TYT Geometri Çember ve Daire Konu Anlatımı

Çember ve Daire

Çember ve Daire konusu; merkez, yarıçap, çap, kiriş, yay ve teğet kavramlarının yanı sıra çemberde açı, uzunluk ve alan ilişkilerini inceler. TYT'de özellikle merkez-çevre açı, teğet özellikleri, yay uzunluğu ve daire dilimi alanı önemlidir.

1. Çember ve Daire

Düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu şekle çember denir.

Çemberin iç bölgesiyle birlikte oluşturduğu şekle daire denir.

1. Merkez ve Yarıçap

Çemberin sabit noktasına merkez denir.

Merkezden çember üzerindeki herhangi bir noktaya çizilen doğru parçasına yarıçap denir.

1. Çap

Merkezden geçen ve uçları çember üzerinde bulunan kirişe çap denir.

Yarıçap r ise:

1. Kiriş

Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına kiriş denir.

1. Yay

Çember üzerindeki iki nokta arasında kalan çember parçasına yay denir.

Yayın ölçüsü derece ile ifade edilebilir.

1. Merkez Açı

Köşesi çemberin merkezinde bulunan açıya merkez açı denir.

m(∠AOB)=m(AB yayı)

1. Çevre Açı

Köşesi çember üzerinde bulunan ve kenarları çemberi kesen açıya çevre açı denir.

m(∠ACB)=m(AB yayı)/2

1. Merkez Açı – Çevre Açı

Aynı yayı gören merkez açı, çevre açının 2 katıdır.

1. Aynı Yayı Gören Çevre Açılar

Aynı yayı gören bütün çevre açılar eşittir.

1. Çapı Gören Çevre Açı

Çapın gördüğü yay 180°'dir.

Bu nedenle çevre açı:

180°/2=90°

Bu özellik çember içinde dik üçgen oluşturmak için sık kullanılır.

1. Yarım Çember

Çap çemberi iki eş yaya ayırır.

Her yarım çember yayı:

1. Tam Çember

Tam çemberin açı ölçüsü:

1. Kirişe Merkezden Dikme

Çember merkezinden bir kirişe indirilen dikme kirişi iki eşit parçaya böler.

O merkez ve OM ⟂ AB ise:

1. Kirişin Orta Noktası

Bir kirişin orta noktasını merkeze birleştiren doğru, kirişe diktir.

1. Eş Kirişler

Aynı çemberde eş uzunluktaki kirişler:

• Eş yaylar görür. • Merkeze eşit uzaklıktadır.

1. Merkeze Yakın Kiriş

Merkeze daha yakın olan kiriş daha uzundur.

En uzun kiriş merkezden geçen çaptır.

1. Teğet

Çembere yalnız bir noktada değen doğruya teğet denir.

Değdiği noktaya teğet noktası denir.

1. Teğet – Yarıçap

Teğet noktasına çizilen yarıçap teğete diktir.

1. Dış Noktadan Çizilen Teğetler

Çember dışındaki aynı noktadan çizilen iki teğet uzunluğu eşittir.

P dış nokta, PA ve PB teğet ise:

1. Teğetlerin Oluşturduğu Dörtgen

OA ve OB yarıçapları teğetlere dik olduğundan:

∠OAP=90° ∠OBP=90°

Bu bilgi açı ve uzunluk sorularında kullanılır.

1. Teğet – Kiriş Açısı

Teğet ile teğet noktasından geçen kiriş arasındaki açının ölçüsü gördüğü yayın yarısına eşittir.

1. Çember İçinde Kesişen İki Kirişin Açısı

İki kiriş çember içinde kesişiyorsa oluşan açının ölçüsü karşılıklı gördüğü iki yayın toplamının yarısıdır.

1. Çember Dışında Oluşan Açı

Çember dışında iki kesen, iki teğet veya bir kesen-bir teğet ile oluşan açının ölçüsü yayların farkının yarısıdır.

1. İki Teğetin Arasındaki Açı

P noktasından çembere PA ve PB teğetleri çizilsin.

AOB merkez açısı ise:

1. Çemberin Çevresi

Yarıçap r ise:

Çap d ise:

1. Dairenin Alanı

Yarıçap r ise:

1. Yay Uzunluğu

Merkez açısı α olan yayın uzunluğu:

1. Yarım Çember Yay Uzunluğu

Yarım çemberde α=180° olduğundan:

1. Çeyrek Çember Yay Uzunluğu

α=90° olduğundan:

1. Daire Dilimi

İki yarıçap ve aralarındaki yay tarafından sınırlanan bölgeye daire dilimi denir.

Merkez açı α ise:

1. Yarım Daire Alanı

1. Çeyrek Daire Alanı

1. Yay Uzunluğu – Daire Dilimi Alanı İlişkisi

Aynı merkez açı oranı hem yay uzunluğunda hem daire dilimi alanında kullanılır.

1. Merkez Açıdan Yay Uzunluğu

1. Yay Uzunluğundan Merkez Açı

1. Daire Dilimi Alanından Merkez Açı

1. Çemberde Kesişen Kirişler

Çember içinde iki kiriş P noktasında kesişsin.

1. Dış Noktadan İki Kesen

P çember dışında olsun.

PAB ve PCD kesenleri çizilmişse:

Burada:

PA ve PC dış parçalar, PB ve PD kesenin tamamıdır.

1. Teğet – Kesen Bağıntısı

P dış noktasından PT teğeti ve PAB keseni çizilmişse:

1. Kiriş – Merkez Uzaklığı

Kirişin yarısı, merkezden kirişe indirilen dikme ve yarıçap dik üçgen oluşturur.

1. Çemberde Dik Üçgen

Çapı gören çevre açı 90° olduğundan çember sorularında Pisagor sık kullanılır.

1. Teğette Dik Üçgen

Merkezden teğet noktasına çizilen yarıçap teğete dik olduğundan dik üçgen oluşur.

1. Eş Yaylar

Aynı çemberde eş yayların:

• Merkez açıları eşittir. • Kirişleri eşittir.

1. Büyük ve Küçük Yay

İki nokta çemberi iki yaya ayırır.

Küçük yay genellikle 180°'den küçüktür. Büyük yay 180°'den büyüktür.

1. Çapın Ayırdığı Yaylar

Çapın iki ucu arasındaki her yarım yay:

180°

olduğundan çap içeren sorularda yay toplamları hızlıca bulunabilir.

1. Açı Sorularında İlk Kontrol

1. Uzunluk Sorularında İlk Kontrol

1. Alan Sorularında İlk Kontrol

1. Çevre ile Alanı Karıştırma

Çevre bir uzunluktur, alan ise iki boyutlu büyüklüktür.

1. Şeklin Görünüşüne Güvenme

Bir doğru teğet gibi görünse bile teğet olduğu verilmemişse teğet kabul edilmez.

Bir doğru merkezden geçiyor gibi görünse bile çap olduğu kesin değilse çap kabul edilmez.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Çember ile daire aynı şey değildir. • Çap=2r'dir. • Çap en uzun kiriştir. • Merkez açı gördüğü yaya eşittir. • Çevre açı gördüğü yayın yarısıdır. • Aynı yayı gören çevre açılar eşittir. • Çapı gören çevre açı 90°'dir. • Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ortalar. • Teğet noktasına çizilen yarıçap teğete diktir. • Aynı dış noktadan çizilen teğetlerin uzunlukları eşittir. • Çember çevresi 2πr, daire alanı πr²'dir. • Yay uzunluğunda 2πr, daire diliminde πr² kullanılır. • İçeride kesişen doğrularda yaylar toplanır; dışarıda oluşan açıda yaylar çıkarılır.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Önce şeklin merkezini ve yarıçaplarını işaretle.
2. Verilen açıların merkez açı mı çevre açı mı olduğunu belirle.
3. Yay ölçülerini mümkün olduğunca erken yaz.
4. Çap varsa 90° oluşturma ihtimalini kontrol et.
5. Teğet varsa hemen merkez ile teğet noktasını birleştir.
6. Kiriş sorularında merkezden dik indirerek dik üçgen oluştur.
7. Uzunluk sorularında Pisagor ve çarpım bağıntılarını birlikte düşün.
8. Alan ve yay sorularında merkez açının 360° içindeki payını kullan.

Konu Özeti

Çap: d=2r

Merkez açı: Merkez açı=Gördüğü yay

Çevre açı: Çevre açı=Gördüğü yay/2

Çapı gören çevre açı: 90°

Teğet: Yarıçap ⟂ Teğet

Aynı noktadan teğetler: PA=PB

Çember çevresi: 2πr

Daire alanı: πr²

Yay uzunluğu: α/360·2πr

Daire dilimi: α/360·πr²

İçeride kesişen kirişler: Açı=(Yay₁+Yay₂)/2

Dışarıdaki açı: Açı=(Büyük yay−Küçük yay)/2

Kesişen kiriş: PA·PB=PC·PD

Teğet-kesen: PT²=PA·PB