TYT Matematik Bölme ve Bölünebilme Ders Notu

Bölme ve Bölünebilme

Bölme İşlemi

Bir bölme işleminde:

Bölünen = Bölen × Bölüm + Kalan

bağıntısı kullanılır.

Genel olarak:

a = b × q + r

şeklinde gösterilebilir.

Burada:

a → bölünen b → bölen q → bölüm r → kalan

Örnek:

47 sayısı 6'ya bölündüğünde:

47 = 6 × 7 + 5

olur.

Bölünen = 47 Bölen = 6 Bölüm = 7 Kalan = 5

Kalanın Özelliği

Bir bölme işleminde kalan, bölen sayıdan küçük olmalıdır.

Pozitif bölen için:

0 ≤ Kalan < Bölen

Örneğin bir sayı 7'ye bölündüğünde kalan:

0, 1, 2, 3, 4, 5 veya 6

olabilir.

Tam Bölünme

Bir sayının başka bir sayıya bölümünden kalan 0 ise sayı tam bölünür.

Örnek:

24 ÷ 6 = 4

olduğundan 24 sayısı 6'ya tam bölünür.

2 ile Bölünebilme

Bir sayının son rakamı:

0, 2, 4, 6 veya 8

ise sayı 2'ye tam bölünür.

Başka bir ifadeyle çift sayılar 2'ye tam bölünür.

Örnek:

5834

sayısının son rakamı 4 olduğu için 2'ye tam bölünür.

3 ile Bölünebilme

Bir sayının rakamları toplamı 3'ün katıysa sayı 3'e tam bölünür.

Örnek:

471

4 + 7 + 1 = 12

12 sayısı 3'ün katı olduğu için 471 sayısı 3'e tam bölünür.

4 ile Bölünebilme

Bir sayının son iki basamağının oluşturduğu sayı 4'e tam bölünüyorsa sayının tamamı da 4'e tam bölünür.

Örnek:

7316

Son iki basamak:

16

16 sayısı 4'e tam bölündüğü için 7316 da 4'e tam bölünür.

5 ile Bölünebilme

Bir sayının son rakamı:

0 veya 5

ise sayı 5'e tam bölünür.

Örnek:

1245 → 5'e bölünür.

3780 → 5'e bölünür.

6 ile Bölünebilme

Bir sayının 6'ya tam bölünebilmesi için aynı anda:

• 2'ye
• 3'e

tam bölünmesi gerekir.

Örnek:

234

Son rakam 4 olduğu için 2'ye bölünür.

Rakamlar toplamı:

2 + 3 + 4 = 9

9 sayısı 3'e bölünür.

Bu nedenle 234 sayısı 6'ya tam bölünür.

8 ile Bölünebilme

Bir sayının son üç basamağının oluşturduğu sayı 8'e tam bölünüyorsa sayı da 8'e tam bölünür.

Örnek:

12416

Son üç basamak:

416

416 ÷ 8 = 52

olduğundan 12416 sayısı 8'e tam bölünür.

9 ile Bölünebilme

Bir sayının rakamları toplamı 9'un katıysa sayı 9'a tam bölünür.

Örnek:

738

7 + 3 + 8 = 18

18 sayısı 9'un katı olduğu için 738 sayısı 9'a tam bölünür.

10 ile Bölünebilme

Bir sayının son rakamı 0 ise sayı 10'a tam bölünür.

Örnek:

470 → 10'a bölünür.

473 → 10'a bölünmez.

11 ile Bölünebilme

Bir sayının rakamları birer atlayarak iki gruba ayrılır.

Bu iki grubun toplamları arasındaki fark:

0 veya 11'in katı

ise sayı 11'e tam bölünür.

Örnek:

2728

Bir grup:

2 + 2 = 4

Diğer grup:

7 + 8 = 15

Fark:

15 - 4 = 11

olduğundan 2728 sayısı 11'e tam bölünür.

12 ile Bölünebilme

Bir sayının 12'ye tam bölünebilmesi için aynı anda:

• 3'e
• 4'e

tam bölünmesi gerekir.

Örnek:

324

Rakamlar toplamı:

3 + 2 + 4 = 9

Bu nedenle 3'e bölünür.

Son iki basamak:

24

4'e de bölünür.

Dolayısıyla 324 sayısı 12'ye tam bölünür.

15 ile Bölünebilme

Bir sayının 15'e tam bölünebilmesi için aynı anda:

• 3'e
• 5'e

tam bölünmesi gerekir.

Örnek:

345

Rakamlar toplamı:

3 + 4 + 5 = 12

12 sayısı 3'e bölünür.

Son rakam 5 olduğu için sayı 5'e de bölünür.

Bu nedenle 345 sayısı 15'e tam bölünür.

25 ile Bölünebilme

Bir sayının son iki basamağı:

00, 25, 50 veya 75

ise sayı 25'e tam bölünür.

Örnek:

1825

sayısının son iki basamağı 25 olduğu için sayı 25'e tam bölünür.

100 ile Bölünebilme

Bir sayının son iki basamağı 00 ise sayı 100'e tam bölünür.

Örnek:

4700

sayısı 100'e tam bölünür.

1000 ile Bölünebilme

Bir sayının son üç basamağı 000 ise sayı 1000'e tam bölünür.

Örnek:

238000

sayısı 1000'e tam bölünür.

Bölünebilme Kurallarının Birlikte Kullanılması

Bazı sayıların bölünebilme kuralları daha küçük sayıların kuralları birlikte kullanılarak bulunabilir.

6 için:

2 ve 3

12 için:

3 ve 4

15 için:

3 ve 5

kuralları birlikte kontrol edilir.

Ancak bir sayının hem 2'ye hem 4'e bölünmesi, mutlaka 8'e bölüneceği anlamına gelmez.

Örneğin:

12

2'ye bölünür.

4'e bölünür.

Ancak 8'e bölünmez.

Bilinmeyen Rakam Soruları

Bir sayının bazı rakamları bilinmiyorsa bölünebilme kuralları kullanılarak olası rakamlar bulunabilir.

Örnek:

4a2 sayısı 3'e tam bölünsün.

Rakamlar toplamı:

4 + a + 2 = a + 6

Bu toplam 3'ün katı olmalıdır.

a bir rakam olduğuna göre:

a = 0, 3, 6, 9

değerlerini alabilir.

Rakam olarak kullanılan bir değişken:

0 ile 9

arasında olmalıdır.

Değişken sayının ilk basamağındaysa 0 olamaz.

Kalan Bulma

Bir sayı tam bölünmüyorsa bölüm sonucunda kalan oluşur.

Örnek:

38 sayısının 5 ile bölümünden kalan:

38 = 5 × 7 + 3

olduğundan:

3

olur.

3 ile Bölmede Kalan

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlar toplamının 3 ile bölümünden kalanla aynıdır.

Örnek:

572

Rakamlar toplamı:

5 + 7 + 2 = 14

14'ün 3 ile bölümünden kalan:

2

olduğu için 572'nin 3 ile bölümünden kalan da 2'dir.

9 ile Bölmede Kalan

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamlar toplamının 9 ile bölümünden kalanla aynıdır.

Örnek:

4876

Rakamlar toplamı:

4 + 8 + 7 + 6 = 25

25'in 9 ile bölümünden kalan:

7

olduğundan 4876'nın 9 ile bölümünden kalan da 7'dir.

Bir Sayının Katı

Bir sayı başka bir sayıya tam bölünüyorsa ilk sayı ikinci sayının katıdır.

Örnek:

35 = 5 × 7

olduğundan:

35, 5'in katıdır.

Aynı zamanda 7'nin de katıdır.

Ardışık Sayılarda Bölünebilme

Ardışık iki tam sayıdan biri mutlaka çifttir.

Bu nedenle:

n(n+1)

çarpımı her zaman 2'ye tam bölünür.

Ardışık üç tam sayıdan biri mutlaka 3'ün katıdır.

Ayrıca bu üç sayıdan en az biri çifttir.

Bu nedenle:

n(n+1)(n+2)

çarpımı her zaman 6'ya tam bölünür.

Örnek:

7 × 8 × 9

çarpımında:

8 → 2'nin katıdır.

9 → 3'ün katıdır.

Bu nedenle çarpım 6'ya tam bölünür.

Bölme ve Bölünebilme Kısa Özeti

• Bölünen = Bölen × Bölüm + Kalan
• Kalan, bölenden küçük olmalıdır.
• Tam bölünmede kalan 0'dır.
• 2'ye bölünebilme → Son rakam çift olmalı.
• 3'e bölünebilme → Rakamlar toplamı 3'ün katı olmalı.
• 4'e bölünebilme → Son iki basamak 4'ün katı olmalı.
• 5'e bölünebilme → Son rakam 0 veya 5 olmalı.
• 6'ya bölünebilme → Hem 2'ye hem 3'e bölünmeli.
• 8'e bölünebilme → Son üç basamak 8'in katı olmalı.
• 9'a bölünebilme → Rakamlar toplamı 9'un katı olmalı.
• 10'a bölünebilme → Son rakam 0 olmalı.
• 11'e bölünebilme → Birer atlayarak alınan rakamların toplamları arasındaki fark 0 veya 11'in katı olmalı.
• 12'ye bölünebilme → Hem 3'e hem 4'e bölünmeli.
• 15'e bölünebilme → Hem 3'e hem 5'e bölünmeli.
• 25'e bölünebilme → Son iki basamak 00, 25, 50 veya 75 olmalı.
• 100'e bölünebilme → Son iki basamak 00 olmalı.
• 1000'e bölünebilme → Son üç basamak 000 olmalı.
• 3 ve 9 ile bölümden kalan bulunurken rakamlar toplamı kullanılabilir.
• Bilinmeyen rakamlar 0 ile 9 arasında değer alır.
• Ardışık iki sayının çarpımı her zaman 2'ye bölünür.
• Ardışık üç sayının çarpımı her zaman 6'ya bölünür.