TYT Geometri Üçgende Eşlik ve Benzerlik Konu Anlatımı

Üçgende Eşlik ve Benzerlik

Üçgende Eşlik ve Benzerlik konusu, üçgenlerin şekil ve büyüklük bakımından birbirleriyle nasıl ilişkilendirildiğini inceler. TYT'de özellikle eşlik koşulları, benzerlik oranı ve bu oranın çevre ile alan üzerindeki etkileri önemlidir.

1. Eş Üçgenler

Karşılıklı kenarları ve karşılıklı açıları eşit olan üçgenlere eş üçgenler denir.

ABC üçgeni ile DEF üçgeni eş ise:

Gösterim:

ABC ≅ DEF

1. Eşlikte Sıralama

Eşlik yazılırken köşelerin sırası önemlidir.

ABC ≅ DEF ise:

A ↔ D B ↔ E C ↔ F

olur.

1. Eşlik Koşulları

İki üçgenin bütün kenar ve açılarını tek tek kontrol etmek gerekmez.

Bazı temel bilgiler eşlik için yeterlidir.

Başlıca eşlik koşulları:

• Kenar-Kenar-Kenar • Kenar-Açı-Kenar • Açı-Kenar-Açı

1. Kenar-Kenar-Kenar Eşliği

İki üçgenin karşılıklı üç kenarı eşitse üçgenler eştir.

1. Kenar-Açı-Kenar Eşliği

İki üçgende iki kenar ve bu kenarlar arasındaki açı eşitse üçgenler eştir.

1. Açı-Kenar-Açı Eşliği

İki açı ve bu açıların arasındaki kenar eşitse üçgenler eştir.

1. Eş Üçgenlerde Çevre

Eş üçgenlerin bütün karşılıklı kenarları eşit olduğundan çevreleri de eşittir.

1. Eş Üçgenlerde Alan

Eş üçgenlerin taban ve yükseklikleri de karşılıklı olarak eşit olduğundan alanları eşittir.

1. Benzer Üçgenler

Karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir.

Gösterim:

ABC ~ DEF

1. Benzerlikte Sıralama

ABC ~ DEF ise:

A ↔ D B ↔ E C ↔ F

olur.

Bu nedenle:

AB/DE = BC/EF = AC/DF

1. Benzerlik Oranı

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar arasındaki sabit orana benzerlik oranı denir.

Buradaki k benzerlik oranıdır.

1. Benzerlik Oranından Kenar Bulma

1. Açı-Açı Benzerliği

İki üçgenin karşılıklı iki açısı eşitse üçüncü açıları da eşit olur.

Bu nedenle üçgenler benzerdir.

1. Kenar-Kenar-Kenar Benzerliği

Karşılıklı üç kenar aynı orandaysa üçgenler benzerdir.

1. Kenar-Açı-Kenar Benzerliği

İki çift karşılıklı kenar orantılı ve bu kenarların arasındaki açılar eşitse üçgenler benzerdir.

1. Benzerlik ile Eşlik Arasındaki Fark

Eşlikte şekil ve büyüklük aynıdır.

Benzerlikte şekil aynıdır ancak büyüklük farklı olabilir.

1. Her Eş Üçgen Benzer midir?

Evet.

Eş üçgenlerde karşılıklı kenar oranları:

1:1

olduğundan eş üçgenler aynı zamanda benzerdir.

1. Benzer Üçgenlerde Çevre Oranı

Çevreler karşılıklı kenarlarla aynı oranda değişir.

Benzerlik oranı k ise:

1. Benzer Üçgenlerde Alan Oranı

Alanlar benzerlik oranının karesiyle değişir.

Benzerlik oranı k ise:

1. Alan Oranından Benzerlik Oranı

Alan oranı biliniyorsa benzerlik oranı karekök alınarak bulunur.

1. Benzerlik ve Çevre Soruları

1. Benzerlik ve Alan Soruları

1. Paralel Doğru ile Oluşan Benzerlik

Bir üçgende bir kenara paralel doğru çizildiğinde daha küçük bir benzer üçgen oluşur.

ABC üçgeninde D, AB üzerinde; E, AC üzerinde ve DE ∥ BC olsun.

Buna göre:

AD/AB = AE/AC = DE/BC

1. Paralel Doğruda Parça Oranları

DE ∥ BC ise:

AD/DB = AE/EC

ilişkisi de kullanılabilir.

1. Temel Orantı Teoremi

Bir üçgende bir kenara paralel çizilen doğru, diğer iki kenarı aynı oranda böler.

ABC üçgeninde DE ∥ BC ise:

Bu ilişki Thales veya temel orantı teoremi olarak da kullanılır.

1. Ters Temel Orantı

Bir üçgende iki kenar aynı oranda bölünmüşse bu noktaları birleştiren doğru üçüncü kenara paraleldir.

1. Ortataban

Bir üçgende iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçasına ortataban denir.

D, AB'nin; E, AC'nin orta noktası olsun.

1. Ortatabanda Benzerlik

D ve E orta nokta olduğundan:

AD/AB = AE/AC = 1/2

Bu nedenle:

ADE ~ ABC

Benzerlik oranı 1:2'dir.

1. Ortataban Alan İlişkisi

Benzerlik oranı:

1:2

olduğundan alan oranı:

1:4

1. Benzerlikte Yükseklikler

Benzer üçgenlerde karşılıklı yükseklikler de benzerlik oranındadır.

1. Benzerlikte Kenarortaylar

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarortaylar da benzerlik oranındadır.

1. Benzerlikte Açıortaylar

Benzer üçgenlerde karşılıklı açıortay uzunlukları benzerlik oranındadır.

1. Benzerlikte Çevre, Uzunluk ve Alan

Benzerlik oranı k ise:

1. Benzerlik Oranının Tersi

Oranı hangi yönde kurduğuna dikkat et.

Küçük:Büyük = 2:3 ise:

Büyük:Küçük = 3:2

1. Eşlikte Ortak Kenar

İki üçgenin ortak kullandığı kenar kendisine eşittir.

Bu bilgi eşlik sorularında sık kullanılır.

1. Eşlikte Ters Açılar

Kesişen doğruların oluşturduğu ters açılar eşittir.

Bu eşitlik, iki üçgenin eşliğini kanıtlamak için kullanılabilir.

1. Eşlikte Açıortay Kullanımı

Bir açıortay iki eş açı oluşturduğu için eşlik sorularında açı eşitliği sağlar.

1. Eşlikten Uzunluk Bulma

İki üçgenin eş olduğu gösterildiğinde karşılıklı kenarlar eşitlenebilir.

1. Benzerlikten Bilinmeyen Uzunluk Bulma

1. Benzerlikte Denklem

1. Benzerlik Oranını Doğru Kurma

Karşılıklı olmayan kenarlar birbirine oranlanamaz.

1. Üçgende İç İçe Benzerlik

Aynı şekil içinde birden fazla benzer üçgen bulunabilir.

Bu durumda her benzerlik ayrı ayrı yazılmalıdır.

1. Paralellik Verilmeden Benzerlik Kurma

Şekilde doğrular paralel görünüyor diye paralellik kabul edilmez.

1. Alan Oranı ile Parça Alan

1. Çevre Oranı ile Kenar Oranı

Benzer üçgenlerde çevre oranı benzerlik oranına eşittir.

1. Eşlik ve Benzerlikte Şeklin Görünüşü

Şekiller farklı yönlerde veya ters çizilmiş olabilir.

Bu durum eşlik veya benzerliği değiştirmez.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Eş üçgenlerde karşılıklı bütün kenar ve açılar eşittir. • Eşlikte yazım sırası karşılıklı köşeleri belirler. • Her eş üçgen benzerdir ancak her benzer üçgen eş değildir. • Benzer üçgenlerde karşılıklı açılar eşittir. • Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır. • Çevre oranı benzerlik oranına eşittir. • Alan oranı benzerlik oranının karesidir. • Paralel doğru, üçgen içinde benzerlik oluşturabilir. • Ortataban üçüncü kenara paralel ve onun yarısıdır. • Benzer üçgenlerde yükseklik, kenarortay ve açıortay oranları da benzerlik oranına eşittir. • Şeklin görünüşünden paralellik, eşlik veya benzerlik varsayılmaz.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Üçgenlerde eş açıları işaretle.
2. Eşlik için yeterli kenar-açı bilgilerinin olup olmadığını kontrol et.
3. Benzerlikte önce karşılıklı köşeleri belirle.
4. Orantıyı yalnız karşılıklı kenarlar arasında kur.
5. Paralel doğrulardan yöndeş ve iç ters açı eşitliklerini çıkar.
6. Alan sorularında benzerlik oranının karesini kullan.
7. Çevre ve uzunluk sorularında doğrudan benzerlik oranını kullan.
8. Ortataban sorularında 1:2 oranını hızlıca kullan.

Konu Özeti

Eşlik: Karşılıklı kenarlar eşit Karşılıklı açılar eşit

Eşlik koşulları: KKK KAK AKA

Benzerlik: Karşılıklı açılar eşit Karşılıklı kenarlar orantılı

Benzerlik koşulları: AA KKK KAK

Benzerlik oranı: AB/DE = BC/EF = AC/DF = k

Çevre oranı: k Uzunluk oranı: k Alan oranı: k²

Paralel doğru: DE ∥ BC ise ADE ~ ABC

Temel orantı: AD/DB = AE/EC

Ortataban: DE ∥ BC DE = BC/2 Benzerlik oranı = 1:2 Alan oranı = 1:4