TYT Geometri Katı Cisimler Ders Notu

Katı Cisimler Ders Notu

Katı cisimler; uzunluk, genişlik ve yüksekliğe sahip üç boyutlu geometrik şekillerdir. TYT'de prizma, küp, silindir, piramit, koni ve kürede hacim ve yüzey alanı hesapları önemlidir.

1. Temel Kavramlar

Katı cisimlerde üç temel büyüklük kullanılır:

Uzunluk → birim Alan → birim² Hacim → birim³

1 dm³ = 1 litre 1 cm³ = 1 mL

1. Prizma

Alt ve üst tabanları eş ve paralel olan katı cisme prizma denir.

Prizmanın hacmi:

V=Taban alanı·Yükseklik

Örnek:

Taban alanı 24 cm², yüksekliği 5 cm ise:

V=24·5=120 cm³

1. Dik Prizmada Yanal Alan

Dik prizmanın yan yüzleri dikdörtgendir.

Yanal alan:

Taban çevresi·Yükseklik

Toplam yüzey alanı:

2·Taban alanı + Yanal alan

1. Dikdörtgenler Prizması

Kenarları a, b ve c ise:

Hacim:

V=abc

Toplam yüzey alanı:

A=2(ab+ac+bc)

Örnek:

a=2, b=3, c=4

V=24

A=2(6+8+12)=52

1. Dikdörtgenler Prizmasında Cisim Köşegeni

Bir köşeden karşı köşeye çizilen doğru parçasıdır.

d=√(a²+b²+c²)

Örnek:

Kenarlar 3, 4 ve 12 ise:

d=√(9+16+144)=13

1. Yüz Köşegeni

a ve b kenarlı dikdörtgen yüzün köşegeni:

d=√(a²+b²)

Yüz köşegeni ile cisim köşegeni karıştırılmamalıdır.

1. Dikdörtgenler Prizmasında Toplam Ayrıt

a, b ve c uzunluklarından dörder tane vardır.

Toplam ayrıt uzunluğu:

4(a+b+c)

1. Küp

Bütün yüzleri kare, bütün ayrıtları eşittir.

Küpün:

6 yüzü 12 ayrıtı 8 köşesi

vardır.

1. Küpün Hacmi

Kenar uzunluğu a ise:

V=a³

Örnek:

a=4 ise:

V=64

1. Küpün Yüzey Alanı

A=6a²

Örnek:

a=5 ise:

A=150

1. Küpün Köşegenleri

Yüz köşegeni:

a√2

Cisim köşegeni:

a√3

Örnek:

a=6 ise cisim köşegeni:

6√3

1. Küpün Toplam Ayrıt Uzunluğu

Toplam 12 ayrıt vardır.

Toplam ayrıt=12a

1. Silindir

İki eş ve paralel dairesel tabanı bulunan katı cisimdir.

r → Yarıçap h → Yükseklik

1. Silindirin Hacmi

Taban alanı πr² olduğundan:

V=πr²h

Örnek:

r=3, h=5

V=45π

1. Silindirin Yanal Alanı

Yanal alan:

2πrh

Silindirin yan yüzü açıldığında kenarları 2πr ve h olan bir dikdörtgen oluşur.

1. Silindirin Toplam Yüzey Alanı

İki taban ve yan yüz birlikte alınır.

A=2πr²+2πrh

veya:

A=2πr(r+h)

1. Piramit

Bir çokgensel taban ve bu tabanın dışındaki bir tepe noktasından oluşur.

Piramit adı tabanına göre verilir.

1. Piramidin Hacmi

V=Taban alanı·Yükseklik/3

Örnek:

Taban alanı 36, yüksekliği 10 ise:

V=36·10/3=120

1. Prizma – Piramit İlişkisi

Aynı taban alanına ve aynı yüksekliğe sahip prizma ve piramitte:

Piramit hacmi=Prizma hacminin 1/3'ü

1. Kare Piramit

Taban kenarı a, yüksekliği h ise:

Taban alanı=a²

Hacim:

V=a²h/3

1. Piramitte Yükseklik

Tepe noktasından taban düzlemine indirilen dik uzaklıktır.

Hacim formülünde kullanılan yükseklik bu dik uzaklıktır.

Yan ayrıt ile yükseklik aynı şey değildir.

1. Koni

Dairesel tabanı ve bir tepe noktası bulunan katı cisimdir.

r → Yarıçap h → Yükseklik l → Ana doğru

1. Koninin Hacmi

V=πr²h/3

Örnek:

r=3, h=12

V=36π

1. Silindir – Koni İlişkisi

Aynı yarıçap ve yüksekliğe sahip silindir ve konide:

Koni hacmi=Silindir hacminin 1/3'ü

1. Konide Ana Doğru

Dik konide:

l²=r²+h²

Örnek:

r=5, h=12 ise:

l=13

1. Koninin Yanal Alanı

Yanal alan:

πrl

1. Koninin Toplam Yüzey Alanı

A=πr²+πrl

veya:

A=πr(r+l)

1. Küre

Merkezden eşit uzaklıktaki noktaların uzayda oluşturduğu yüzeydir.

Yarıçap r ile gösterilir.

1. Kürenin Hacmi

V=4πr³/3

Örnek:

r=3 ise:

V=36π

1. Kürenin Yüzey Alanı

A=4πr²

Örnek:

r=5 ise:

A=100π

1. Yarım Küre

Yarım kürenin hacmi:

V=2πr³/3

Yalnız eğri yüzey alanı:

2πr²

Taban dahil toplam yüzey alanı:

3πr²

1. Benzer Katı Cisimler

Uzunluk oranı k ise:

Alan oranı=k²

Hacim oranı=k³

Örnek:

Uzunluk oranı 2 ise:

Alan oranı=4

Hacim oranı=8

1. Ölçek Değişimi

Bir cismin bütün uzunlukları 3 katına çıkarılırsa:

Uzunluk → 3 kat Alan → 9 kat Hacim → 27 kat

1. Silindirde Yarıçap Değişimi

V=πr²h olduğundan yükseklik sabitken yarıçap 2 katına çıkarsa:

Hacim 4 katına çıkar.

Yanal alan=2πrh olduğundan:

Yanal alan 2 katına çıkar.

1. Kürede Yarıçap Değişimi

Yarıçap 2 katına çıkarsa:

Yüzey alanı 4 katına çıkar.

Hacim 8 katına çıkar.

1. Sıvı Aktarma Soruları

Sıvı kaybı yoksa hacim korunur.

İlk hacim=Son hacim

Örnek:

r=2, h=12 olan dolu silindirin sıvısı r=4 olan silindire aktarılıyor.

İlk hacim:

π·2²·12=48π

Yeni kap:

π·4²·h=48π

16h=48

h=3

1. Eritme Soruları

Bir katı eritilip başka bir şekle dönüştürülüyorsa madde kaybı yoksa:

İlk hacim=Son hacim

Küp eritilip silindir yapılırsa:

Küp hacmi=Silindir hacmi

1. Kesme ve Parçalama

Bir cisim parçalara ayrıldığında toplam hacim değişmez.

Ancak yeni yüzeyler oluştuğu için toplam yüzey alanı artabilir.

1. Küçük Küplere Ayırma

Büyük bir dikdörtgenler prizması eş küplere ayrılıyorsa:

Küp sayısı=Büyük cismin hacmi/Küçük küpün hacmi

Küçük küpün ayrıtı k ise:

Küp sayısı=(a/k)·(b/k)·(c/k)

1. Büyük Küp Oluşturma

Bir ayrıt boyunca n küçük küp kullanılırsa:

Toplam küçük küp sayısı=n³

Örnek:

Bir ayrıt boyunca 4 küp varsa:

Toplam=4³=64

1. Prizma – Silindir Ortaklığı

Her ikisinde de:

Hacim=Taban alanı·Yükseklik

Silindirde taban alanı πr² olduğundan:

V=πr²h

1. Piramit – Koni Ortaklığı

Her ikisinde de:

Hacim=Taban alanı·Yükseklik/3

Konide taban alanı πr² olduğundan:

V=πr²h/3

1. Temel Formüller

Dikdörtgenler prizması:

V=abc

A=2(ab+ac+bc)

Cisim köşegeni=√(a²+b²+c²)

Toplam ayrıt=4(a+b+c)

Küp:

V=a³

A=6a²

Yüz köşegeni=a√2

Cisim köşegeni=a√3

Toplam ayrıt=12a

Silindir:

V=πr²h

Yanal alan=2πrh

Toplam alan=2πr(r+h)

Piramit:

V=Taban alanı·h/3

Koni:

V=πr²h/3

l²=r²+h²

Yanal alan=πrl

Toplam alan=πr(r+l)

Küre:

V=4πr³/3

A=4πr²

Yarım küre:

V=2πr³/3

Eğri yüzey=2πr²

Toplam yüzey=3πr²

Sık Karıştırılan Noktalar

• Prizma ve silindirde hacim, taban alanı×yüksekliktir. • Piramit ve konide 1/3 çarpanı unutulmamalıdır. • Küpün yüz köşegeni a√2, cisim köşegeni a√3'tür. • Dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni √(a²+b²+c²)'dir. • Konide yükseklik ile ana doğru aynı değildir. • Silindirin yanal alanı ile toplam yüzey alanı farklıdır. • Yarım kürenin toplam yüzey alanında taban alanı da hesaba katılır. • Benzer cisimlerde alan oranı k², hacim oranı k³'tür. • Sıvı aktarma ve eritme sorularında hacim korunur. • Kesme işlemi hacmi değiştirmez ancak yüzey alanını artırabilir. • Alan birim², hacim birim³ ile ifade edilir.

Katı Cisimler Kısa Özeti

Prizma: V=Taban alanı·h

Dikdörtgenler prizması: V=abc A=2(ab+ac+bc) d=√(a²+b²+c²)

Küp: V=a³ A=6a² Yüz köşegeni=a√2 Cisim köşegeni=a√3

Silindir: V=πr²h Yanal alan=2πrh Toplam alan=2πr(r+h)

Piramit: V=Taban alanı·h/3

Koni: V=πr²h/3 l²=r²+h² Yanal alan=πrl Toplam alan=πr(r+l)

Küre: V=4πr³/3 A=4πr²

Benzer cisimler: Uzunluk=k Alan=k² Hacim=k³

Sıvı aktarma ve eritme: İlk hacim=Son hacim