TYT Matematik Bölme ve Bölünebilme Konu Anlatımı

Bölme ve Bölünebilme

TYT Matematikte Bölme ve Bölünebilme konusu; bir sayının başka bir sayıya bölümünü, kalan kavramını ve sayıların belirli sayılara tam bölünüp bölünmediğini inceleyen temel konulardan biridir.

Bölünebilme kuralları yalnızca doğrudan sorularda değil; sayı basamakları, asal çarpanlar, EBOB-EKOK ve problemlerde de sıkça kullanılır.

Bölme İşlemi

Bir bölme işleminde:

Bölünen ÷ Bölen = Bölüm

şeklinde temel bir yapı vardır.

Bölme işlemi tam sonuçlanmıyorsa kalan oluşur.

Genel olarak:

Bölünen = Bölen × Bölüm + Kalan

şeklinde yazılır.

Yani:

a = b × q + r

Burada:

a → bölünen

b → bölen

q → bölüm

r → kalan

olarak ifade edilir.

Kalanın Özelliği

Bir bölme işleminde kalan her zaman bölen sayıdan küçüktür.

Pozitif bölen için:

0 ≤ Kalan < Bölen

olmalıdır.

Tam Bölünme

Bir sayının başka bir sayıya bölümünden kalan 0 ise ilk sayı ikinci sayıya tam bölünür.

Örneğin:

24 ÷ 6 = 4

olduğundan:

24 sayısı 6'ya tam bölünür.

Çünkü kalan 0'dır.

2 ile Bölünebilme

Bir sayının birler basamağındaki rakam:

0, 2, 4, 6 veya 8

ise sayı 2 ile tam bölünür.

Yani çift sayılar 2'ye tam bölünür.

3 ile Bölünebilme

Bir sayının rakamları toplamı 3'ün katıysa sayı 3 ile tam bölünür.

Örneğin:

471

sayısında:

4 + 7 + 1 = 12

12 sayısı 3'e bölündüğü için:

471 sayısı da 3'e tam bölünür.

4 ile Bölünebilme

Bir sayının son iki basamağının oluşturduğu sayı 4'e tam bölünüyorsa sayının tamamı 4'e tam bölünür.

5 ile Bölünebilme

Bir sayının son rakamı:

0 veya 5

ise sayı 5'e tam bölünür.

Örneğin:

1245

son rakamı 5 olduğu için 5'e tam bölünür.

3780

son rakamı 0 olduğu için 5'e tam bölünür.

6 ile Bölünebilme

Bir sayının 6'ya tam bölünebilmesi için aynı anda:

• 2'ye bölünmesi
• 3'e bölünmesi

gerekir.

8 ile Bölünebilme

Bir sayının son üç basamağının oluşturduğu sayı 8'e tam bölünüyorsa sayının tamamı 8'e tam bölünür.

9 ile Bölünebilme

Bir sayının rakamları toplamı 9'un katıysa sayı 9'a tam bölünür.

10 ile Bölünebilme

Bir sayının son rakamı 0 ise sayı 10'a tam bölünür.

Örneğin:

470

sayısı 10'a tam bölünür.

473

sayısı 10'a tam bölünmez.

11 ile Bölünebilme

11 ile bölünebilmede rakamlar sağdan veya soldan başlayarak birer atlayarak iki gruba ayrılır.

Bu iki grubun toplamları arasındaki fark:

0 veya 11'in katı

ise sayı 11'e tam bölünür.

Örneğin:

2728

sayısını inceleyelim.

Bir grup:

2 + 2 = 4

Diğer grup:

7 + 8 = 15

Fark:

15 - 4 = 11

olduğundan:

2728 sayısı 11'e tam bölünür.

12 ile Bölünebilme

Bir sayının 12'ye tam bölünebilmesi için:

3'e ve 4'e

aynı anda tam bölünmesi gerekir.

15 ile Bölünebilme

Bir sayının 15'e tam bölünmesi için:

3'e ve 5'e

aynı anda tam bölünmesi gerekir.

Örneğin:

345

Rakamlar toplamı:

3 + 4 + 5 = 12

12, 3'e bölünür.

Son rakam 5'tir.

Bu nedenle sayı 5'e de bölünür.

Dolayısıyla:

345 sayısı 15'e tam bölünür.

25 ile Bölünebilme

Bir sayının son iki basamağı:

00, 25, 50 veya 75

ise sayı 25'e tam bölünür.

100 ile Bölünebilme

Bir sayının son iki basamağı:

00

ise sayı 100'e tam bölünür.

Örneğin:

4700

sayısı 100'e tam bölünür.

1000 ile Bölünebilme

Bir sayının son üç basamağı:

000

ise sayı 1000'e tam bölünür.

Örneğin:

238000

sayısı 1000'e tam bölünür.

Bölünebilme Kurallarının Birlikte Kullanılması

Bir sayı birden fazla sayıya aynı anda bölünebilir.

Örneğin bir sayı hem 2'ye hem 3'e bölünüyorsa:

6'ya

da bölünür.

Ancak bu tür çıkarımlarda sayıların ilişkisine dikkat edilmelidir.

Bölünebilmede Bilinmeyen Rakam

Sorularda bir sayının bazı rakamları bilinmeyebilir.

Bilinmeyen rakam, bölünebilme kuralı kullanılarak bulunabilir.

Kalan Bulma

Bir sayı tam bölünmüyorsa bölümden sonra kalan bulunur.

Örneğin:

38'in 5 ile bölümünden kalan:

38 = 5 × 7 + 3

olduğundan:

3

olur.

3 ile Bölmede Kalan

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlar toplamının 3 ile bölümünden kalanla aynıdır.

9 ile Bölmede Kalan

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamlar toplamının 9 ile bölümünden kalanla aynıdır.

Bir Sayının Katları

Bir sayı başka bir sayıya tam bölünüyorsa ilk sayı ikinci sayının katıdır.

Örneğin:

35 = 5 × 7

olduğundan:

35, 5'in katıdır.

35 aynı zamanda 7'nin de katıdır.

Ardışık Tam Sayılarda Bölünebilme

Ardışık sayılar arasında bölünebilme ile ilgili bazı temel sonuçlar kullanılabilir.

Ardışık iki tam sayıdan biri mutlaka çifttir.

Bu nedenle:

n(n+1)

çarpımı her zaman 2'ye tam bölünür.

Ardışık üç tam sayıdan biri mutlaka 3'ün katıdır.

Ayrıca bu üç sayıdan en az biri çifttir.

Bu nedenle:

n(n+1)(n+2)

çarpımı her zaman 6'ya tam bölünür.

Bölünebilme ve Çarpım

Bir çarpımın belirli bir sayıya bölünebilmesi için gerekli çarpanlar çarpımın içinde bulunmalıdır.

Örneğin:

2 × 3 × 5

çarpımı:

30

olduğundan:

2, 3, 5, 6, 10, 15 ve 30

sayılarına tam bölünür.

Sık Karıştırılan Noktalar

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

Bölme ve Bölünebilme sorularında önce hangi kuralın kullanılacağını belirlemek gerekir.

Soruda:

• 2 soruluyorsa → son rakama bak.
• 3 soruluyorsa → rakamları topla.
• 4 soruluyorsa → son iki basamağa bak.
• 5 soruluyorsa → son rakam 0 veya 5 mi kontrol et.
• 6 soruluyorsa → hem 2 hem 3 koşulunu kontrol et.
• 8 soruluyorsa → son üç basamağa bak.
• 9 soruluyorsa → rakamları topla.
• 10 soruluyorsa → son rakama bak.
• 11 soruluyorsa → birer atlayarak rakamları grupla.
• bilinmeyen rakam varsa → bölünebilme kuralından denklem veya olası değerler oluştur.
• kalan soruluyorsa → Bölünen = Bölen × Bölüm + Kalan ilişkisini düşün.
• 3 veya 9 ile kalan soruluyorsa → rakamlar toplamını kullan.

Konu Özeti

Bu konuda bilinmesi gereken ana noktalar:

• Bölünen = Bölen × Bölüm + Kalan
• 0 ≤ Kalan < Bölen
• Tam bölünmede kalan 0'dır.
• 2'ye bölünebilmek için son rakam çift olmalıdır.
• 3'e bölünebilmek için rakamlar toplamı 3'ün katı olmalıdır.
• 4'e bölünebilmek için son iki basamak 4'ün katı olmalıdır.
• 5'e bölünebilmek için son rakam 0 veya 5 olmalıdır.
• 6'ya bölünebilmek için sayı hem 2'ye hem 3'e bölünmelidir.
• 8'e bölünebilmek için son üç basamak 8'in katı olmalıdır.
• 9'a bölünebilmek için rakamlar toplamı 9'un katı olmalıdır.
• 10'a bölünebilmek için son rakam 0 olmalıdır.
• 11'e bölünebilmede birer atlayarak oluşturulan iki grubun toplamları arasındaki fark kullanılır.
• 12 için 3 ve 4 kuralları birlikte kullanılabilir.
• 15 için 3 ve 5 kuralları birlikte kullanılabilir.
• 25'e bölünebilmek için son iki basamak 00, 25, 50 veya 75 olmalıdır.
• 100'e bölünebilmek için son iki basamak 00 olmalıdır.
• 3 ve 9 ile bölümden kalan bulunurken rakamlar toplamı kullanılabilir.
• Bilinmeyen rakam sorularında rakamın 0 ile 9 arasında olduğu unutulmamalıdır.
• Ardışık iki sayının çarpımı her zaman 2'ye bölünür.
• Ardışık üç sayının çarpımı her zaman 6'ya bölünür.