TYT Geometri Çokgenler Ders Notu

Çokgenler Ders Notu

Çokgenler konusu; çokgenlerin kenar, köşe, açı ve köşegen özelliklerini inceler. TYT'de özellikle iç açı toplamı, dış açı toplamı, düzgün çokgenlerde açı hesapları ve köşegen sayısı önemlidir.

1. Çokgen Nedir?

En az üç doğru parçasının uç uca birleşmesiyle oluşan kapalı şekle çokgen denir.

3 kenar → Üçgen 4 kenar → Dörtgen 5 kenar → Beşgen 6 kenar → Altıgen

n kenarlı bir çokgende:

Kenar sayısı = n Köşe sayısı = n İç açı sayısı = n

1. Dışbükey Çokgen

Bütün iç açıları 180°'den küçük olan çokgenlere dışbükey çokgen denir.

TYT'de kullanılan temel çokgen formülleri dışbükey çokgenler üzerinden uygulanır.

1. Bir Köşeden Çizilebilen Köşegen Sayısı

Bir köşeden kendisine ve komşu iki köşeye köşegen çizilemez.

Bu nedenle:

Bir köşeden çizilebilen köşegen sayısı = n−3

Örnek: 8 kenarlı çokgende:

8−3=5 köşegen çizilebilir.

1. Toplam Köşegen Sayısı

n kenarlı bir çokgende toplam köşegen sayısı:

n(n−3)/2

Örnek: Altıgende:

6·3/2=9

köşegen vardır.

1. Köşegen Sayısından Kenar Sayısı

Örnek: Toplam köşegen sayısı 20 olsun.

n(n−3)/2=20

n²−3n−40=0

(n−8)(n+5)=0

n=8

1. Bir Köşeden Oluşan Üçgen Sayısı

Bir köşeden bütün köşegenler çizildiğinde çokgen:

n−2

üçgene ayrılır.

Örnek: Yedigen:

7−2=5 üçgene ayrılır.

1. İç Açılar Toplamı

n kenarlı çokgenin iç açıları toplamı:

(n−2)·180°

Örnek: Altıgen:

(6−2)·180=720°

1. İç Açı Toplamından Kenar Sayısı

Örnek: İç açıları toplamı 1260° ise:

(n−2)·180=1260

n−2=7

n=9

1. Dış Açılar Toplamı

Her dışbükey çokgende, her köşeden aynı yönde bir dış açı alındığında:

Dış açıların toplamı = 360°

Bu sonuç kenar sayısından bağımsızdır.

1. İç Açı – Dış Açı İlişkisi

Aynı köşeye ait iç açı ve dış açı bütünlerdir.

İç açı + Dış açı = 180°

Örnek: İç açı 140° ise dış açı:

180−140=40°

1. Düzgün Çokgen

Bütün kenarları ve bütün iç açıları eşit olan çokgene düzgün çokgen denir.

Düzgün çokgende:

Kenarlar eşit İç açılar eşit Dış açılar eşittir.

1. Düzgün Çokgende Bir Dış Açı

Dış açıların toplamı 360° olduğundan:

Bir dış açı = 360°/n

Örnek: Düzgün dokuzgende:

360/9=40°

1. Düzgün Çokgende Bir İç Açı

Bir iç açı:

180°−360°/n

veya:

(n−2)·180°/n

Örnek: Düzgün altıgende:

180−60=120°

1. Dış Açıdan Kenar Sayısı Bulma

Düzgün çokgende:

n=360°/Dış açı

Örnek: Bir dış açı 30° ise:

n=360/30=12

1. İç Açıdan Kenar Sayısı Bulma

Önce dış açı bulunabilir.

Örnek: Bir iç açı 150° ise:

Dış açı=180−150=30°

n=360/30=12

1. Merkez Açı

Düzgün çokgende merkez ile ardışık iki köşe birleştirilirse oluşan merkez açı:

Merkez açı = 360°/n

Düzgün çokgende:

Merkez açı = Bir dış açı

1. Merkezden Oluşan Üçgenler

Düzgün n-genin merkezi bütün köşelere birleştirildiğinde:

n tane eş ikizkenar üçgen oluşur.

1. Düzgün Altıgen

Düzgün altıgende:

Bir dış açı=60° Bir iç açı=120° Merkez açı=60°

Merkez ile köşeler birleştirilirse 6 eşkenar üçgen oluşur.

1. Üçgen

n=3

İç açı toplamı=180° Köşegen sayısı=0

Düzgün üçgende bir iç açı=60°

1. Dörtgen

n=4

İç açı toplamı=360° Toplam köşegen sayısı=2

Düzgün dörtgende bir iç açı=90°

1. Beşgen

n=5

İç açı toplamı=540° Toplam köşegen sayısı=5

Düzgün beşgende:

Bir dış açı=72° Bir iç açı=108°

1. Altıgen

n=6

İç açı toplamı=720° Toplam köşegen sayısı=9

Düzgün altıgende:

Bir dış açı=60° Bir iç açı=120°

1. Sekizgen

n=8

İç açı toplamı=1080° Toplam köşegen sayısı=20

Düzgün sekizgende:

Bir dış açı=45° Bir iç açı=135°

1. On Kenarlı Çokgen

n=10

İç açı toplamı=1440° Toplam köşegen sayısı=35

Düzgün ongende:

Bir dış açı=36° Bir iç açı=144°

1. Üç Temel Köşegen Formülü

Bir köşeden çizilen köşegen:

n−3

Bir köşeden oluşan üçgen sayısı:

n−2

Toplam köşegen sayısı:

n(n−3)/2

Bu üç bağıntı birbirine karıştırılmamalıdır.

1. Eksik İç Açıyı Bulma

Önce çokgenin iç açı toplamı hesaplanır.

Örnek: Bir beşgende dört açı:

100°, 110°, 120°, 130°

İç açı toplamı=540°

Eksik açı:

540−460=80°

1. Eksik Dış Açıyı Bulma

Dış açıların toplamı 360°'dir.

Örnek: Dört dış açı:

50°, 60°, 70°, 80°

Toplam=260°

Eksik dış açı:

360−260=100°

1. İç Açı – Dış Açı Oranı

Düzgün çokgende iç ve dış açı aynı köşede olduğundan toplamları 180°'dir.

Örnek: İç açı dış açının 4 katıysa:

Dış açı=x İç açı=4x

5x=180

x=36°

n=360/36=10

1. İç Açı Dış Açıdan Fazlaysa

Örnek: İç açı, dış açıdan 120° fazla olsun.

Dış açı=x İç açı=x+120

2x+120=180

x=30°

n=360/30=12

1. Kenar Sayısı Arttıkça

Düzgün çokgende kenar sayısı arttıkça:

Dış açı küçülür. İç açı büyür. İç açı 180°'ye yaklaşır.

1. İç Açı Toplamının Değişimi

Kenar sayısı her 1 arttığında iç açı toplamı:

180°

artar.

Örnek:

Beşgen=540° Altıgen=720°

Fark=180°

1. Köşegen Nedir?

Komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına köşegen denir.

Komşu köşeleri birleştiren doğru parçası ise kenardır.

1. Düzgün Olmayan Çokgende Dış Açılar

Çokgenin düzgün olması gerekmez.

Her dışbükey çokgende dış açıların toplamı:

360°

Ancak dış açıların birbirine eşit olması için çokgenin düzgün olması gerekir.

1. Şeklin Görünüşüne Güvenme

Bir çokgen düzgün çizilmiş görünse bile “düzgün çokgen” bilgisi verilmedikçe:

Kenarlar eşit kabul edilmez. Açılar eşit kabul edilmez.

Sık Karıştırılan Noktalar

• İç açı toplamı=(n−2)·180° • Dış açı toplamı=360° • Bir köşeden köşegen=n−3 • Bir köşeden oluşan üçgen=n−2 • Toplam köşegen=n(n−3)/2 • Düzgün çokgende bir dış açı=360°/n • Düzgün çokgende bir iç açı=180°−360°/n • Merkez açı düzgün çokgende dış açıya eşittir. • İç açı ve aynı köşedeki dış açı toplamı 180°'dir. • Çokgenin düzgün olduğu verilmeden eş kenar ve eş açı kabul edilmez.

Çokgenler Kısa Özeti

İç açı toplamı: (n−2)·180°

Dış açı toplamı: 360°

Bir köşeden köşegen: n−3

Bir köşeden oluşan üçgen: n−2

Toplam köşegen: n(n−3)/2

Düzgün çokgende bir dış açı: 360°/n

Düzgün çokgende bir iç açı: 180°−360°/n

Merkez açı: 360°/n

İç açı + Dış açı: 180°