TYT Geometri Çember ve Daire Ders Notu

Çember ve Daire Ders Notu

Çember ve Daire konusu; merkez, yarıçap, çap, kiriş, yay, teğet, açı ilişkileri ve dairede uzunluk-alan hesaplamalarını kapsar. TYT'de özellikle merkez-çevre açı, teğet özellikleri, yay uzunluğu ve daire dilimi önemlidir.

1. Çember ve Daire

Çember: Sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu sınırdır.

Daire: Çemberin iç bölgesiyle birlikte oluşturduğu şekildir.

Çember → Sınır Daire → Çember + İç bölge

1. Merkez ve Yarıçap

Çemberin sabit noktasına merkez denir.

Merkezden çember üzerindeki noktaya çizilen doğru parçası yarıçaptır.

Aynı çemberde bütün yarıçaplar eşittir.

1. Çap

Merkezden geçen kirişe çap denir.

Çap=2r

Çap, çemberin en uzun kirişidir.

1. Kiriş

Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasıdır.

Çap da bir kiriştir.

Ancak her kiriş çap değildir.

1. Yay

Çember üzerindeki iki nokta arasında kalan çember parçasına yay denir.

Tam çember=360° Yarım çember=180°

1. Merkez Açı

Köşesi merkezde bulunan açıya merkez açı denir.

Merkez açı, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.

m(∠AOB)=m(AB yayı)

Örnek: Merkez açı 80° ise gördüğü yay 80°'dir.

1. Çevre Açı

Köşesi çember üzerinde bulunan açıya çevre açı denir.

Çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır.

Çevre açı=Gördüğü yay/2

Örnek: Görülen yay 120° ise çevre açı 60°'dir.

1. Merkez Açı – Çevre Açı

Aynı yayı gören merkez açı, çevre açının iki katıdır.

Merkez açı=2×Çevre açı

Örnek: Çevre açı 35° ise merkez açı 70°'dir.

1. Aynı Yayı Gören Çevre Açılar

Aynı yayı gören çevre açılar eşittir.

Aynı yay → Eş çevre açılar

1. Çapı Gören Çevre Açı

Çapın gördüğü yay 180° olduğundan:

Çapı gören çevre açı=90°

Bu özellik çember içinde dik üçgen oluşturur.

1. Kirişe Merkezden Dikme

Merkezden bir kirişe indirilen dikme kirişi iki eşit parçaya böler.

OM ⟂ AB ise:

AM=MB

1. Kirişin Orta Noktası

Bir kirişin orta noktasını merkeze birleştiren doğru kirişe diktir.

AM=MB ise:

OM ⟂ AB

1. Eş Kirişler

Aynı çemberde eş kirişler:

Eş yay görür. Merkeze eşit uzaklıktadır.

Eş kiriş → Eş yay → Merkeze eşit uzaklık

1. Kiriş Uzunluğu

Merkeze daha yakın olan kiriş daha uzundur.

Merkeze en yakın kiriş çap olduğundan en uzun kiriş çaptır.

1. Teğet

Çembere yalnız bir noktada değen doğruya teğet denir.

Değme noktasına teğet noktası denir.

1. Teğet – Yarıçap

Teğet noktasına çizilen yarıçap teğete diktir.

OT ⟂ Teğet

Bu özellik teğet sorularında dik üçgen oluşturmak için kullanılır.

1. Dış Noktadan Çizilen Teğetler

Aynı dış noktadan çembere çizilen teğet uzunlukları eşittir.

PA ve PB teğet ise:

PA=PB

1. Teğet – Kiriş Açısı

Teğet ile kiriş arasında oluşan açı, gördüğü yayın yarısına eşittir.

Teğet-kiriş açısı=Gördüğü yay/2

Örnek: Yay 100° ise açı 50°'dir.

1. Çember İçinde Kesişen Kirişlerin Açısı

Çember içinde kesişen iki kirişin oluşturduğu açının ölçüsü, karşılıklı yayların toplamının yarısıdır.

Açı=(Yay₁+Yay₂)/2

Örnek: Yaylar 80° ve 40° ise:

Açı=60°

1. Çember Dışında Oluşan Açı

Çember dışında iki kesen, iki teğet veya bir teğet-bir kesen ile oluşan açı:

Açı=(Büyük yay−Küçük yay)/2

Örnek: Yaylar 150° ve 70° ise:

Açı=40°

1. İki Teğetin Arasındaki Açı

Aynı dış noktadan çizilen iki teğetin arasındaki açı:

Teğetler arası açı=180°−Merkez açı

Örnek: Merkez açı 120° ise teğetler arasındaki açı 60°'dir.

1. Çemberin Çevresi

Yarıçap r ise:

Çevre=2πr

Çap d ise:

Çevre=πd

Örnek: r=5 ise çevre=10π.

1. Dairenin Alanı

Yarıçap r ise:

Alan=πr²

Örnek: r=6 ise alan=36π.

1. Yay Uzunluğu

Merkez açı α ise:

Yay uzunluğu=α/360°·2πr

Örnek: r=6 ve α=60° ise:

Yay=2π

1. Yarım Çember Yay Uzunluğu

Yarım çember yayı:

πr

1. Çeyrek Çember Yay Uzunluğu

Çeyrek çember yayı:

πr/2

1. Daire Dilimi

İki yarıçap ve aralarındaki yay tarafından sınırlanan bölgedir.

Daire dilimi alanı:

α/360°·πr²

Örnek: r=6 ve α=120° ise:

Alan=12π

1. Yarım Daire Alanı

Alan=πr²/2

1. Çeyrek Daire Alanı

Alan=πr²/4

1. Yay ve Alan Oranı

Merkez açı α ise:

Yay uzunluğu/Tam çevre = α/360°

Daire dilimi alanı/Dairenin alanı = α/360°

1. Kesişen Kirişler Bağıntısı

Çember içinde iki kiriş P noktasında kesişiyorsa:

PA·PB=PC·PD

Örnek: PA=3, PB=8, PC=4 ise:

3·8=4·PD

PD=6

1. Dış Noktadan İki Kesen

P dış noktasından iki kesen çizilmişse:

PA·PB=PC·PD

Burada dış parça ile tüm kesen uzunluğu çarpılır.

1. Teğet – Kesen Bağıntısı

P dış noktasından PT teğeti ve PAB keseni çizilmişse:

PT²=PA·PB

Örnek: PA=4, PB=9 ise:

PT²=36

PT=6

1. Kiriş – Merkez Uzaklığı

Merkezden kirişe indirilen dikme, yarıçap ve yarım kiriş dik üçgen oluşturur.

Örnek: Yarıçap 10, merkezin kirişe uzaklığı 6 ise:

Yarım kiriş=√(10²−6²)=8

Kiriş=16

1. Çap ve Dik Üçgen

Çapı gören çevre açı 90° olduğundan çember içindeki üçgenlerde Pisagor kullanılabilir.

Örnek: Bir üçgenin bir kenarı çap ve üçüncü köşesi çember üzerindeyse bu üçgen diktir.

1. Teğette Dik Üçgen

Teğet noktasına çizilen yarıçap teğete dik olduğundan dik üçgen oluşur.

Örnek: OP=13, OT=5 ve PT teğet ise:

PT²=13²−5²

PT=12

1. Eş Yaylar

Aynı çemberde:

Eş yay → Eş merkez açı → Eş kiriş

1. Büyük ve Küçük Yay

Aynı iki nokta çemberi iki yaya ayırır.

Büyük yay + Küçük yay=360°

1. Açı Sorularında Hızlı Ayrım

Köşe merkezde → Merkez açı

Köşe çember üzerinde → Çevre açı

Kirişler içeride kesişiyor → Yayların toplamının yarısı

Açı dışarıda → Yayların farkının yarısı

Teğet-kiriş → Gördüğü yayın yarısı

1. Uzunluk Sorularında Hızlı Ayrım

Kiriş → Merkezden dikme

Teğet → Yarıçapla 90°

İki teğet → Uzunluklar eşit

Kesişen kiriş → Çarpımlar eşit

Teğet-kesen → Teğetin karesi=dış parça×tüm kesen

1. Alan ve Çevreyi Karıştırma

Çember çevresi:

2πr

Daire alanı:

πr²

Çevre uzunluk, alan ise yüzey ölçüsüdür.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Çember ve daire aynı değildir. • Çap=2r'dir. • Çap en uzun kiriştir. • Merkez açı gördüğü yaya eşittir. • Çevre açı gördüğü yayın yarısıdır. • Aynı yayı gören çevre açılar eşittir. • Çapı gören çevre açı 90°'dir. • Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ortalar. • Teğet noktasına çizilen yarıçap teğete diktir. • Aynı dış noktadan çizilen iki teğet eşittir. • İçeride oluşan açıda yaylar toplanır. • Dışarıda oluşan açıda yaylar çıkarılır. • Yay uzunluğunda 2πr kullanılır. • Daire dilimi alanında πr² kullanılır.

Çember ve Daire Kısa Özeti

Çap: d=2r

Merkez açı: Merkez açı=Gördüğü yay

Çevre açı: Çevre açı=Gördüğü yay/2

Çapı gören çevre açı: 90°

Teğet: Yarıçap ⟂ Teğet

Aynı dış noktadan teğet: PA=PB

Çember çevresi: 2πr

Daire alanı: πr²

Yay uzunluğu: α/360·2πr

Daire dilimi alanı: α/360·πr²

İçeride oluşan açı: (Yay₁+Yay₂)/2

Dışarıda oluşan açı: (Büyük yay−Küçük yay)/2

Kesişen kiriş: PA·PB=PC·PD

Teğet-kesen: PT²=PA·PB