TYT Matematik Rasyonel Sayılar Konu Anlatımı

Rasyonel Sayı Nedir?

`a` ve `b` tam sayı, `b ≠ 0` olmak üzere:

**a / b**

şeklinde yazılabilen sayılara **rasyonel sayı** denir.

Rasyonel sayılar kümesi:

**Q**

ile gösterilir.

Örnek:

**3/5, -7/4, 8, 0, 2/3**

rasyonel sayıdır.

Çünkü tam sayılar da paydası 1 olacak şekilde yazılabilir:

**8 = 8/1**

---

Pay ve Payda

Bir kesirde:

**a / b**

• `a` → pay
• `b` → payda

olarak adlandırılır.

Payda kesinlikle sıfır olamaz.

Örneğin:

**5/0**

tanımsızdır.

---

Sıfır Rasyonel Sayı mıdır?

Evet.

**0 = 0/1**

şeklinde yazılabildiği için 0 rasyonel sayıdır.

Ancak:

**0/0**

tanımsızdır.

---

Tam Sayılar Rasyonel Sayıdır

Her tam sayı aynı zamanda rasyonel sayıdır.

Örneğin:

**-4 = -4/1**

**7 = 7/1**

Bu nedenle:

**Z ⊂ Q**

olur.

---

Rasyonel Sayılarda İşaret

Bir kesrin işareti pay ve paydanın işaretlerine göre belirlenir.

**(+)/(+) = (+)**

**(-)/(-) = (+)**

**(+)/(-) = (-)**

**(-)/(+) = (-)**

Örnek:

**-3/-5 = 3/5**

**4/-7 = -4/7**

---

Kesrin İşaretini Taşıma

Aşağıdaki gösterimler birbirine eşittir:

**-a/b = a/(-b) = -(a/b)**

Ancak hem pay hem payda negatifse:

**(-a)/(-b) = a/b**

olur.

---

Denk Kesirler

Değerleri aynı olan farklı kesirlere denk kesir denir.

Örnek:

**1/2 = 2/4 = 3/6 = 5/10**

Bir kesrin pay ve paydası aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpılırsa değeri değişmez.

---

Kesir Sadeleştirme

Pay ve payda ortak bir sayıya bölünerek kesir sadeleştirilebilir.

Örnek:

**18/24**

Pay ve paydayı 6'ya bölelim:

**18/24 = 3/4**

---

Genişletme

Pay ve payda aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpılır.

Örnek:

**2/3**

pay ve paydayı 4 ile çarparsak:

**2/3 = 8/12**

olur.

---

Basit Kesir

Payın mutlak değeri paydanın mutlak değerinden küçükse kesir basit kesirdir.

Örnek:

**3/7**

**-2/5**

---

Bileşik Kesir

Payın mutlak değeri paydanın mutlak değerine eşit veya büyükse bileşik kesirdir.

Örnek:

**7/4**

**9/9**

**-11/6**

---

Tam Sayılı Kesir

Bileşik kesirler tam sayılı kesre dönüştürülebilir.

Örnek:

**11/4**

11 ÷ 4 işleminde:

Bölüm = 2 Kalan = 3

Bu nedenle:

**11/4 = 2 tam 3/4**

---

Tam Sayılı Kesri Bileşik Kesre Çevirme

Örnek:

**2 tam 3/5**

Önce:

**2 × 5 + 3 = 13**

bulunur.

Sonuç:

**13/5**

---

Rasyonel Sayılarda Toplama

Paydalar eşitse paylar toplanır.

Örnek:

**3/7 + 2/7 = 5/7**

---

Paydaları Farklı Kesirleri Toplama

Önce paydalar eşitlenir.

Örnek:

**1/3 + 1/4**

Paydaların EKOK'u:

**12**

olur.

**1/3 = 4/12**

**1/4 = 3/12**

Buna göre:

**4/12 + 3/12 = 7/12**

---

Rasyonel Sayılarda Çıkarma

Toplamada olduğu gibi önce paydalar eşitlenir.

Örnek:

**5/6 - 1/4**

Paydaların EKOK'u:

**12**

**5/6 = 10/12**

**1/4 = 3/12**

Sonuç:

**10/12 - 3/12 = 7/12**

---

Rasyonel Sayılarda Çarpma

Paylar kendi aralarında, paydalar kendi aralarında çarpılır.

Örnek:

**2/3 × 5/7 = 10/21**

---

Çarpmada Sadeleştirme

İşlemi kolaylaştırmak için çarpmadan önce çapraz sadeleştirme yapılabilir.

Örnek:

**6/7 × 14/15**

6 ile 15 sadeleşir:

**2 ve 5**

14 ile 7 sadeleşir:

**2 ve 1**

Sonuç:

**2 × 2 / 1 × 5 = 4/5**

---

Rasyonel Sayılarda Bölme

Bir kesir başka bir kesre bölünürken ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.

Örnek:

**3/5 ÷ 2/7**

**3/5 × 7/2**

Sonuç:

**21/10**

---

Bir Sayının Çarpmaya Göre Tersi

Sıfırdan farklı:

**a/b**

sayısının çarpmaya göre tersi:

**b/a**

olur.

Örnek:

**3/7 → 7/3**

Çarpımları:

**3/7 × 7/3 = 1**

---

Sıfırın Çarpmaya Göre Tersi Yoktur

Çünkü:

**1/0**

tanımsızdır.

Bu nedenle 0'ın çarpmaya göre tersi bulunmaz.

---

İşlem Önceliği

Rasyonel sayılarda da normal işlem önceliği geçerlidir:

1. Parantez
2. Üslü işlemler
3. Çarpma ve bölme
4. Toplama ve çıkarma

Aynı öncelikte işlemler soldan sağa yapılır.

---

Negatif Kesirlerde İşlem

Örnek:

**-2/3 + 5/6**

Paydaları eşitleyelim:

**-4/6 + 5/6 = 1/6**

---

Paydaları Aynı Pozitif Kesirleri Sıralama

Paydalar aynıysa payı büyük olan kesir daha büyüktür.

Örnek:

**3/8 < 5/8 < 7/8**

---

Payları Aynı Pozitif Kesirleri Sıralama

Paylar aynı ve pozitifse paydası küçük olan kesir daha büyüktür.

Örnek:

**3/4 > 3/5 > 3/7**

Çünkü aynı miktar daha az parçaya bölündüğünde her parça daha büyüktür.

---

Payda Eşitleyerek Sıralama

Örnek:

**2/3 ve 3/5**

Paydaları 15 yapalım:

**2/3 = 10/15**

**3/5 = 9/15**

Bu nedenle:

**2/3 > 3/5**

---

Çapraz Çarpma ile Karşılaştırma

Pozitif paydalı iki kesir:

**a/b** ve **c/d**

karşılaştırılırken:

**a × d**

ve

**b × c**

karşılaştırılabilir.

Örnek:

**5/7 ve 7/10**

**5 × 10 = 50**

**7 × 7 = 49**

50 > 49 olduğundan:

**5/7 > 7/10**

---

Negatif Rasyonel Sayıları Sıralama

Negatif sayılarda sayı doğrusunda sağda bulunan sayı daha büyüktür.

Örnek:

**-1/2 > -3/4**

Çünkü:

**-0,5 > -0,75**

---

0 ile 1 Arasındaki Kesirler

Pozitif basit kesirler 0 ile 1 arasındadır.

Örnek:

**0 < 3/5 < 1**

---

1'den Büyük Kesirler

Pozitif bileşik kesirlerde pay paydadan büyükse sayı 1'den büyüktür.

Örnek:

**7/4 > 1**

---

Sayı Doğrusunda Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayılar sayı doğrusu üzerinde gösterilebilir.

Örneğin:

**1/2**

0 ile 1'in tam ortasındadır.

**3/2**

ise:

**1,5**

olduğu için 1 ile 2 arasındadır.

---

İki Rasyonel Sayı Arasında Rasyonel Sayı Bulma

İki farklı rasyonel sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır.

En kolay yöntemlerden biri sayıların aritmetik ortalamasını almaktır.

Örnek:

**1/3 ile 2/3**

arasında bir sayı bulalım:

**(1/3 + 2/3) / 2**

**1 / 2**

elde edilir.

Dolayısıyla:

**1/3 < 1/2 < 2/3**

---

İki Rasyonel Sayı Arasında Sonsuz Sayı Vardır

Örneğin 1/2 ile 2/3 arasında:

**7/12**

bulunabilir.

1/2 ile 7/12 arasında da başka bir rasyonel sayı bulunabilir.

Bu işlem sonsuza kadar devam eder.

---

Ondalık Gösterimler

Sonlu ondalık sayılar rasyoneldir.

Örnek:

**0,5 = 5/10 = 1/2**

**0,25 = 25/100 = 1/4**

---

Tam Kısmı Olan Ondalık Sayılar

Örnek:

**2,75**

kesre çevrilirse:

**275/100**

sadeleştirilirse:

**11/4**

olur.

---

Devirli Ondalık Sayılar

Sonsuza kadar tekrar eden ondalık sayılar da rasyoneldir.

Örnek:

**0,333... = 1/3**

**0,666... = 2/3**

---

Basit Devirli Ondalığı Kesre Çevirme

Örnek:

**x = 0,333...**

10 ile çarpalım:

**10x = 3,333...**

Taraf tarafa çıkaralım:

**10x - x = 3**

**9x = 3**

**x = 1/3**

---

0,777... Sayısını Kesre Çevirme

**x = 0,777...**

**10x = 7,777...**

Çıkaralım:

**9x = 7**

Bu nedenle:

**x = 7/9**

---

Virgülden Sonra Birden Fazla Rakam Devrediyorsa

Örnek:

**x = 0,272727...**

100 ile çarpılır:

**100x = 27,272727...**

Çıkarılır:

**99x = 27**

**x = 27/99**

Sadeleştirirsek:

**x = 3/11**

---

Sonlu Ondalık Olma Koşulu

Sadeleştirilmiş bir kesrin paydasının asal çarpanları yalnızca:

**2 ve 5**

ise ondalık gösterimi sonludur.

Örnek:

**3/20**

20 = 2² × 5

olduğu için sonlu ondalık gösterime sahiptir.

**3/20 = 0,15**

---

Sonsuz Devirli Ondalık Olma Durumu

Sadeleştirilmiş kesrin paydasında 2 ve 5 dışında asal çarpan varsa ondalık gösterim sonlu olmaz; devirlidir.

Örnek:

**1/3 = 0,333...**

Payda 3 içerdiği için sonlu değildir.

---

Rasyonel Sayılarda Kuvvet

Örnek:

**(2/3)² = 4/9**

Negatif kesirlerde üs önemlidir:

**(-2/3)² = 4/9**

ancak:

**(-2/3)³ = -8/27**

---

Negatif Üs

Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı için:

**(a/b)^(-n) = (b/a)^n**

Örnek:

**(2/3)^(-2) = (3/2)² = 9/4**

---

Kesir Çizgisi Parantez Görevi Görür

Örneğin:

**2 + 3 / 5**

ile

**(2 + 3) / 5**

aynı değildir.

Kesir çizgisinin üstündeki veya altındaki ifadelerin tamamı birlikte değerlendirilmelidir.

---

İç İçe Kesirler

Örnek:

**(1/2) / (3/4)**

ikinci kesir ters çevrilip çarpılır:

**1/2 × 4/3 = 2/3**

---

Payı veya Paydası Kesir Olan İfadeler

Örnek:

**(2/3) / 4**

4 sayısını:

**4/1**

olarak yazalım.

**2/3 ÷ 4/1**

**2/3 × 1/4 = 1/6**

---

TYT'de Sık Kullanılan Kesir Yöntemi

Bir bütün bilinmiyorsa bütüne uygun bir değişken verilebilir.

Örneğin bir sayının:

**2/5'i = 12**

ise sayı `x` olsun.

**2x/5 = 12**

Buradan:

**2x = 60**

**x = 30**

---

Bir Sayının Belirli Kesrini Bulma

Bir sayının `a/b`'si bulunurken sayı ile kesir çarpılır.

Örnek:

60'ın 3/5'i:

**60 × 3/5 = 36**

---

Kesri Verilen Sayıyı Bulma

Bir sayının 4/7'si 20 ise:

**4x/7 = 20**

**4x = 140**

**x = 35**

---

Bir Kesrin Kesrini Bulma

Bir sayının 2/3'ünün 3/5'i isteniyorsa kesirler çarpılır:

**2/3 × 3/5 = 2/5**

Yani sayının:

**2/5'i**

elde edilir.

---

Sık Yapılan Hatalar

Payda Sıfır Olamaz

**a/0**

tanımsızdır.

Toplamada Pay ve Paydayı Ayrı Ayrı Toplamak Yanlıştır

Genel olarak:

**a/b + c/d ≠ (a+c)/(b+d)**

Önce paydalar eşitlenmelidir.

Bölmede İkinci Kesir Ters Çevrilir

**a/b ÷ c/d = a/b × d/c**

Negatif Sayılarda Sıralamaya Dikkat

Mutlak değeri büyük olan negatif sayı daha küçüktür.

Örneğin:

**-5/6 < -2/3**

Sadeleştirme Toplama İşleminde Yapılmaz

Örneğin:

**2/3 + 4/5**

ifadesinde pay ve payda çapraz biçimde sadeleştirilemez.

Sadeleştirme esas olarak çarpma ve bölme işlemlerinde kullanılır.

---

TYT İçin Çözüm Sırası

1. İşaretleri kontrol et.
2. Kesirleri mümkünse sadeleştir.
3. Toplama ve çıkarmada paydaları eşitle.
4. Çarpmada işlemden önce sadeleştirme yap.
5. Bölmede ikinci kesri ters çevir.
6. Sonucu tekrar sadeleştir.
7. Sıralamada sayıların pozitif mi negatif mi olduğuna dikkat et.
8. Ondalık sayıları gerektiğinde kesre çevir.
9. İç içe kesirlerde işlem önceliğini koru.

---

Örnek 1

**2/3 + 5/6**

Paydaları eşitleyelim:

**2/3 = 4/6**

Buna göre:

**4/6 + 5/6 = 9/6 = 3/2**

---

Örnek 2

**7/8 - 1/3**

Ortak payda:

**24**

**7/8 = 21/24**

**1/3 = 8/24**

Sonuç:

**13/24**

---

Örnek 3

**3/5 × 10/9**

Sadeleştirelim:

3 ile 9 → 1 ve 3

10 ile 5 → 2 ve 1

Sonuç:

**2/3**

---

Örnek 4

**4/7 ÷ 8/21**

İkinci kesri ters çevirelim:

**4/7 × 21/8**

Sadeleştirme sonrası:

**3/2**

---

Örnek 5

**0,125**

kesir olarak:

**125/1000**

Sadeleştirirsek:

**1/8**

olur.

---

Konunun Özeti

• `a/b`, `b ≠ 0` biçimindeki sayılar rasyoneldir.
• Payda hiçbir zaman 0 olamaz.
• Her tam sayı rasyonel sayıdır.
• Kesirler genişletilebilir ve sadeleştirilebilir.
• Toplama ve çıkarmada paydalar eşitlenir.
• Çarpmada paylar ve paydalar çarpılır.
• Bölmede ikinci kesir ters çevrilir.
• Aynı paydalı pozitif kesirlerde payı büyük olan büyüktür.
• Aynı paylı pozitif kesirlerde paydası küçük olan büyüktür.
• İki farklı rasyonel sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır.
• Sonlu ve devirli ondalık sayılar rasyoneldir.
• Sadeleştirilmiş paydası yalnızca 2 ve 5 asal çarpanlarından oluşan kesirlerin ondalık gösterimi sonludur.