TYT Geometri Çokgenler Konu Anlatımı

Çokgenler

Çokgenler konusu; doğru parçalarının birleşmesiyle oluşan kapalı şekillerin temel özelliklerini, açılarını ve köşegenlerini inceler. TYT'de özellikle iç açı toplamı, dış açı toplamı, düzgün çokgenlerde bir iç açı ve köşegen sayısı önemlidir.

1. Çokgen Nedir?

En az üç doğru parçasının uç uca birleşmesiyle oluşan kapalı şekle çokgen denir.

Örnek:

3 kenar → Üçgen 4 kenar → Dörtgen 5 kenar → Beşgen 6 kenar → Altıgen

1. Çokgenin Elemanları

Bir çokgende:

• Kenarlar • Köşeler • İç açılar • Dış açılar • Köşegenler

bulunur.

1. Dışbükey Çokgen

Bütün iç açıları 180°'den küçük olan çokgenlere dışbükey çokgen denir.

TYT'de kullanılan temel çokgen formülleri dışbükey çokgenler için düşünülür.

1. Bir Köşeden Çizilebilen Köşegen Sayısı

Bir köşe:

Kendisine bağlanamaz. Yanındaki iki köşeye çizilen doğru parçaları kenardır.

Bu nedenle:

1. Toplam Köşegen Sayısı

Her köşeden n−3 köşegen çizilebilir.

Ancak her köşegen iki kez sayılacağı için 2'ye bölünür.

1. Köşegen Sayısından Kenar Sayısı Bulma

1. Bir Köşeden Çizilen Köşegenlerin Oluşturduğu Üçgen Sayısı

Bir köşeden bütün köşegenler çizildiğinde çokgen üçgenlere ayrılır.

1. Çokgenin İç Açıları Toplamı

Bir köşeden çizilen köşegenler çokgeni n−2 üçgene ayırır.

Her üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan:

1. İç Açı Toplamından Kenar Sayısı Bulma

1. Çokgenin Dış Açıları Toplamı

Her köşeden aynı yönde birer dış açı alındığında toplam her zaman 360°'dir.

Kenar sayısından bağımsızdır.

1. İç Açı ile Dış Açı İlişkisi

Aynı köşeye ait iç açı ile dış açı bütünlerdir.

1. Düzgün Çokgen

Bütün kenarları ve bütün iç açıları eşit olan çokgene düzgün çokgen denir.

1. Düzgün Çokgende Bir Dış Açı

Dış açıların toplamı 360° ve bütün dış açılar eşittir.

Bu nedenle:

1. Düzgün Çokgende Bir İç Açı

Bir iç açı ile dış açı toplamı 180° olduğundan:

Eşdeğer biçim:

1. Dış Açıdan Kenar Sayısı Bulma

Düzgün çokgende:

n=360°/Dış açı

1. İç Açıdan Kenar Sayısı Bulma

Önce dış açı bulunabilir.

1. Düzgün Çokgende Merkez Açı

Düzgün çokgenin merkezi ile ardışık iki köşesi birleştirildiğinde oluşan merkez açı:

Bu değer düzgün çokgenin bir dış açısına eşittir.

1. Düzgün Çokgende Merkezden Oluşan Üçgenler

Merkez bütün köşelere birleştirildiğinde n tane eş ikizkenar üçgen oluşur.

1. Düzgün Altıgen

Düzgün altıgende:

Bir dış açı=60° Bir iç açı=120° Merkez açı=60°

Çünkü merkez açı 60° ve iki yarıçap eşittir.

1. Üçgen

n=3

İç açı toplamı:

(3−2)·180=180°

Toplam köşegen:

3(3−3)/2=0

Düzgün üçgende bir iç açı:

60°

1. Dörtgen

n=4

İç açı toplamı:

(4−2)·180=360°

Toplam köşegen:

4(4−3)/2=2

Düzgün dörtgende yani karede bir iç açı:

90°

1. Beşgen

n=5

İç açı toplamı:

(5−2)·180=540°

Toplam köşegen:

5(5−3)/2=5

Düzgün beşgende bir dış açı:

72°

Bir iç açı:

108°

1. Altıgen

n=6

İç açı toplamı:

720°

Toplam köşegen:

9

Düzgün altıgende:

Bir dış açı=60° Bir iç açı=120°

1. Sekizgen

n=8

İç açı toplamı:

(8−2)·180=1080°

Toplam köşegen:

8·5/2=20

Düzgün sekizgende:

Bir dış açı=45° Bir iç açı=135°

1. On Kenarlı Çokgen

n=10

İç açı toplamı:

8·180=1440°

Köşegen sayısı:

10·7/2=35

Düzgün ongende:

Bir dış açı=36° Bir iç açı=144°

1. Köşegen Sayısı ile Üçgen Sayısı Farkı

Bu üç formül birbirine karıştırılmamalıdır.

1. Ardışık Olmayan Köşeler

Köşegen, komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır.

1. İç Açılar Toplamının Artışı

Kenar sayısı 1 arttığında iç açı toplamı 180° artar.

Çünkü:

(n−2)·180°

formülünde n bir arttığında sonuç 180° artar.

1. Düzgün Çokgende Kenar Sayısı Arttıkça

Kenar sayısı arttıkça:

Dış açı küçülür. İç açı büyür ve 180°'ye yaklaşır.

1. Dış Açılar Toplamında İşaret

Dış açılar aynı yönde alınmalıdır.

1. Düzgün Olmayan Çokgende Dış Açı

Çokgenin düzgün olması gerekmez.

Her dışbükey çokgende:

Ancak dış açıların her biri eşit olmak zorunda değildir.

1. Düzgün Çokgende Açı Soruları

1. Köşegen Sorularında Denklem Kurma

1. Bir Köşeden Çizilen Köşegen Sayısından n Bulma

1. Oluşan Üçgen Sayısından n Bulma

1. Çokgende Eksik İç Açıyı Bulma

Önce toplam iç açı hesaplanır.

1. Çokgende Eksik Dış Açıyı Bulma

Dış açıların toplamı 360° olduğundan:

1. Düzgün Çokgende İç Açı – Dış Açı Oranı

1. Düzgün Çokgende İç Açı Dış Açıdan Belirli Miktar Fazla

1. Kenar Sayısı ile Köşegen Sayısının Karşılaştırılması

1. Kenar Sayısı ile Toplam Açı

İç açı toplamı kenar sayısına doğrusal bağlıdır.

Bu yüzden kenar sayısı bilindiğinde toplam açı doğrudan hesaplanabilir.

1. Çokgeni Üçgenlere Ayırma Mantığı

Bir köşeden köşegen çizerek çokgeni üçgenlere ayırmak:

• İç açı toplamının temelini oluşturur. • n−2 üçgen verir.

1. Düzgün Çokgen ve Simetri

Düzgün çokgenlerde bütün kenar ve açılar eşit olduğundan yüksek derecede simetri bulunur.

Ancak sınav sorularında temel olarak:

• Merkez açı • İç açı • Dış açı • Benzer/eş üçgenler

üzerinden işlem yapılır.

1. Şeklin Görünüşüne Güvenme

Bir çokgen düzgün çizilmiş gibi görünse bile düzgün olduğu belirtilmemişse bütün kenar veya açıları eşit kabul edilmez.

1. En Sık Kullanılan Formüller

Sık Karıştırılan Noktalar

• İç açı toplamı: (n−2)·180° • Dış açıların toplamı her zaman 360°'dir. • Düzgün çokgende her dış açı 360°/n'dir. • Bir köşeden çizilen köşegen sayısı n−3'tür. • Toplam köşegen sayısı n(n−3)/2'dir. • Bir köşeden çizilen köşegenler n−2 üçgen oluşturur. • İç açı ile aynı köşedeki dış açı toplamı 180°'dir. • Düzgün çokgende merkez açı ile dış açı eşittir. • Ortaya çıkan bütün dış açıların eşit olması için çokgenin düzgün olması gerekir. • Çokgenin düzgün olduğu verilmeden kenar ve açı eşitliği kabul edilmez.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Verilen bilgiden önce n değerini bulmaya çalış.
2. İç açı sorularında (n−2)·180° formülünü kullan.
3. Düzgün çokgende açı sorularında dış açı üzerinden gitmek çoğu zaman daha hızlıdır.
4. Köşegen sorularında “bir köşeden mi, toplam mı?” ayrımını yap.
5. İç-dış açı oranlarında x kullanarak toplamı 180°'ye eşitle.
6. Dış açı sorularında toplamın 360° olduğunu unutma.
7. Kenar sayısını bulduktan sonra diğer formüllere geç.

Konu Özeti

n kenarlı çokgen:

Kenar sayısı = n Köşe sayısı = n

İç açı toplamı: (n−2)·180°

Dış açı toplamı: 360°

Bir köşeden köşegen: n−3

Toplam köşegen: n(n−3)/2

Bir köşeden oluşan üçgen: n−2

Düzgün çokgende bir dış açı: 360°/n

Düzgün çokgende bir iç açı: 180°−360°/n

Merkez açı: 360°/n