TYT Matematik Kümeler – Kartezyen Çarpım Ders Notu

Kümeler – Kartezyen Çarpım Ders Notu

Küme, belirli bir kurala göre oluşturulmuş ve hangi elemanların kümeye ait olduğu kesin olarak bilinen nesneler topluluğudur.

1. Kümenin Elemanı

Bir x elemanı A kümesine aitse:

x ∈ A

Ait değilse:

x ∉ A

Örnek:

A = {1,2,3,4}

3 ∈ A

5 ∉ A

1. Eleman Sayısı

Bir A kümesinin eleman sayısı:

s(A)

ile gösterilir.

Örnek:

A = {2,4,6,8}

s(A) = 4

Bir kümede aynı eleman birden fazla kez yazılsa da yalnızca bir kez sayılır.

1. Boş Küme

Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

∅

veya:

{}

şeklinde gösterilebilir.

s(∅) = 0

1. Eşit Kümeler

Elemanları tamamen aynı olan kümeler eşittir.

Örnek:

A = {1,2,3}

B = {3,2,1}

ise:

A = B

Kümelerde elemanların sırası önemli değildir.

1. Alt Küme

A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanıysa:

A ⊆ B

olur.

Örnek:

A = {1,2}

B = {1,2,3}

A ⊆ B

Her küme kendisinin alt kümesidir.

A ⊆ A

Boş küme her kümenin alt kümesidir.

∅ ⊆ A

1. Alt Küme Sayısı

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı:

2ⁿ

Örnek:

3 elemanlı küme:

2³ = 8 alt küme

1. Öz Alt Küme Sayısı

Bir kümenin kendisi dışındaki alt kümelerine öz alt küme denir.

n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı:

2ⁿ − 1

Örnek:

4 elemanlı küme:

2⁴ − 1 = 15

1. Belirli Sayıda Elemanlı Alt Kümeler

n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı:

C(n,r)

ile bulunur.

Örnek:

5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı:

C(5,2) = 10

1. Evrensel Küme

İncelenen bütün elemanları içeren kümeye evrensel küme denir.

Genellikle:

E

ile gösterilir.

1. Birleşim

A veya B kümelerinden en az birine ait elemanların kümesi:

A ∪ B

Örnek:

A = {1,2,3}

B = {3,4,5}

A ∪ B = {1,2,3,4,5}

Ortak eleman yalnızca bir kez yazılır.

1. Kesişim

A ve B kümelerinin ortak elemanlarından oluşan küme:

A ∩ B

Örnek:

A = {1,2,3}

B = {2,3,4}

A ∩ B = {2,3}

1. Ayrık Kümeler

Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir.

A ∩ B = ∅

1. Birleşimin Eleman Sayısı

İki küme için:

s(A ∪ B)

= s(A) + s(B) − s(A ∩ B)

Örnek:

s(A)=20

s(B)=15

s(A∩B)=5

s(A∪B)=20+15−5

=30

1. Fark Kümesi

A’da olup B’de olmayan elemanlar:

A − B

Örnek:

A = {1,2,3,4}

B = {3,4,5}

A−B = {1,2}

B−A = {5}

A−B ile B−A genellikle aynı değildir.

1. Tümleyen

Evrensel kümede bulunup A kümesinde bulunmayan elemanların kümesi A’nın tümleyenidir.

A'

veya:

Aᶜ

Örnek:

E = {1,2,3,4,5}

A = {1,2,3}

A' = {4,5}

Eleman sayısı:

s(A') = s(E) − s(A)

1. Temel Küme Özellikleri

A ∪ A = A

A ∩ A = A

A ∪ ∅ = A

A ∩ ∅ = ∅

A ∪ E = E

A ∩ E = A

A ∪ A' = E

A ∩ A' = ∅

1. De Morgan Kuralları

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Tümleyen parantezin içine girerken birleşim ve kesişim yer değiştirir.

1. Küme Problemleri

İki kümeli problemlerde:

s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)

bağıntısı kullanılır.

Örnek:

20 kişi matematik,

15 kişi fizik,

5 kişi her ikisini seviyor.

En az birini seven:

20+15−5=30

1. Sadece A ve Sadece B

Sadece A:

s(A) − s(A∩B)

Sadece B:

s(B) − s(A∩B)

Örnek:

s(A)=18

s(B)=14

s(A∩B)=6

Sadece A:

12

Sadece B:

8

1. Hiçbirine Ait Olmayanlar

Evrensel kümenin eleman sayısı biliniyorsa:

Hiçbiri:

s(E) − s(A∪B)

Örnek:

Toplam 40 kişi,

en az bir kümeye ait 32 kişi varsa:

40−32=8 kişi hiçbirine ait değildir.

1. Üç Kümenin Birleşimi

s(A∪B∪C)

= s(A)+s(B)+s(C)

− s(A∩B)

− s(A∩C)

− s(B∩C)

+ s(A∩B∩C)

Üçlü kesişim son aşamada tekrar eklenir.

1. Kartezyen Çarpım

A ve B kümelerinin Kartezyen çarpımı:

A × B

şeklinde gösterilir.

A’nın bir elemanı ile B’nin bir elemanından oluşturulan sıralı ikililerden oluşur.

Örnek:

A = {1,2}

B = {a,b}

A×B:

{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}

1. Sıralı İkili

(a,b)

ifadesinde sıra önemlidir.

Genellikle:

(a,b) ≠ (b,a)

1. Sıralı İkililerin Eşitliği

(a,b) = (c,d)

ise:

a=c

b=d

Örnek:

(x+1,5) = (4,y−2)

x+1=4

x=3

y−2=5

y=7

1. Kartezyen Çarpımın Eleman Sayısı

s(A×B)

= s(A)·s(B)

Örnek:

s(A)=3

s(B)=4

ise:

s(A×B)=12

1. A×B ile B×A

Genellikle:

A×B ≠ B×A

Çünkü sıralı ikililerin sırası değişir.

1. Bir Kümenin Kendisiyle Kartezyen Çarpımı

A×A için:

s(A×A) = [s(A)]²

Örnek:

s(A)=5

ise:

s(A×A)=25

1. Boş Küme ile Kartezyen Çarpım

A×∅ = ∅

∅×A = ∅

1. Kartezyen Çarpımda Dağılma

A×(B∪C)

= (A×B) ∪ (A×C)

A×(B∩C)

= (A×B) ∩ (A×C)

1. Alt Küme ve Kartezyen Çarpım

Örnek:

s(A)=3

s(B)=2

ise:

s(A×B)=6

A×B kümesinin alt küme sayısı:

2⁶ = 64

Sık Karıştırılan Noktalar

• Kümede aynı eleman tekrar sayılmaz.

• Elemanların sırası önemli değildir.

• Her küme kendisinin alt kümesidir.

• Boş küme her kümenin alt kümesidir.

• n elemanlı kümenin alt küme sayısı 2ⁿ’dir.

• Öz alt küme sayısı 2ⁿ−1’dir.

• Birleşimde ortak elemanlar bir kez sayılır.

• A−B ile B−A aynı değildir.

• A×B ile B×A genellikle aynı değildir.

• Sıralı ikililerde sıra önemlidir.

• Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımıdır.

Kümeler – Kartezyen Çarpım Kısa Özeti

Eleman:

x ∈ A

Eleman değil:

x ∉ A

Eleman sayısı:

s(A)

Boş küme:

∅

Alt küme:

A ⊆ B

Alt küme sayısı:

2ⁿ

Öz alt küme sayısı:

2ⁿ−1

Birleşim:

A∪B

Kesişim:

A∩B

Birleşimin eleman sayısı:

s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)

Fark:

A−B

Tümleyen:

A'

Tümleyen eleman sayısı:

s(A')=s(E)−s(A)

De Morgan:

(A∪B)'=A'∩B'

(A∩B)'=A'∪B'

Kartezyen çarpım:

A×B

Eleman sayısı:

s(A×B)=s(A)·s(B)

Sıralı ikili:

(a,b)=(c,d)

ise:

a=c

b=d