TYT Matematik Kümeler – Kartezyen Çarpım Konu Anlatımı

Kümeler – Kartezyen Çarpım

Küme, belirli bir kurala göre oluşturulmuş ve hangi elemanların kümeye ait olduğu kesin olarak bilinen nesneler topluluğudur. TYT’de kümeler konusu; eleman sayısı, alt küme, birleşim, kesişim, fark, tümleyen ve Kartezyen çarpım sorularıyla karşımıza çıkar.

1. Kümenin Gösterimi

Kümeler genellikle büyük harflerle gösterilir:

A, B, C, ...

Elemanlar süslü parantez içinde yazılır.

Bir kümede aynı eleman birden fazla kez yazılsa bile yalnızca bir kez sayılır.

1. Eleman Sayısı

Bir A kümesinin eleman sayısı:

s(A)

şeklinde gösterilir.

1. Boş Küme

Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

∅

veya:

{}

şeklinde gösterilir.

1. Eşit Kümeler

Elemanları tamamen aynı olan kümeler eşittir.

1. Alt Küme

A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanıysa A, B’nin alt kümesidir.

A ⊆ B

şeklinde gösterilir.

1. Alt Küme Sayısı

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı:

2ⁿ

dir.

1. Öz Alt Küme

Bir kümenin kendisi dışındaki bütün alt kümelerine öz alt küme denir.

n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı:

2ⁿ − 1

1. Belirli Sayıda Elemanlı Alt Kümeler

n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı:

C(n,r)

ile bulunur.

1. Evrensel Küme

İncelenen bütün elemanları içeren kümeye evrensel küme denir.

Genellikle:

E

ile gösterilir.

1. Birleşim Kümesi

A veya B kümelerinden en az birine ait olan elemanların oluşturduğu kümeye birleşim denir.

A ∪ B

1. Kesişim Kümesi

A ve B kümelerinin ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim denir.

A ∩ B

1. Ayrık Kümeler

Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir.

A ∩ B = ∅

1. Birleşimin Eleman Sayısı

İki kümenin birleşiminin eleman sayısı:

s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B)

1. Fark Kümesi

A’da olup B’de olmayan elemanların kümesi:

A − B

şeklinde gösterilir.

1. Tümleyen

E evrensel kümesine göre A kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye A’nın tümleyeni denir.

A'

veya:

Aᶜ

şeklinde gösterilir.

1. Tümleyenin Eleman Sayısı

1. Temel Küme Özellikleri

A ∪ A = A

A ∩ A = A

A ∪ ∅ = A

A ∩ ∅ = ∅

A ∪ E = E

A ∩ E = A

A ∪ A' = E

A ∩ A' = ∅

1. De Morgan Kuralları

1. Küme Problemleri

İki gruba ait kişilerin bulunduğu sorularda Venn şeması mantığı kullanılabilir.

1. Sadece Bir Kümeye Ait Elemanlar

Sadece A’da bulunanların sayısı:

s(A) − s(A ∩ B)

Sadece B’de bulunanların sayısı:

s(B) − s(A ∩ B)

1. Hiçbir Kümeye Ait Olmayanlar

Evrensel kümede toplam kişi sayısı biliniyorsa:

Hiçbiri = s(E) − s(A ∪ B)

1. Üç Kümede Birleşim

Üç küme için:

s(A ∪ B ∪ C)

= s(A) + s(B) + s(C)

− s(A∩B)

− s(A∩C)

− s(B∩C)

+ s(A∩B∩C)

1. Kartezyen Çarpım

A ve B kümelerinin Kartezyen çarpımı:

A × B

şeklinde gösterilir.

A’nın bir elemanı ile B’nin bir elemanından oluşturulan sıralı ikililerin kümesidir.

1. Sıralı İkili

(a,b) ifadesinde sıra önemlidir.

Genellikle:

(a,b) ≠ (b,a)

1. Sıralı İkililerin Eşitliği

(a,b) = (c,d)

ise:

a = c

ve:

b = d

olmalıdır.

1. Kartezyen Çarpımda Eleman Sayısı

1. A × B ile B × A

Genellikle:

A × B ≠ B × A

1. Bir Kümenin Kendisiyle Kartezyen Çarpımı

A × A

ifadesinde:

s(A×A) = [s(A)]²

1. Boş Küme ile Kartezyen Çarpım

Çünkü sıralı ikili oluşturmak için her iki kümeden de eleman gerekir.

1. Kartezyen Çarpımda Dağılma Özelliği

A × (B ∪ C)

= (A×B) ∪ (A×C)

A × (B ∩ C)

= (A×B) ∩ (A×C)

1. Kartezyen Çarpım ve Alt Küme

A ⊆ B ise uygun kümeler için:

A × C ⊆ B × C

şeklinde ilişki kurulabilir.

1. Kartezyen Çarpım Sorularında Bilinmeyen Eleman Sayısı

1. Alt Küme ve Kartezyen Çarpımı Birlikte Kullanma

Sık Karıştırılan Noktalar

1. Kümede elemanlar tekrar sayılmaz.

1. Kümede elemanların sırası önemli değildir.

1. Her küme kendisinin alt kümesidir.

1. Boş küme her kümenin alt kümesidir.

1. n elemanlı kümenin alt küme sayısı 2ⁿ’dir.

1. Öz alt küme sayısı 2ⁿ−1’dir.

1. Birleşimde ortak elemanlar yalnızca bir kez sayılır.

1. A−B ile B−A aynı değildir.

1. A×B ile B×A genellikle eşit değildir.

1. Sıralı ikililerde sıra önemlidir.

1. s(A×B)=s(A)·s(B)

1. De Morgan kurallarında birleşim ile kesişim yer değiştirir.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Kümenin elemanlarını ve eleman sayısını belirle.

1. Alt küme sorusunda 2ⁿ formülünü kontrol et.

1. Birleşim sorusunda kesişimi iki kez saymamaya dikkat et.

1. Venn sorularında ortak bölgeden başla.

1. Fark sorularında işlemin yönüne dikkat et.

1. Tümleyen sorularında evrensel kümeyi belirle.

1. Kartezyen çarpımda birinci ve ikinci bileşenlerin hangi kümeden geldiğini kontrol et.

1. Eleman sayısı sorularında s(A×B)=s(A)·s(B) bağıntısını kullan.

Konu Özeti

Eleman:

x ∈ A

Eleman değil:

x ∉ A

Eleman sayısı:

s(A)

Boş küme:

∅

Alt küme:

A ⊆ B

Alt küme sayısı:

2ⁿ

Öz alt küme sayısı:

2ⁿ−1

Birleşim:

A ∪ B

Kesişim:

A ∩ B

Birleşimin eleman sayısı:

s(A∪B)=s(A)+s(B)−s(A∩B)

Fark:

A−B

Tümleyen:

A'

De Morgan:

(A∪B)' = A'∩B'

(A∩B)' = A'∪B'

Kartezyen çarpım:

A×B

Eleman sayısı:

s(A×B)=s(A)·s(B)

Sıralı ikili eşitliği:

(a,b)=(c,d)

ise:

a=c

b=d