TYT Geometri Dörtgenler ve Özel Dörtgenler Ders Notu

Dörtgenler ve Özel Dörtgenler Ders Notu

Dörtgenler konusu; dört kenarlı şekillerin açı, kenar, köşegen ve alan özelliklerini inceler. TYT'de özellikle paralelkenar, dikdörtgen, kare, eşkenar dörtgen, yamuk ve deltoidin ayırt edici özellikleri önemlidir.

1. Dörtgen

Bir dörtgenin iç açıları toplamı:

360°

Örnek: A=80°, B=90°, C=110° ise:

D=360−280=80°

1. Dörtgende Köşegen

Bir dörtgende karşılıklı iki köşeyi birleştiren doğru parçasına köşegen denir.

Bir dörtgende toplam 2 köşegen vardır.

1. Paralelkenar

Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgendir.

AB ∥ DC AD ∥ BC

Karşılıklı kenarlar eşittir:

AB=DC AD=BC

1. Paralelkenarda Açılar

Karşılıklı açılar eşittir:

A=C B=D

Komşu açılar bütünlerdir:

A+B=180°

Örnek: A=70° ise:

C=70° B=D=110°

1. Paralelkenarda Köşegenler

Köşegenler birbirini ortalar.

AC ve BD köşegenleri O noktasında kesişiyorsa:

AO=OC BO=OD

Köşegenlerin eşit olması gerekmez.

1. Paralelkenarda Alan

Alan = Taban × Yükseklik

Örnek: Taban 12, yükseklik 7 ise:

Alan=84

1. Paralelkenarda Alan ve Köşegen

Bir köşegen paralelkenarı iki eş alanlı üçgene böler.

İki köşegen birlikte çizildiğinde oluşan 4 küçük üçgen eş alanlıdır.

Örnek: Paralelkenarın alanı 80 ise her küçük üçgenin alanı 20'dir.

1. Paralelkenarı Tanıma

Bir dörtgende:

• Karşılıklı kenarlar paralelse • Karşılıklı kenarlar eşitse • Bir çift karşılıklı kenar hem eşit hem paralelse • Köşegenler birbirini ortalıyorsa

paralelkenar özelliği kullanılabilir.

1. Dikdörtgen

Dört açısı da 90° olan paralelkenardır.

A=B=C=D=90°

Karşılıklı kenarlar eşit ve paraleldir.

1. Dikdörtgende Köşegenler

Köşegenler:

Birbirini ortalar. Birbirine eşittir.

AC=BD

Kesişim noktası O ise:

AO=BO=CO=DO

1. Dikdörtgende Köşegen Uzunluğu

Kenarlar a ve b ise:

d=√(a²+b²)

Örnek: Kenarlar 6 ve 8 ise:

d=10

1. Dikdörtgende Alan ve Çevre

Alan=a·b

Çevre=2(a+b)

1. Kare

Bütün kenarları eşit ve bütün açıları 90° olan dörtgendir.

AB=BC=CD=DA

A=B=C=D=90°

Kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir.

1. Karede Köşegenler

Karenin köşegenleri:

• Eşittir. • Birbirini ortalar. • Birbirine diktir. • Köşe açılarını iki eşit parçaya böler.

AC=BD AC ⟂ BD

1. Karede Köşegen Uzunluğu

Kenar uzunluğu a ise:

d=a√2

Örnek: a=6 ise:

d=6√2

1. Karede Alan ve Çevre

Alan=a²

Köşegen d ise:

Alan=d²/2

Çevre=4a

Örnek: d=10 ise:

Alan=100/2=50

1. Eşkenar Dörtgen

Bütün kenarları eşit olan paralelkenardır.

AB=BC=CD=DA

Karşılıklı açılar eşittir. Komşu açılar bütünlerdir.

1. Eşkenar Dörtgende Köşegenler

Köşegenler:

• Birbirini ortalar. • Birbirine diktir. • Köşe açılarını iki eşit parçaya böler.

Köşegenlerin eşit olması gerekmez.

1. Eşkenar Dörtgende Alan

Taban ve yükseklik biliniyorsa:

Alan=Taban×Yükseklik

Köşegenler d₁ ve d₂ ise:

Alan=d₁·d₂/2

Örnek: Köşegenler 8 ve 12 ise:

Alan=48

1. Eşkenar Dörtgende Kenar

Köşegenler birbirini dik ve ortalar.

Bu nedenle yarım köşegenlerle dik üçgen oluşur.

a=√[(d₁/2)²+(d₂/2)²]

Örnek: Köşegenler 6 ve 8 ise:

Yarıları 3 ve 4

Kenar=5

1. Kare ve Eşkenar Dörtgen

Her kare eşkenar dörtgendir.

Her eşkenar dörtgen kare değildir.

Karede köşegenler eşittir. Eşkenar dörtgende eşit olmak zorunda değildir.

1. Yamuk

En az bir çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgendir.

AB ∥ DC ise AB ve DC tabanlardır.

1. Yamukta Açılar

Aynı yan kenardaki komşu açılar bütünlerdir.

A+D=180° B+C=180°

1. Yamukta Alan

Paralel kenarlar a ve b, yükseklik h ise:

Alan=(a+b)·h/2

Örnek: Tabanlar 8 ve 14, yükseklik 5 ise:

Alan=55

1. Yamukta Orta Taban

Yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasıdır.

Orta taban=(a+b)/2

Örnek: Tabanlar 10 ve 18 ise:

Orta taban=14

1. Orta Taban ile Alan

Alan=Orta taban×Yükseklik

Örnek: Orta taban 12, yükseklik 7 ise:

Alan=84

1. İkizkenar Yamuk

Yan kenarları eşit olan yamuktur.

AD=BC

Aynı tabana ait açılar eşittir:

A=B D=C

1. İkizkenar Yamukta Köşegenler

Köşegenler eşittir.

AC=BD

Ancak köşegenler birbirini ortalamak zorunda değildir.

1. Dik Yamuk

Yan kenarlardan biri tabanlara diktir.

Bu yan kenar aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir.

Dik yamukta iki açı 90°'dir.

1. Deltoid

İkişer komşu kenarı kendi arasında eşit olan dörtgendir.

AB=AD CB=CD

1. Deltoidde Köşegenler

Köşegenler birbirine diktir.

AC ⟂ BD

Simetri ekseni olan köşegen diğer köşegeni ortalar.

İki köşegenin de birbirini ortalaması gerekmez.

1. Deltoidde Açılar

Eş olmayan kenarların birleştiği karşılıklı açılar eşittir.

AB=AD ve CB=CD ise:

B=D

1. Deltoidde Alan

Köşegenler d₁ ve d₂ ise:

Alan=d₁·d₂/2

Örnek: Köşegenler 10 ve 14 ise:

Alan=70

1. Köşegen Özellikleri Karşılaştırması

Paralelkenar: Köşegenler birbirini ortalar.

Dikdörtgen: Köşegenler eşit ve birbirini ortalar.

Eşkenar dörtgen: Köşegenler dik ve birbirini ortalar.

Kare: Köşegenler eşit, dik ve birbirini ortalar.

İkizkenar yamuk: Köşegenler eşittir.

Deltoid: Köşegenler diktir; biri diğerini ortalar.

1. Özel Dörtgenler Arasındaki İlişki

Her kare → Dikdörtgendir. Her kare → Eşkenar dörtgendir. Her dikdörtgen → Paralelkenardır. Her eşkenar dörtgen → Paralelkenardır.

Ancak bu ilişkilerin tersleri her zaman doğru değildir.

1. Köşegenlerden Şekil Tanıma

Köşegenler birbirini ortalıyorsa → Paralelkenar ailesi

Köşegenler eşit ve birbirini ortalıyorsa → Dikdörtgen

Köşegenler dik ve birbirini ortalıyorsa → Eşkenar dörtgen

Köşegenler eşit, dik ve birbirini ortalıyorsa → Kare

1. Alan Formülleri

Paralelkenar: Alan=a·h

Dikdörtgen: Alan=a·b

Kare: Alan=a²=d²/2

Eşkenar dörtgen: Alan=d₁·d₂/2

Yamuk: Alan=(a+b)·h/2

Deltoid: Alan=d₁·d₂/2

1. Sık Karıştırılan Noktalar

• Dörtgenin iç açıları toplamı 360°'dir. • Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar ancak eşit olmak zorunda değildir. • Dikdörtgenin köşegenleri eşittir. • Eşkenar dörtgenin köşegenleri diktir. • Karenin köşegenleri hem eşit hem diktir. • Her kare dikdörtgendir ancak her dikdörtgen kare değildir. • Her kare eşkenar dörtgendir ancak her eşkenar dörtgen kare değildir. • İkizkenar yamuğun köşegenleri eşittir. • Deltoidde köşegenlerden yalnız biri diğerini ortalar. • Yamukta orta taban paralel kenarların aritmetik ortalamasıdır.

Dörtgenler ve Özel Dörtgenler Kısa Özeti

Dörtgen: İç açı toplamı=360°

Paralelkenar: Karşılıklı kenarlar eşit ve paralel Köşegenler birbirini ortalar Alan=a·h

Dikdörtgen: Tüm açılar 90° Köşegenler eşit ve birbirini ortalar Alan=a·b

Kare: Tüm kenarlar eşit Tüm açılar 90° Köşegenler eşit, dik ve birbirini ortalar d=a√2 Alan=a²=d²/2

Eşkenar dörtgen: Tüm kenarlar eşit Köşegenler dik ve birbirini ortalar Alan=d₁·d₂/2

Yamuk: En az bir çift karşılıklı kenar paralel Alan=(a+b)·h/2 Orta taban=(a+b)/2

İkizkenar yamuk: Yan kenarlar eşit Taban açıları eşit Köşegenler eşit

Deltoid: İkişer komşu kenar eşit Köşegenler dik Alan=d₁·d₂/2