin bir dış açısını iki eşit parçaya ayıran doğruya dış açıortay denir.

Dış açıortay, karşı kenarın uzantısını komşu kenarların oranında böler.

ABC üçgeninde A köşesinin dış açıortayı BC doğrusunu D noktasında kesiyorsa:

Burada D noktası çoğunlukla BC kenarının dışında bulunur.

1. İç ve Dış Açıortayın Birbirine Dikliği

Aynı köşeye ait iç açıortay ile dış açıortay birbirine diktir.

Çünkü iç açı ile dış açının toplamı 180°'dir ve açıortaylar bu açıları yarıya böler:

A/2 + (180°−A)/2 = 90°

1. Kenarortay Nedir?

Bir üçgende bir köşeyi karşı kenarın orta noktasıyla birleştiren doğru parçasına kenarortay denir.

ABC üçgeninde D, BC'nin orta noktasıysa AD kenarortaydır.

1. Açıortay ile Kenarortay Arasındaki Fark

Açıortay: Açıyı iki eşit parçaya böler.

Kenarortay: Karşı kenarı iki eşit parçaya böler.

Bu iki kavram genel bir üçgende aynı doğru olmak zorunda değildir.

1. İkizkenar Üçgende Kenarortay

AB=AC olan ikizkenar üçgende A köşesinden BC tabanına çizilen kenarortay aynı zamanda:

• Açıortay • Yükseklik

özelliği taşır.

1. Eşkenar Üçgende Kenarortay

Eşkenar üçgende her köşeden çizilen kenarortay aynı zamanda:

• Açıortay • Yükseklik

olur.

Eşkenar üçgendeki bu doğrular aynı noktada kesişir.

1. Ağırlık Merkezi

Bir üçgenin üç kenarortayı tek bir noktada kesişir.

Bu noktaya ağırlık merkezi denir ve genellikle G ile gösterilir.

1. Ağırlık Merkezinin Kenarortayı Bölme Oranı

Ağırlık merkezi, her kenarortayı köşeden orta noktaya doğru 2:1 oranında böler.

ABC üçgeninde AD kenarortay ve G ağırlık merkeziyse:

Buna göre:

AG = 2·GD AD = 3·GD AG = 2AD/3 GD = AD/3

1. Ağırlık Merkezinde Uzunluk Soruları

1. Kenarortayların Oluşturduğu Alanlar

Üç kenarortay birlikte çizildiğinde üçgeni alanları eşit 6 küçük üçgene ayırır.

1. Bir Kenarortayın Alan Özelliği

Bir kenarortay, üçgeni alanları eşit iki üçgene böler.

AD, BC'ye ait kenarortaysa:

Çünkü iki küçük üçgenin yükseklikleri aynı, tabanları BD ve DC ise eşittir.

1. Açıortayda Alan Oranı

AD, A açısının açıortayı olsun.

ABD ve ADC üçgenlerinin A'dan BC doğrusuna olan yükseklikleri aynıdır.

Bu nedenle alanları tabanlarıyla orantılıdır:

Alan(ABD) / Alan(ADC) = BD / DC

Açıortay teoreminden:

BD/DC = AB/AC

Dolayısıyla:

1. Açıortay ve Toplam Alan

1. Kenarortay Uzunluğu Bağıntısı

ABC üçgeninde A köşesinden BC kenarına çizilen kenarortayın uzunluğu Va olsun.

BC=a, AC=b ve AB=c ise:

Eşdeğer biçim:

Bu bağıntı Apollonius bağıntısı olarak da bilinir.

1. Kenarortay Uzunluğu Örneği

Bu sonuç, ikizkenar üçgende kenarortayın aynı zamanda yükseklik olmasıyla da bulunabilir.

1. Dik Üçgende Hipotenüse Çizilen Kenarortay

Dik üçgende hipotenüsün orta noktasına çizilen kenarortayın uzunluğu hipotenüsün yarısına eşittir.

1. Dik Üçgende Hipotenüsün Orta Noktası

Hipotenüsün orta noktası üç köşeye eşit uzaklıktadır.

ABC dik üçgeninde A=90° ve D hipotenüs BC'nin orta noktasıysa:

1. Kenarortaydan Dik Üçgeni Tanıma

Bir üçgende bir kenara çizilen kenarortay, o kenarın yarısına eşitse bu kenar hipotenüstür ve üçgen diktir.

1. Açıortay mı Kenarortay mı?

Soruda:

“Açıyı iki eşit parçaya böler” → Açıortay

“Karşı kenarın orta noktasına gider” → Kenarortay

“BD=DC” → Kenarortay bilgisi

“∠BAD=∠DAC” → Açıortay bilgisi

1. Açıortayın Kenarortay Olması

AD hem açıortay hem kenarortaysa:

BD=DC

Açıortay teoreminden:

BD/DC = AB/AC

1 = AB/AC

Dolayısıyla:

Yani üçgen A köşesine göre ikizkenardır.

1. Kenarortayın Açıortay Olması

Bir üçgende aynı doğru hem kenarortay hem açıortay ise üçgen ikizkenardır.

1. Oran Sorularında Hızlı Yöntem

Açıortayda:

AB:AC = BD:DC

Kenarortayda:

BD:DC = 1:1

Ağırlık merkezinde:

AG:GD = 2:1

1. Şeklin Görünüşüne Güvenme

Bir doğru açıortay veya kenarortay gibi görünebilir.

Ancak gerekli bilgi verilmemişse bu özellik kabul edilmez.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Açıortay açıyı iki eşit parçaya böler. • Kenarortay karşı kenarı iki eşit parçaya böler. • İç açıortay teoremi: BD/DC=AB/AC. • Aynı köşenin iç ve dış açıortayları birbirine diktir. • Üç kenarortay ağırlık merkezinde kesişir. • Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden itibaren 2:1 oranında böler. • Kenarortay üçgeni eş alanlı iki parçaya ayırır. • Üç kenarortay üçgeni 6 eş alanlı küçük üçgene böler. • Dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortay hipotenüsün yarısıdır. • İkizkenarda tepeden tabana çizilen kenarortay aynı zamanda açıortay ve yüksekliktir. • Açıortay ile kenarortay genel bir üçgende aynı doğru olmak zorunda değildir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Önce verilen doğrunun açıortay mı kenarortay mı olduğunu belirle.
2. Açıortaysa karşı kenar parçalarını komşu kenarlarla oranla.
3. Kenarortaysa karşı kenarı iki eşit parçaya ayır.
4. Ağırlık merkezinde 2:1 oranını doğrudan kullan.
5. Alan sorularında ortak yüksekliği fark et.
6. İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yükseklik özelliklerinin birleşebileceğini kontrol et.
7. Dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortayın özel özelliğini unutma.
8. Şekilde verilmeyen eşitlikleri yalnız görünüşten kabul etme.

Konu Özeti

Açıortay: Açıyı iki eşit parçaya böler. İç açıortay teoremi: BD/DC=AB/AC İç açıortay ⟂ Aynı köşenin dış açıortayı

Kenarortay: Karşı kenarı iki eşit parçaya böler. BD=DC

Ağırlık merkezi: Kenarortayların kesişim noktası AG:GD=2:1 AG=2AD/3 GD=AD/3

Bir kenarortay: Üçgeni 2 eş alanlı parçaya böler. Üç kenarortay: Üçgeni 6 eş alanlı küçük üçgene böler.

Açıortayda alan oranı: Alan(ABD)/Alan(ADC)=BD/DC=AB/AC

Dik üçgende hipotenüse kenarortay: AD=BD=DC=BC/2

Kenarortay bağıntısı: Va²=(2b²+2c²−a²)/4