TYT Geometri Üçgende Eşlik ve Benzerlik Ders Notu

Üçgende Eşlik ve Benzerlik Ders Notu

Üçgende Eşlik ve Benzerlik konusu; üçgenlerin şekil, büyüklük ve oran ilişkilerini inceler. TYT'de özellikle eşlik koşulları, benzerlik oranı, paralel doğrularla oluşan benzerlik ve alan-çevre ilişkileri önemlidir.

1. Eş Üçgenler

Karşılıklı kenarları ve karşılıklı açıları eşit olan üçgenlere eş üçgenler denir.

ABC ≅ DEF ise:

A=D B=E C=F

AB=DE BC=EF AC=DF

1. Eşlikte Sıralama

ABC ≅ DEF yazımında:

A ↔ D B ↔ E C ↔ F

eşleşmesi vardır.

Karşılıklı kenarlar bu sıraya göre belirlenir.

1. KKK Eşliği

İki üçgenin karşılıklı üç kenarı eşitse üçgenler eştir.

AB=DE BC=EF AC=DF

ise:

ABC ≅ DEF

1. KAK Eşliği

İki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı eşitse üçgenler eştir.

AB=DE AC=DF A=D

ise üçgenler eştir.

1. AKA Eşliği

İki açı ve bu açıların arasındaki kenar eşitse üçgenler eştir.

Eşlik koşulları kısa özet:

KKK → Üç kenar KAK → İki kenar + aradaki açı AKA → İki açı + aradaki kenar

1. Eş Üçgenlerde Çevre ve Alan

Eş üçgenlerin:

Karşılıklı kenarları eşit Karşılıklı açıları eşit Çevreleri eşit Alanları eşittir.

1. Benzer Üçgenler

Karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir.

ABC ~ DEF ise:

A=D B=E C=F

ve:

AB/DE = BC/EF = AC/DF

1. Benzerlik Oranı

Karşılıklı kenarlar arasındaki sabit orana benzerlik oranı denir.

AB/DE = BC/EF = AC/DF = k

Buradaki k benzerlik oranıdır.

1. AA Benzerliği

İki üçgende iki karşılıklı açı eşitse üçgenler benzerdir.

Çünkü üçüncü açılar da otomatik olarak eşit olur.

Örnek: A=D=40° B=E=60°

ise C=F=80° ve üçgenler benzerdir.

1. KKK Benzerliği

Karşılıklı üç kenar aynı orandaysa üçgenler benzerdir.

AB/DE = BC/EF = AC/DF

Örnek: 3-4-5 ve 6-8-10 üçgenleri benzerdir.

Benzerlik oranı 1:2'dir.

1. KAK Benzerliği

İki çift karşılıklı kenar orantılı ve aralarındaki açı eşitse üçgenler benzerdir.

AB/DE = AC/DF ve A=D

ise üçgenler benzerdir.

1. Eşlik ve Benzerlik Farkı

Eşlik: Şekil ve büyüklük aynıdır. Benzerlik: Şekil aynıdır, büyüklük farklı olabilir.

Eş üçgenlerde benzerlik oranı 1'dir.

Her eş üçgen benzerdir. Her benzer üçgen eş değildir.

1. Benzerlikten Kenar Bulma

ABC ~ DEF ve benzerlik oranı 2:3 olsun.

AB=8 ise:

8/DE = 2/3

DE=12

1. Benzerlikte Çevre Oranı

Benzer üçgenlerde çevre oranı benzerlik oranına eşittir.

Benzerlik oranı 2:3 ise:

Çevre oranı = 2:3

1. Benzerlikte Alan Oranı

Benzer üçgenlerde alan oranı benzerlik oranının karesidir.

Benzerlik oranı k ise:

Alan oranı = k²

Örnek: Benzerlik oranı 2:3 ise alan oranı 4:9'dur.

1. Alan Oranından Benzerlik Oranı

Alan oranı biliniyorsa karekök alınır.

Örnek: Alan oranı 25:49 ise:

Benzerlik oranı 5:7'dir.

1. Çevre Soruları

Benzerlik oranı 3:5 ve küçük üçgenin çevresi 24 ise:

24/Büyük çevre = 3/5

Büyük çevre=40

1. Alan Soruları

Benzerlik oranı 3:4 ve küçük üçgenin alanı 27 ise:

Alan oranı=9:16

27/Büyük alan = 9/16

Büyük alan=48

1. Paralel Doğru ile Benzerlik

ABC üçgeninde D, AB üzerinde; E, AC üzerinde ve DE ∥ BC ise:

ADE ~ ABC

Bu durumda:

AD/AB = AE/AC = DE/BC

1. Temel Orantı Teoremi

DE ∥ BC ise üçgenin iki kenarı aynı oranda bölünür.

AD/DB = AE/EC

Örnek: AD=4, DB=6, AE=8 ise:

4/6 = 8/EC

EC=12

1. Ters Temel Orantı

Bir üçgende iki kenar aynı oranda bölünmüşse bu noktaları birleştiren doğru üçüncü kenara paraleldir.

AD/DB = AE/EC ise:

DE ∥ BC

1. Ortataban

Bir üçgende iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçasına ortataban denir.

D ve E orta nokta ise:

DE ∥ BC DE = BC/2

1. Ortatabanda Benzerlik

Ortatabanla oluşan küçük üçgen büyük üçgene benzerdir.

Benzerlik oranı:

1:2

Alan oranı:

1:4

Örnek: ABC'nin alanı 80 ise ortatabanla oluşan küçük üçgenin alanı 20'dir.

1. Benzerlikte Yükseklik

Benzer üçgenlerde karşılıklı yüksekliklerin oranı da benzerlik oranına eşittir.

Yükseklik oranı = k

1. Benzerlikte Kenarortay

Karşılıklı kenarortayların oranı benzerlik oranına eşittir.

Kenarortay oranı = k

1. Benzerlikte Açıortay

Karşılıklı açıortay uzunluklarının oranı da benzerlik oranına eşittir.

Açıortay oranı = k

1. Benzerlikte Oran Özeti

Benzerlik oranı k ise:

Kenar oranı = k Çevre oranı = k Yükseklik oranı = k Kenarortay oranı = k Açıortay oranı = k Alan oranı = k²

1. Ortak Kenar ve Eşlik

İki üçgende ortak kullanılan kenar kendisine eşittir.

Bu özellik eşlik sorularında sık kullanılır.

Örnek: ABD ve ACD üçgenlerinde AD ortak kenardır.

AD=AD

1. Açıortay ve Eşlik

AD açıortay ise:

∠BAD=∠DAC

AB=AC ve AD ortaksa:

ABD ile ACD üçgenleri KAK ile eştir.

1. Eşlikten Uzunluk Bulma

İki üçgenin eş olduğu gösterilirse karşılıklı kenarlar eşitlenir.

ABD ≅ ACD ise:

BD=DC AB=AC

1. Benzerlikte Denklem

Karşılıklı kenarlar doğru eşleştirilir.

Örnek:

x/12 = 5/8

8x=60

x=7,5

1. Oran Kurarken Dikkat

Bir oran küçük:büyük şeklinde başladıysa diğer oranlar da aynı sırayla kurulmalıdır.

Küçük:Büyük = 2:3 ise:

Alan oranı = 4:9

Büyük:Küçük kullanılırsa oran 3:2 olur.

1. Paralellik Bilgisi

Şekilde iki doğru paralel görünüyor diye paralel kabul edilmez.

Paralellik verilmiş veya geometrik olarak kanıtlanmış olmalıdır.

1. Şeklin Yönü Önemli Değildir

Üçgenler döndürülmüş veya ters çizilmiş olabilir.

Eşlik ve benzerlik için önemli olan karşılıklı açı ve kenar ilişkileridir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Eş üçgenlerde karşılıklı kenar ve açılar eşittir. • Eşlikte yazım sırası önemlidir. • Her eş üçgen benzerdir. • Her benzer üçgen eş değildir. • Benzerlikte karşılıklı açılar eşittir. • Karşılıklı kenarlar orantılıdır. • Çevre oranı benzerlik oranına eşittir. • Alan oranı benzerlik oranının karesidir. • Paralel doğru üçgen içinde benzerlik oluşturabilir. • Ortataban üçüncü kenara paraleldir ve onun yarısıdır. • Alan oranından kenar oranına geçerken karekök alınır. • Benzerlikte oranlar aynı yönde kurulmalıdır.

Üçgende Eşlik ve Benzerlik Kısa Özeti

Eşlik koşulları: KKK KAK AKA

Benzerlik koşulları: AA KKK KAK

Benzerlik oranı: AB/DE = BC/EF = AC/DF = k

Çevre oranı: k Uzunluk oranı: k Alan oranı: k²

DE ∥ BC ise: ADE ~ ABC

Temel orantı: AD/DB = AE/EC

Ortataban: DE ∥ BC DE=BC/2 Benzerlik oranı=1:2 Alan oranı=1:4