TYT Matematik Rasyonel Sayılar Ders Notu

Rasyonel Sayılar

Rasyonel Sayı Nedir?

a ve b tam sayı, b ≠ 0 olmak üzere:

a / b

biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir.

Rasyonel sayılar kümesi:

Q

ile gösterilir.

Örnek:

1/2 -3/5 7 0 0,25

sayılarının tamamı rasyoneldir.

Tam Sayılar ve Rasyonel Sayılar

Her tam sayı rasyonel sayı biçiminde yazılabilir.

Örnek:

5 = 5/1

-3 = -3/1

0 = 0/1

Bu nedenle:

Z ⊂ Q

olur.

Pay ve Payda

Bir rasyonel sayıda:

a / b

ifadesinde:

a → Pay b → Payda

olarak adlandırılır.

Pay 0 olabilir.

Ancak payda 0 olamaz.

Örnek:

0/5 = 0

ancak:

5/0

tanımsızdır.

Rasyonel Sayılarda İşaret

Bir kesrin işareti pay ve paydanın işaretlerine göre belirlenir.

Aynı işaretler sonucu pozitif yapar:

(+)/(+) = +

(-)/(-) = +

Farklı işaretler sonucu negatif yapar:

(+)/(-) = -

(-)/(+) = -

Örnek:

-3/-5 = 3/5

3/-5 = -3/5

Kesrin Sadeleştirilmesi

Pay ve payda aynı sıfırdan farklı sayıya bölünürse kesrin değeri değişmez.

Örnek:

12/18

pay ve paydayı 6'ya bölersek:

12 ÷ 6 = 2

18 ÷ 6 = 3

Bu nedenle:

12/18 = 2/3

Bir kesri tamamen sadeleştirmek için pay ve paydayı EBOB'larına bölmek kullanılabilir.

Kesrin Genişletilmesi

Pay ve payda aynı sıfırdan farklı sayıyla çarpılırsa kesrin değeri değişmez.

Örnek:

2/3

kesrini 4 ile genişletelim.

2 × 4 = 8

3 × 4 = 12

Bu nedenle:

2/3 = 8/12

Denk Kesirler

Değerleri birbirine eşit olan kesirlere denk kesirler denir.

Örnek:

1/2 = 2/4 = 3/6 = 5/10

Bu kesirlerin tamamı aynı rasyonel sayıyı gösterir.

Basit Kesir

Payının mutlak değeri paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.

Örnek:

2/5

3/7

-4/9

Pozitif basit kesirler 0 ile 1 arasındadır.

Bileşik Kesir

Payının mutlak değeri paydasına eşit veya büyük olan kesirlere bileşik kesir denir.

Örnek:

7/4

9/5

5/5

Pay ile payda eşitse:

5/5 = 1

olur.

Tam Sayılı Kesir

Bir tam sayı ile basit kesrin birlikte yazılmasına tam sayılı kesir denir.

Örnek:

2 tam 3/5

Bileşik kesre çevirmek için:

Tam sayı × Payda + Pay

işlemi yapılır.

Payda değişmez.

2 tam 3/5:

(2 × 5 + 3) / 5

= 13/5

Bileşik Kesri Tam Sayılı Kesre Çevirme

Pay paydaya bölünür.

Bölüm → Tam kısım

Kalan → Pay

Bölen → Payda

olur.

Örnek:

17/5

17 ÷ 5 = 3 kalan 2

Bu nedenle:

17/5 = 3 tam 2/5

Rasyonel Sayıları Karşılaştırma

Paydaları Eşit Kesirler

Paydaları eşit ve pozitif olan kesirlerde payı büyük olan daha büyüktür.

Örnek:

5/7 > 3/7

Payları Eşit Pozitif Kesirler

Payları eşit olan pozitif kesirlerde paydası küçük olan daha büyüktür.

Örnek:

3/4 > 3/7

Pay ve Paydaları Farklı Kesirler

Kesirler ortak paydada buluşturularak karşılaştırılabilir.

Örnek:

2/3 ve 3/5

Ortak payda:

15

2/3 = 10/15

3/5 = 9/15

Bu nedenle:

2/3 > 3/5

Çapraz Çarpma ile Karşılaştırma

Paydaları pozitif olan:

a/b ve c/d

kesirlerinde:

a × d

ile:

b × c

karşılaştırılabilir.

Örnek:

5/7 ve 4/5

5 × 5 = 25

4 × 7 = 28

28 > 25

olduğundan:

4/5 > 5/7

Negatif Rasyonel Sayıları Karşılaştırma

Negatif sayılarda 0'a daha yakın olan sayı daha büyüktür.

Örnek:

-1/3 > -2/3

Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan sayı daha küçüktür.

Rasyonel Sayılarda Toplama

Paydalar eşitse paylar toplanır, payda aynı kalır.

Örnek:

2/7 + 3/7 = 5/7

Paydalar farklıysa önce paydalar eşitlenir.

Örnek:

1/3 + 1/4

Ortak payda:

12

1/3 = 4/12

1/4 = 3/12

Toplam:

7/12

Rasyonel Sayılarda Çıkarma

Çıkarma işleminde de önce paydalar eşitlenir.

Örnek:

5/6 - 1/4

Ortak payda:

12

5/6 = 10/12

1/4 = 3/12

Sonuç:

7/12

Rasyonel Sayılarda Çarpma

Paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.

a/b × c/d = ac/bd

Örnek:

2/3 × 5/7

= 10/21

Çarpma işleminden önce sadeleştirme yapılabilir.

Örnek:

4/9 × 3/8

4 ile 8 sadeleşir.

3 ile 9 sadeleşir.

Sonuç:

1/6

Rasyonel Sayılarda Bölme

Bölme işleminde ikinci kesir ters çevrilir ve çarpma yapılır.

a/b ÷ c/d

= a/b × d/c

Örnek:

2/3 ÷ 4/5

= 2/3 × 5/4

= 10/12

= 5/6

Bir Rasyonel Sayının Tersi

Sıfırdan farklı:

a/b

rasyonel sayısının çarpmaya göre tersi:

b/a

olur.

Örnek:

3/5'in tersi:

5/3

-2/7'nin tersi:

-7/2

0'ın çarpmaya göre tersi yoktur.

Rasyonel Sayılarda İşaretli İşlemler

İşaret kuralları çarpma ve bölmede aynıdır.

Örnek:

(-2/3) × (5/7)

= -10/21

Ancak:

(-2/3) × (-5/7)

= 10/21

olur.

Rasyonel Sayılarda İşlem Önceliği

Genel işlem sırası:

1. Parantez
2. Üslü ifadeler
3. Çarpma ve bölme
4. Toplama ve çıkarma

Aynı öncelikteki işlemler soldan sağa yapılır.

Örnek:

1/2 + 2/3 × 3/4

Önce çarpma:

2/3 × 3/4 = 1/2

Sonra:

1/2 + 1/2 = 1

Bileşik Kesirli İfadeler

Payında veya paydasında başka kesir bulunan ifadelerde büyük kesir çizgisi bölme anlamına gelir.

Örnek:

(2/3) / (4/5)

ifadesi:

2/3 ÷ 4/5

anlamındadır.

2/3 × 5/4

= 5/6

Pay veya Paydası 0 Olan Kesirler

a ≠ 0 olmak üzere:

0/a = 0

Ancak:

a/0

tanımsızdır.

Ondalık Gösterimler

Sonlu ondalık sayılar rasyoneldir.

Örnek:

1/2 = 0,5

3/4 = 0,75

1/8 = 0,125

Devirli Ondalık Sayılar

Ondalık kısmında belirli rakamlar düzenli olarak tekrar eden sayılar da rasyoneldir.

Örnek:

1/3 = 0,333...

2/9 = 0,222...

Ondalık Sayıyı Kesre Çevirme

Sonlu ondalık sayılarda virgül kaldırılır.

Virgülden sonraki basamak sayısına göre paydaya:

10, 100, 1000, ...

yazılır.

Örnek:

0,4 = 4/10 = 2/5

0,25 = 25/100 = 1/4

1,75 = 175/100 = 7/4

Devirli Ondalık Sayıyı Kesre Çevirme

Tamamı devirli tek basamaklı sayılarda:

0,aaa...

biçimi:

a/9

şeklinde yazılabilir.

Örnek:

0,777... = 7/9

İki basamak tekrar ediyorsa paydaya 99 yazılır.

Örnek:

0,272727...

= 27/99

= 3/11

Üç basamak tekrar ediyorsa paydaya 999 yazılır.

İki Rasyonel Sayı Arasında Rasyonel Sayı

İki farklı rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı vardır.

İki sayı arasında bir rasyonel sayı bulmak için ortalamaları alınabilir.

a ve b arasında:

(a+b)/2

bulunur.

Örnek:

1/3 ile 2/3 arasında:

(1/3 + 2/3) / 2

= 1/2

bulunur.

Payda Eşitleme

Toplama, çıkarma ve karşılaştırma işlemlerinde ortak payda kullanılabilir.

Örnek:

1/4 ve 1/6

Paydaların EKOK'u:

EKOK(4,6) = 12

Bu nedenle:

1/4 = 3/12

1/6 = 2/12

Rasyonel Sayılarda Bilinmeyen

Kesirli eşitliklerde çapraz çarpma kullanılabilir.

a/b = c/d

ise:

a × d = b × c

olur.

Örnek:

x/5 = 3/10

10x = 15

x = 3/2

Rasyonel Sayılar Kısa Özeti

• Rasyonel sayılar a/b biçiminde yazılabilir.
• Payda 0 olamaz.
• Pay 0 olabilir.
• Her tam sayı rasyonel sayıdır.
• Sadeleştirme ve genişletmede pay ile paydaya aynı işlem uygulanır.
• Denk kesirler aynı değeri gösterir.
• Pozitif kesirlerde paydalar eşitse payı büyük olan daha büyüktür.
• Pozitif kesirlerde paylar eşitse paydası küçük olan daha büyüktür.
• Negatif sayılarda 0'a daha yakın olan sayı daha büyüktür.
• Toplama ve çıkarmada paydalar eşitlenir.
• Çarpmada paylar ve paydalar kendi aralarında çarpılır.
• Bölmede ikinci kesir ters çevrilir.
• 0'ın çarpmaya göre tersi yoktur.
• Tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilebilir.
• Sonlu ondalık sayılar rasyoneldir.
• Devirli ondalık sayılar rasyoneldir.
• Ondalık sayılar 10'un kuvvetleri kullanılarak kesre çevrilebilir.
• Tamamen devirli gösterimlerde tekrar eden basamak sayısı kadar 9 kullanılabilir.
• İki farklı rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı vardır.
• a/b = c/d eşitliğinde çapraz çarpma kullanılabilir.