TYT Geometri Dörtgenler ve Özel Dörtgenler Konu Anlatımı

Dörtgenler ve Özel Dörtgenler

Dörtgenler konusu; dört kenarlı şekillerin açı, kenar, köşegen ve alan özelliklerini inceler. TYT'de özellikle paralelkenar, dikdörtgen, kare, eşkenar dörtgen, yamuk ve deltoidin ayırt edici özellikleri önemlidir.

1. Dörtgen

Dört kenarlı çokgene dörtgen denir.

1. Dörtgende Dış Açılar

Her dışbükey çokgende olduğu gibi dörtgende de birer dış açının toplamı:

1. Dörtgenin Köşegenleri

Dörtgende karşılıklı olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına köşegen denir.

Bir dörtgende:

1. Paralelkenar

Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir.

ABCD paralelkenarında:

1. Paralelkenarda Kenarlar

Karşılıklı kenarlar eşittir.

1. Paralelkenarda Açılar

Karşılıklı açılar eşittir.

Komşu açılar bütünlerdir.

1. Paralelkenarda Köşegenler

Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar.

AC ve BD, O noktasında kesişiyorsa:

Köşegenlerin eşit olması gerekmez.

1. Paralelkenarda Alan

1. Paralelkenarda Köşegenlerin Alan Özelliği

Bir köşegen paralelkenarı iki eş alanlı üçgene böler.

İki köşegen birlikte çizildiğinde paralelkenar 4 eş alanlı üçgene ayrılır.

1. Paralelkenarı Tanıma

Bir dörtgende aşağıdaki durumlardan biri sağlanıyorsa paralelkenar olduğu sonucuna gidilebilir:

• Karşılıklı iki kenar çifti paralelse • Karşılıklı iki kenar çifti eşitse • Bir çift karşılıklı kenar hem eşit hem paralelse • Köşegenler birbirini ortalıyorsa

1. Dikdörtgen

Dört açısı da 90° olan paralelkenara dikdörtgen denir.

Dikdörtgen aynı zamanda bir paralelkenardır.

1. Dikdörtgende Kenarlar

Karşılıklı kenarlar eşit ve paraleldir.

1. Dikdörtgende Köşegenler

Dikdörtgenin köşegenleri:

• Birbirini ortalar. • Birbirine eşittir.

1. Dikdörtgende Köşegen Uzunluğu

Kenarlar a ve b ise köşegen:

1. Dikdörtgende Alan ve Çevre

1. Dikdörtgenin Köşegenlerinin Kesişim Noktası

Köşegenlerin kesişim noktası dört köşeye eşit uzaklıktadır.

1. Kare

Bütün kenarları eşit ve bütün açıları 90° olan dörtgene kare denir.

Kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir.

1. Karede Köşegenler

Karenin köşegenleri:

• Eşittir. • Birbirini ortalar. • Birbirine diktir. • Köşe açılarını iki eşit parçaya böler.

1. Karede Köşegen Uzunluğu

Kenar uzunluğu a ise:

1. Karede Alan

Kenar a ise:

Köşegen d ise:

1. Karenin Çevresi

1. Eşkenar Dörtgen

Bütün kenarları eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir.

1. Eşkenar Dörtgende Açılar

Karşılıklı açılar eşittir.

Komşu açılar bütünlerdir.

1. Eşkenar Dörtgende Köşegenler

Köşegenler:

• Birbirini ortalar. • Birbirine diktir. • Köşe açılarını iki eşit parçaya böler.

Ancak köşegenlerin birbirine eşit olması gerekmez.

1. Eşkenar Dörtgende Alan

Kenar ve yükseklik biliniyorsa:

Alan=Taban×Yükseklik

Köşegenler d₁ ve d₂ ise:

1. Kare – Eşkenar Dörtgen Farkı

Her kare eşkenar dörtgendir.

Ancak her eşkenar dörtgen kare değildir.

1. Yamuk

En az bir çift karşılıklı kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir.

ABCD yamuğunda:

Paralel kenarlara taban denir.

1. Yamukta Aynı Yan Kenardaki Açılar

Paralel tabanlar nedeniyle aynı yan kenar üzerindeki komşu açılar bütünlerdir.

1. Yamukta Alan

Alt ve üst taban uzunlukları a ve b, yükseklik h ise:

1. Yamukta Orta Taban

Yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir.

Orta taban paralel tabanlara paraleldir.

1. Yamuk Alanında Orta Taban

Yamuğun alanı:

Çünkü orta taban=(a+b)/2'dir.

1. İkizkenar Yamuk

Yan kenarları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir.

1. İkizkenar Yamukta Açılar

Aynı tabana ait açılar eşittir.

1. İkizkenar Yamukta Köşegenler

İkizkenar yamuğun köşegenleri eşittir.

Ancak birbirlerini ortalamaları gerekmez.

1. Dik Yamuk

Yan kenarlardan biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir.

Dik yamukta iki açı 90°'dir.

1. Deltoid

İkişer komşu kenarı kendi arasında eşit olan dörtgene deltoid denir.

Örneğin:

1. Deltoidde Köşegenler

Deltoidin köşegenleri birbirine diktir.

Simetri ekseni olan köşegen diğer köşegeni ortalar.

1. Deltoidde Açı

Eş olmayan kenarların birleştiği karşılıklı açılar birbirine eşittir.

AB=AD ve CB=CD ise:

1. Deltoidde Alan

Köşegenler d₁ ve d₂ ise:

1. Paralelkenar – Dikdörtgen – Kare İlişkisi

Ancak tersleri her zaman doğru değildir.

1. Paralelkenar – Eşkenar Dörtgen – Kare İlişkisi

Ancak her eşkenar dörtgen kare değildir.

1. Köşegen Özelliklerini Karşılaştırma

1. Köşegenden Şekil Tanıma

1. Paralelkenarda Alan Oranı

Bir köşegen paralelkenarı iki eş alanlı üçgene ayırır.

İki köşegen çizildiğinde:

1. Dikdörtgende Alan ve Köşegen

Kenarlar a ve b ise:

Alan=a·b d²=a²+b²

1. Karede Köşegenden Kenar Bulma

d=a√2 olduğundan:

1. Eşkenar Dörtgende Köşegenlerden Kenar Bulma

Köşegenler birbirini dik ve ortalayarak dört dik üçgen oluşturur.

Köşegenler d₁ ve d₂ ise kenar:

1. Yamukta Orta Taban Soruları

1. Yamukta Yükseklik Bulma

1. Dörtgende Eksik Açı

1. Paralelkenarda Eksik Açı

1. Dikdörtgen ile Eşkenar Dörtgenin Ortak Özellikleri

İkisi de paralelkenar olduğundan:

• Karşılıklı kenarları paraleldir. • Karşılıklı kenarları eşittir. • Karşılıklı açıları eşittir. • Köşegenleri birbirini ortalar.

1. Karenin Özel Konumu

Kare:

• Paralelkenarın • Dikdörtgenin • Eşkenar dörtgenin

bütün temel özelliklerini taşır.

1. Alan Formülleri Özeti

1. Şeklin Görünüşüne Güvenme

Bir dörtgen kare, dikdörtgen veya paralelkenar gibi görünse bile verilen özellikler kontrol edilmelidir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Dörtgenin iç açıları toplamı 360°'dir. • Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar ancak eşit olmak zorunda değildir. • Dikdörtgende köşegenler eşittir ve birbirini ortalar. • Eşkenar dörtgende köşegenler diktir ve birbirini ortalar. • Karede köşegenler eşit, dik ve birbirini ortalar. • Her kare dikdörtgendir ancak her dikdörtgen kare değildir. • Her kare eşkenar dörtgendir ancak her eşkenar dörtgen kare değildir. • İkizkenar yamuğun köşegenleri eşittir. • Yamuğun orta tabanı paralel kenarların aritmetik ortalamasıdır. • Deltoidde köşegenler diktir ancak yalnız simetri köşegeni diğer köşegeni ortalar.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Önce şeklin hangi özel dörtgen olduğunu belirle.
2. Karşılıklı ve komşu açı ilişkilerini yaz.
3. Köşegen verilmişse şekle özgü köşegen özelliklerini kullan.
4. Alan sorularında uygun taban ve yüksekliği belirle.
5. Kare, eşkenar dörtgen ve deltoidde köşegenlerden alan formülünü kontrol et.
6. Yamukta orta taban varsa alanı doğrudan orta taban×yükseklik ile hesaplayabilirsin.
7. Özel dörtgenlerin birbirleriyle olan ilişkilerini kullanarak ek özellikler çıkar.

Konu Özeti

Dörtgen: İç açı toplamı=360°

Paralelkenar: Karşılıklı kenarlar eşit ve paralel Karşılıklı açılar eşit Köşegenler birbirini ortalar Alan=a·h

Dikdörtgen: Tüm açılar 90° Köşegenler eşit ve birbirini ortalar Alan=a·b

Kare: Tüm kenarlar eşit Tüm açılar 90° Köşegenler eşit, dik ve birbirini ortalar Alan=a²=d²/2

Eşkenar dörtgen: Tüm kenarlar eşit Köşegenler dik ve birbirini ortalar Alan=d₁·d₂/2

Yamuk: En az bir çift karşılıklı kenar paralel Alan=(a+b)·h/2 Orta taban=(a+b)/2

İkizkenar yamuk: Yan kenarlar eşit Taban açıları eşit Köşegenler eşit

Deltoid: İkişer komşu kenar eşit Köşegenler dik Alan=d₁·d₂/2