TYT Matematik Polinomlar Ders Notu

Polinomlar Ders Notu

Polinom, değişkenlerin negatif olmayan tam sayı kuvvetlerinden oluşan cebirsel ifadelerin toplamıdır.

1. Polinomun Genel Biçimi

P(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀

Burada:

aₙ, aₙ₋₁, ..., a₀ → katsayılar

n → polinomun derecesi

a₀ → sabit terim

1. Polinom Olma Şartı

Bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenlerin üsleri:

0, 1, 2, 3, ...

gibi negatif olmayan tam sayılar olmalıdır.

Örnek:

P(x)=3x²−2x+5

bir polinomdur.

Ancak:

1/x = x⁻¹

olduğundan:

1/x+2

polinom değildir.

1. Polinomun Derecesi

Katsayısı sıfır olmayan en büyük kuvvet polinomun derecesidir.

Örnek:

P(x)=4x⁵−3x²+7

der[P(x)]=5

1. Sabit Polinom

P(x)=c

biçimindeki polinomlara sabit polinom denir.

c≠0 ise derecesi:

0

dır.

1. Sıfır Polinomu

P(x)=0

sıfır polinomudur.

Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

1. Baş Katsayı

En büyük dereceli terimin katsayısı baş katsayıdır.

Örnek:

P(x)=5x⁴−2x+7

Baş katsayı:

5

1. Sabit Terim

Polinomdaki x içermeyen terim sabit terimdir.

Sabit terimi bulmak için:

P(0)

hesaplanır.

Örnek:

P(x)=3x³−4x+8

P(0)=8

1. Katsayılar Toplamı

Bir polinomun katsayılar toplamı:

P(1)

ile bulunur.

Örnek:

P(x)=2x³−5x²+3x+7

P(1)=2−5+3+7

=7

1. Çift ve Tek Dereceli Terimlerin Katsayıları

Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı:

[P(1)+P(−1)]/2

Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı:

[P(1)−P(−1)]/2

1. Polinomda Değer Bulma

x yerine verilen sayı yazılır.

Örnek:

P(x)=2x²−3x+1

P(2)=8−6+1

=3

1. Polinomların Eşitliği

İki polinom eşitse aynı kuvvetlerin katsayıları eşittir.

Örnek:

P(x)=ax²+3x+5

Q(x)=2x²+bx+5

P(x)=Q(x)

ise:

a=2

b=3

1. Eksik Terimler

Bir kuvvet yazılmamışsa katsayısı sıfır kabul edilir.

Örnek:

P(x)=2x³+5x−1

aslında:

2x³+0x²+5x−1

şeklindedir.

1. Polinomlarda Toplama

Aynı dereceli terimler toplanır.

Örnek:

P(x)=2x²+3x−1

Q(x)=x²−x+4

P(x)+Q(x)

=3x²+2x+3

1. Polinomlarda Çıkarma

İkinci polinomun bütün terimlerinin işareti değiştirilir.

Örnek:

P(x)=3x²+2x+5

Q(x)=x²−4x+1

P(x)−Q(x)

=2x²+6x+4

1. Polinomlarda Çarpma

Her terim diğer polinomun bütün terimleriyle çarpılır.

Örnek:

(x+2)(x+3)

=x²+5x+6

1. Çarpımın Derecesi

Sıfır olmayan P ve Q polinomları için:

der(P·Q)

=der(P)+der(Q)

Örnek:

der(P)=3

der(Q)=4

ise:

der(P·Q)=7

1. Toplamın Derecesi

P(x)+Q(x) işleminde büyük dereceli terimler birbirini yok edebilir.

Bu nedenle dereceler doğrudan toplanmaz.

Örnek:

P(x)=3x²+x

Q(x)=−3x²+5x

P(x)+Q(x)=6x

Derece:

1

1. Polinom Bölmesi

Bölme algoritması:

P(x)=B(x)·Q(x)+R(x)

Burada:

P(x) → bölünen

B(x) → bölen

Q(x) → bölüm

R(x) → kalan

Kalanın derecesi, bölenin derecesinden küçük olmalıdır.

1. Kalan Teoremi

P(x) polinomunun x−a ile bölümünden kalan:

P(a)

dır.

Örnek:

P(x)=x²+3x+5

x−2 ile bölümünden kalan:

P(2)=4+6+5

=15

1. x+a ile Bölümden Kalan

x+a:

x−(−a)

şeklinde düşünülür.

Bu nedenle kalan:

P(−a)

dır.

Örnek:

P(x)=x²+2x+3

x+1 ile bölümünden kalan:

P(−1)=1−2+3

=2

1. Çarpan Teoremi

P(x), x−a ile tam bölünüyorsa:

P(a)=0

olmalıdır.

Örnek:

P(x)=x²−5x+6

P(2)=0

Bu nedenle:

x−2

P(x)'in çarpanıdır.

1. Polinomun Kökü

P(a)=0 ise:

a

polinomun köküdür.

Aynı zamanda:

x−a

polinomun çarpanıdır.

Yani:

P(a)=0

⇔ a köktür

⇔ x−a çarpandır

1. Köklerden Polinom Oluşturma

Kökleri a ve b olan ikinci dereceden polinom:

P(x)=k(x−a)(x−b)

şeklinde yazılabilir.

Örnek:

Kökleri 2 ve 3, baş katsayısı 1 olan polinom:

P(x)=(x−2)(x−3)

=x²−5x+6

1. Kalan Verildiğinde Bilinmeyen Bulma

Örnek:

P(x)=x²+ax+3

x−2 ile bölümünden kalan 9 olsun.

P(2)=9

4+2a+3=9

2a=2

a=1

1. Tam Bölünebilme

“x−a ile tam bölünür” deniyorsa:

P(a)=0

yazılır.

Örnek:

P(x)=x²+ax−6

x−2 ile tam bölünüyorsa:

P(2)=0

4+2a−6=0

a=1

1. Birden Fazla Çarpan

P(x), hem x−a hem x−b ile tam bölünüyorsa:

P(a)=0

P(b)=0

olur.

1. x²−a² ile Bölünebilme

x²−a²

=(x−a)(x+a)

olduğundan tam bölünebilme için:

P(a)=0

P(−a)=0

olmalıdır.

1. x²−1 ile Bölünebilme

x²−1

=(x−1)(x+1)

Bu nedenle:

P(1)=0

P(−1)=0

olmalıdır.

1. P(x+a) Tipi Sorular

P(x+a) verilmiş ve P(k) istenmişse:

x+a=k

eşitliği kullanılır.

Örnek:

P(x+1)=x²+3x+2

P(3) için:

x+1=3

x=2

P(3)=4+6+2

=12

1. Dönüşümlü Polinomlarda Sabit Terim

Q(x)=P(x+2)

ise Q'nun sabit terimi:

Q(0)=P(2)

olur.

1. Dönüşümlü Polinomlarda Katsayılar Toplamı

Q(x)=P(x+2)

ise Q'nun katsayılar toplamı:

Q(1)=P(3)

olur.

1. Derece Şartından Bilinmeyen Bulma

Örnek:

P(x)=ax⁴+3x²+1

polinomunun derecesi 2 ise:

a=0

olmalıdır.

Çünkü x⁴ teriminin yok olması gerekir.

1. Bölmede Kalanın Derecesi

Bir polinom ikinci dereceden bir polinoma bölünüyorsa kalan en fazla birinci dereceden olabilir.

Yani:

R(x)=ax+b

Üçüncü dereceden bir polinoma bölünüyorsa kalan en fazla ikinci dereceden olabilir.

Sık Karıştırılan Noktalar

• Polinomlarda üsler negatif olmayan tam sayılardır.

• Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

• Sabit terim P(0) ile bulunur.

• Katsayılar toplamı P(1) ile bulunur.

• x−a ile bölümden kalan P(a)’dır.

• x+a ile bölümden kalan P(−a)’dır.

• x−a çarpansa P(a)=0’dır.

• Çarpımda dereceler toplanır.

• Toplamda dereceler doğrudan toplanmaz.

• Bölmede kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır.

• Eksik terimlerin katsayısı sıfır kabul edilir.

Polinomlar Kısa Özeti

Polinom:

P(x)=aₙxⁿ+...+a₁x+a₀

Derece:

En büyük kuvvet

Sabit terim:

P(0)

Katsayılar toplamı:

P(1)

Çift dereceli katsayılar toplamı:

[P(1)+P(−1)]/2

Tek dereceli katsayılar toplamı:

[P(1)−P(−1)]/2

Çarpımın derecesi:

der(P·Q)=der(P)+der(Q)

Bölme algoritması:

P(x)=B(x)·Q(x)+R(x)

Kalan teoremi:

x−a ile kalan=P(a)

Çarpan teoremi:

x−a çarpansa P(a)=0

Kök:

P(a)=0 ise a köktür.