TYT Geometri Katı Cisimler Konu Anlatımı

Katı Cisimler

Katı cisimler; üç boyutlu geometrik şekillerin uzunluk, yüzey alanı ve hacim özelliklerini inceler. TYT'de özellikle prizma, küp, silindir, piramit, koni ve küre soruları önemlidir.

1. Katı Cisim Nedir?

Uzunluk, genişlik ve yüksekliğe sahip üç boyutlu geometrik şekillere katı cisim denir.

1. Hacim Birimleri

Hacim üç boyutlu bir büyüklüktür.

1. Prizma

Alt ve üst tabanları birbirine eş ve paralel olan katı cisme prizma denir.

Prizmanın adı tabanındaki çokgene göre belirlenir.

Üçgen prizma Dörtgen prizma Beşgen prizma

gibi.

1. Prizmanın Hacmi

1. Dik Prizma

Yan ayrıtları tabanlara dik olan prizmaya dik prizma denir.

Dik prizmada yan yüzler dikdörtgendir.

1. Dik Prizmanın Yanal Alanı

1. Dik Prizmanın Toplam Yüzey Alanı

1. Dikdörtgenler Prizması

Kenar uzunlukları a, b ve c olan dikdörtgenler prizmasında:

1. Dikdörtgenler Prizmasının Yüzey Alanı

Karşılıklı yüzler eş olduğundan:

1. Dikdörtgenler Prizmasının Cisim Köşegeni

Bir köşeden karşı köşeye çizilen doğru parçasına cisim köşegeni denir.

1. Dikdörtgenler Prizmasında Yüz Köşegeni

a ve b kenarlı bir yüzün köşegeni:

Bu değer cisim köşegeniyle karıştırılmamalıdır.

1. Küp

Bütün yüzleri kare ve bütün ayrıtları eş olan prizmaya küp denir.

Küpün:

6 yüzü 12 ayrıtı 8 köşesi

vardır.

1. Küpün Hacmi

Kenar uzunluğu a ise:

1. Küpün Yüzey Alanı

Her yüz a² alanlı kare olduğundan:

1. Küpün Yüz Köşegeni

1. Küpün Cisim Köşegeni

1. Küpte Ayrıt Toplamı

Küpün 12 ayrıtı vardır.

1. Silindir

Birbirine eş ve paralel iki dairesel tabanı bulunan cisme silindir denir.

Silindirde:

r → taban yarıçapı h → yükseklik

1. Silindirin Hacmi

Taban alanı πr² olduğundan:

1. Silindirin Yanal Alanı

Silindirin yan yüzü açıldığında bir dikdörtgen oluşur.

Dikdörtgenin bir kenarı:

Taban çevresi=2πr

diğer kenarı:

h

olur.

1. Silindirin Toplam Yüzey Alanı

İki taban ve yan yüz birlikte alınır.

Ortak çarpan alınırsa:

1. Silindir Açınımı

Silindir açıldığında:

2 daire 1 dikdörtgen

oluşur.

1. Piramit

Bir çokgensel taban ile bu tabanın dışındaki bir noktanın birleştirilmesiyle oluşan cisme piramit denir.

Piramit adı tabanına göre belirlenir.

Üçgen piramit Kare piramit Beşgen piramit

gibi.

1. Piramidin Hacmi

1. Prizma – Piramit Hacim İlişkisi

Aynı taban alanına ve aynı yüksekliğe sahip bir prizma ile piramit karşılaştırılırsa:

1. Kare Piramit

Tabanı kare olan piramittir.

Kare taban kenarı a ise taban alanı:

a²

olur.

1. Piramitte Yükseklik

Piramidin tepe noktasından taban düzlemine indirilen dik uzaklığa yükseklik denir.

Eğik yan ayrıt, yükseklik değildir.

1. Koni

Dairesel bir taban ile taban dışında bulunan bir tepe noktasından oluşan katı cisme koni denir.

Konide:

r → taban yarıçapı h → yükseklik l → ana doğru

1. Koninin Hacmi

1. Silindir – Koni Hacim İlişkisi

Aynı taban yarıçapına ve aynı yüksekliğe sahip silindir ve konide:

1. Konide Ana Doğru

Dik konide yarıçap, yükseklik ve ana doğru bir dik üçgen oluşturur.

1. Koninin Yanal Alanı

1. Koninin Toplam Yüzey Alanı

Taban alanı ile yanal alan toplanır.

Ortak çarpanla:

1. Küre

Merkezden eşit uzaklıktaki noktaların uzayda oluşturduğu yüzeye küre denir.

Yarıçap r ile gösterilir.

1. Kürenin Hacmi

1. Kürenin Yüzey Alanı

1. Yarım Küre

Yarım kürenin yalnız eğri yüzey alanı:

Taban da dahil toplam yüzey alanı:

1. Yarım Kürenin Hacmi

Kürenin hacminin yarısıdır.

1. Hacim Oranları

Benzer katı cisimlerde uzunluk oranı k ise:

1. Ölçek Değişimi

Bir katı cismin bütün uzunlukları 2 katına çıkarılırsa:

1. Küpte Ölçek Değişimi

1. Silindirde Yarıçap Değişimi

Yükseklik sabitken yarıçap 2 katına çıkarsa:

V=πr²h olduğundan:

Yanal alan=2πrh olduğundan:

1. Silindirde Yükseklik Değişimi

Yarıçap sabitken yükseklik 3 katına çıkarsa:

1. Kürede Yarıçap Değişimi

Yarıçap 2 katına çıkarsa:

1. Sıvı Aktarma Soruları

Bir kaptaki sıvı başka kaba aktarılıyorsa sıvı kaybı yoksa hacim korunur.

1. Silindirden Silindire Sıvı Aktarma

1. Prizmada Sıvı Yüksekliği

Dik prizmalarda taban alanı sabitse:

Bu nedenle aynı kapta hacim ile sıvı yüksekliği doğru orantılıdır.

1. Kesme ve Parçalama Soruları

Bir katı cisim parçalara ayrıldığında:

Ancak yeni yüzeyler oluştuğu için:

1. Eritme Soruları

Bir katı eritilip başka bir şekle dönüştürülüyorsa madde kaybı yoksa:

1. Küp Sayısı Soruları

Büyük bir dikdörtgenler prizması eş küçük küplere ayrılıyorsa:

Kenarlar tam bölünüyorsa:

Burada k küçük küpün ayrıtıdır.

1. Küp Oluşturma Soruları

Küçük küpler birleştirilerek büyük küp yapılacaksa toplam küçük küp sayısı:

biçimindedir.

1. Yüzey Alanı – Hacim Ayrımı

Sorunun alan mı hacim mi istediğine dikkat edilmelidir.

1. Açınım Soruları

Bir katı cismin yüzeyleri düzleme açıldığında oluşan şekle açınım denir.

Küpün açınımında:

6 kare

bulunur.

Silindirin açınımında:

2 daire + 1 dikdörtgen

bulunur.

1. Küp Açınımı

Her 6 kareden oluşan şekil küp açınımı değildir.

1. Dikdörtgenler Prizmasında Toplam Ayrıt Uzunluğu

a, b ve c uzunluklarından dörder tane bulunur.

1. Prizma – Silindir Ortak Mantığı

Her ikisinde de hacim:

şeklindedir.

Silindirde taban alanı πr² olduğu için:

V=πr²h

elde edilir.

1. Piramit – Koni Ortak Mantığı

Her ikisinde de hacim:

şeklindedir.

1. En Sık Kullanılan Formüller

Sık Karıştırılan Noktalar

• Prizma hacmi=Taban alanı×Yükseklik. • Piramit hacminde 1/3 çarpanı vardır. • Silindir hacmi=πr²h. • Koni hacminde 1/3 çarpanı vardır. • Küpün yüz köşegeni a√2, cisim köşegeni a√3'tür. • Dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni √(a²+b²+c²)'dir. • Silindirin yanal alanı 2πrh, toplam alanı 2πr²+2πrh'dir. • Konide yükseklik ile ana doğru aynı değildir. • Kürenin alanı 4πr², hacmi 4πr³/3'tür. • Yarım kürenin toplam alanında taban da hesaba katılır. • Benzer cisimlerde alan oranı k², hacim oranı k³'tür. • Kesme ve parçalama hacmi değiştirmez ancak yüzey alanını değiştirebilir. • Eritme ve sıvı aktarma sorularında hacim korunur.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Önce verilen cismin tabanını belirle.
2. Hacimde taban alanını ayrı hesapla.
3. Soruda yalnız yan alan mı yoksa toplam alan mı istendiğini kontrol et.
4. Çap verilmişse önce r=d/2 dönüşümünü yap.
5. Cisim köşegeninde üç boyutu birlikte kullan.
6. Koni sorularında r, h ve l arasında Pisagor kontrolü yap.
7. Sıvı ve eritme sorularında ilk hacim ile son hacmi eşitle.
8. Ölçek sorularında uzunluk, alan ve hacim oranlarını ayrı düşün.

Konu Özeti

Dikdörtgenler Prizması: V=abc A=2(ab+ac+bc) d=√(a²+b²+c²)

Küp: V=a³ A=6a² Yüz köşegeni=a√2 Cisim köşegeni=a√3 Toplam ayrıt=12a

Silindir: V=πr²h Yanal alan=2πrh Toplam alan=2πr(r+h)

Piramit: V=Taban alanı·h/3

Koni: V=πr²h/3 l²=r²+h² Yanal alan=πrl Toplam alan=πr(r+l)

Küre: V=4πr³/3 A=4πr²

Yarım küre: V=2πr³/3 Eğri yüzey=2πr² Toplam yüzey=3πr²

Benzer cisimler: Uzunluk oranı=k Alan oranı=k² Hacim oranı=k³