TYT Matematik EBOB – EKOK Konu Anlatımı

EBOB – EKOK

TYT Matematikte EBOB ve EKOK konusu; sayıların ortak bölenlerini ve ortak katlarını kullanarak çeşitli problemleri çözmeye dayanır.

Eşit büyüklükte parçalara ayırma, gruplama, birlikte tekrar eden olaylar ve belirli aralıklarla gerçekleşen durumlarda EBOB ve EKOK bilgisi sıkça kullanılır.

Bölen ve Kat Kavramı

Bir a sayısı b sayısına tam bölünüyorsa b, a'nın bölenidir.

Aynı zamanda a, b'nin katıdır.

Örneğin:

24 = 6 × 4

olduğundan:

6, 24'ün bölenidir.

24 ise 6'nın katıdır.

Ortak Bölen

İki veya daha fazla sayıyı kalansız bölen sayılara ortak bölen denir.

Örneğin:

12'nin pozitif bölenleri:

1, 2, 3, 4, 6, 12

18'in pozitif bölenleri:

1, 2, 3, 6, 9, 18

Ortak bölenleri:

1, 2, 3, 6

olur.

Bu ortak bölenlerin en büyüğü:

6

olduğundan:

EBOB(12,18) = 6

bulunur.

EBOB Nedir?

İki veya daha fazla pozitif tam sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne En Büyük Ortak Bölen denir.

Kısaca:

EBOB

olarak gösterilir.

Örneğin:

EBOB(20,30)

değerini bulalım.

20'nin bölenleri:

1, 2, 4, 5, 10, 20

30'un bölenleri:

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

En büyük ortak bölen:

10

olduğu için:

EBOB(20,30) = 10 [/ORNEK]

Ortak Kat

İki veya daha fazla sayının ortak katı olan sayılara ortak kat denir.

Örneğin:

4'ün katları:

4, 8, 12, 16, 20, 24, ...

6'nın katları:

6, 12, 18, 24, 30, ...

Ortak katlardan bazıları:

12, 24, 36, ...

olur.

Bu ortak katların en küçüğü:

12

olduğundan:

EKOK(4,6) = 12

bulunur.

EKOK Nedir?

İki veya daha fazla pozitif tam sayının ortak katlarının en küçüğüne En Küçük Ortak Kat denir.

Kısaca:

EKOK

olarak gösterilir.

Asal Çarpanlara Ayırarak EBOB Bulma

Sayılar asal çarpanlarına ayrılır.

EBOB bulunurken ortak asal çarpanların küçük üsleri alınır.

Örneğin:

24 = 2³ × 3

36 = 2² × 3²

Ortak asal çarpanlar:

2 ve 3

Küçük üsler:

2² ve 3¹

olduğundan:

EBOB(24,36) = 2² × 3

= 4 × 3

= 12

Asal Çarpanlara Ayırarak EKOK Bulma

EKOK bulunurken sayıların asal çarpanlarının tamamı dikkate alınır.

Her asal çarpanın büyük üssü alınır.

Örneğin:

24 = 2³ × 3

36 = 2² × 3²

EKOK:

2³ × 3²

= 8 × 9

= 72

Üç veya Daha Fazla Sayının EBOB'u

EBOB yalnızca iki sayı için kullanılmaz.

Üç veya daha fazla sayının da EBOB'u bulunabilir.

Örneğin:

12 = 2² × 3

18 = 2 × 3²

30 = 2 × 3 × 5

Üç sayıda da ortak olan asal çarpanlar:

2 ve 3

Küçük üsler:

2¹ ve 3¹

olduğundan:

EBOB(12,18,30) = 6

Üç veya Daha Fazla Sayının EKOK'u

EKOK bulunurken bütün sayılardaki asal çarpanlar dikkate alınır.

Örneğin:

6 = 2 × 3

8 = 2³

12 = 2² × 3

Büyük üsler:

2³ ve 3

olduğundan:

EKOK(6,8,12) = 2³ × 3

= 24

EBOB ile EKOK Arasındaki İlişki

İki pozitif tam sayı için:

EBOB(a,b) × EKOK(a,b) = a × b

bağıntısı vardır.

Aralarında Asal Sayılar

1'den başka ortak pozitif böleni bulunmayan sayılara aralarında asal sayılar denir.

Örneğin:

8 ve 15

sayılarının ortak böleni yalnızca 1'dir.

Bu nedenle:

EBOB(8,15) = 1

ve 8 ile 15 aralarında asaldır.

Aralarında Asal Sayılarda EKOK

İki sayı aralarında asalsa:

EBOB(a,b) = 1

olur.

EBOB × EKOK = a × b

olduğundan:

EKOK(a,b) = a × b

bulunur.

Bir Sayı Diğerini Bölüyorsa

Eğer küçük sayı büyük sayıyı tam bölüyorsa:

EBOB = Küçük sayı

EKOK = Büyük sayı

olur.

Örneğin:

6 ve 24

için:

6, 24'ü tam böler.

Bu nedenle:

EBOB(6,24) = 6

EKOK(6,24) = 24

EBOB'un Sınırları

İki pozitif sayının EBOB'u sayılardan büyük olamaz.

Örneğin:

EBOB(18,30) = 6

6 hem 18'den hem 30'dan küçüktür.

Genel olarak:

EBOB(a,b) ≤ küçük sayı

olur.

EBOB en fazla küçük sayıya eşit olabilir.

EKOK'un Sınırları

İki pozitif sayının EKOK'u sayılardan küçük olamaz.

Genel olarak:

EKOK(a,b) ≥ büyük sayı

olur.

EKOK en az büyük sayıya eşit olabilir.

EBOB Problemleri

EBOB genellikle bir şeyi mümkün olan en büyük eşit parçalara ayırma veya en büyük eşit grupları oluşturma sorularında kullanılır.

Örneğin:

24 metre ve 36 metre uzunluğundaki iki ip, hiç artmayacak şekilde eşit ve mümkün olan en uzun parçalara ayrılacaktır.

Parça uzunluğu:

EBOB(24,36)

olmalıdır.

EBOB(24,36) = 12

olduğundan her parça:

12 metre

olur.

EKOK Problemleri

EKOK genellikle farklı aralıklarla tekrarlanan olayların yeniden aynı anda gerçekleşeceği zamanı bulmak için kullanılır.

Örneğin:

Bir lamba 6 dakikada bir,

diğer lamba 8 dakikada bir

yanıyor.

İkisi birlikte yandıktan sonra yeniden birlikte yanmaları için:

EKOK(6,8)

hesaplanır.

EKOK(6,8) = 24

olduğundan:

24 dakika sonra

yeniden birlikte yanarlar.

Eşit Aralıklı Yerleştirme Soruları

Bir uzunluk üzerine eşit ve mümkün olan en büyük aralıklarla nesne yerleştirme sorularında da EBOB kullanılabilir.

Örneğin:

60 metre ve 90 metre uzunluğundaki iki kenara eşit ve mümkün olan en büyük aralıklarla ağaç dikilecekse:

EBOB(60,90)

hesaplanır.

EBOB:

30

olduğundan aralıklar:

30 metre

olabilir.

Parça Sayısı Bulma

Bir uzunluk eşit parçalara ayrılıyorsa:

Parça sayısı = Toplam uzunluk / Parça uzunluğu

şeklinde bulunur.

EBOB ve EKOK'u Ayırt Etme

Sorularda EBOB veya EKOK ifadesi doğrudan yazmayabilir.

Sorunun anlamından hangisinin gerekli olduğu belirlenmelidir.

EBOB:

Bir şey bölünüyor, parçalanıyor veya eşit gruplara ayrılıyorsa sıkça kullanılır.

EKOK:

Farklı tekrar aralıklarının yeniden aynı noktada buluşması isteniyorsa sıkça kullanılır.

Ancak yalnızca kelimelere bakmak yerine sorunun ne istediğini anlamak gerekir.

Sık Karıştırılan Noktalar

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

EBOB – EKOK sorularında önce sorunun ortak bölen mi yoksa ortak kat mı istediğini belirle.

Soruda:

• en büyük eşit parça varsa → EBOB düşün.
• en uzun eşit parça varsa → EBOB düşün.
• en fazla eşit grup varsa → EBOB düşün.
• artmadan eşit paylaştırma varsa → EBOB düşün.
• tekrar birlikte olma varsa → EKOK düşün.
• aynı anda yeniden gerçekleşme varsa → EKOK düşün.
• farklı periyotların ortak zamanı varsa → EKOK düşün.
• asal çarpanlar verilmişse → üsleri karşılaştır.
• aralarında asal denmişse → EBOB = 1 kullan.
• sayılardan biri diğerini bölüyorsa → EBOB küçük, EKOK büyük sayıdır.
• iki sayı ile EBOB veya EKOK verilmişse → EBOB × EKOK = a × b bağıntısını kontrol et.

Konu Özeti

Bu konuda bilinmesi gereken ana noktalar:

• EBOB, ortak bölenlerin en büyüğüdür.
• EKOK, ortak katların en küçüğüdür.
• EBOB bulunurken ortak asal çarpanların küçük üsleri alınır.
• EKOK bulunurken bütün asal çarpanların büyük üsleri alınır.
• İki pozitif tam sayı için EBOB × EKOK = sayıların çarpımıdır.
• Aralarında asal sayıların EBOB'u 1'dir.
• Aralarında asal iki sayının EKOK'u sayıların çarpımıdır.
• Aralarında asal sayıların kendilerinin asal olması gerekmez.
• Bir sayı diğerini bölüyorsa EBOB küçük sayıya eşittir.
• Bir sayı diğerini bölüyorsa EKOK büyük sayıya eşittir.
• EBOB, sayılardan küçük olana eşit veya ondan küçüktür.
• EKOK, sayılardan büyük olana eşit veya ondan büyüktür.
• En büyük eşit parça ve gruplama sorularında genellikle EBOB kullanılır.
• Tekrar aynı anda gerçekleşme sorularında genellikle EKOK kullanılır.
• EBOB'un verdiği değerin parça uzunluğu mu yoksa grup sayısı mı olduğu soruya göre belirlenmelidir.
• Parça sayısı ile kesim sayısı birbirinden farklıdır.