TYT Matematik Polinomlar Konu Anlatımı

Polinomlar

Polinom; değişkenlerin doğal sayı kuvvetleriyle oluşturulan cebirsel ifadelerin toplamıdır. TYT’de polinom sorularında derece, katsayı, polinomlarda işlemler, değer bulma, kalan ve çarpan ilişkisi temel konulardır.

1. Polinom Olma Şartı

Bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenlerin üsleri:

0, 1, 2, 3, ...

gibi negatif olmayan tam sayılar olmalıdır.

1. Polinomun Derecesi

Bir polinomda katsayısı sıfır olmayan en büyük kuvvet, polinomun derecesidir.

1. Sabit Polinom

P(x)=c

şeklindeki polinomlara sabit polinom denir.

c ≠ 0 ise:

derece = 0

1. Sıfır Polinomu

Bütün katsayıları sıfır olan polinoma sıfır polinomu denir.

P(x)=0

1. Baş Katsayı

En büyük dereceli terimin katsayısına baş katsayı denir.

1. Sabit Terim

x içermeyen terim sabit terimdir.

1. Katsayılar Toplamı

Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için:

x=1

yazılır.

1. Çift Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı

P(1) ve P(−1) birlikte kullanılabilir.

Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı:

[P(1)+P(−1)] / 2

1. Tek Dereceli Terimlerin Katsayıları Toplamı

Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı:

[P(1)−P(−1)] / 2

1. Polinomda Değer Bulma

Fonksiyonlarda olduğu gibi x yerine verilen değer yazılır.

1. Negatif Değerlerde Polinom

1. Polinomların Eşitliği

İki polinom birbirine eşitse aynı dereceli terimlerin katsayıları eşittir.

1. Eksik Terimli Polinom

Bir kuvvet yazılmamışsa katsayısı sıfır kabul edilir.

1. Polinomlarda Toplama

Aynı dereceli terimler kendi aralarında toplanır.

1. Polinomlarda Çıkarma

1. Polinomlarda Çarpma

Her terim diğer polinomun bütün terimleriyle çarpılır.

1. Polinomların Derecesi – Çarpma

Sıfır olmayan P ve Q polinomları için:

1. Polinomların Derecesi – Toplama

P(x)+Q(x) işleminde derece genellikle büyük dereceli polinomun derecesidir.

Ancak en büyük dereceli terimler birbirini yok edebilir.

1. Polinom Bölmesi

Bir polinom başka bir polinoma bölündüğünde:

Bölünen = Bölen · Bölüm + Kalan

1. Birinci Dereceden Polinoma Bölme

P(x), x−a ile bölündüğünde kalan sabit bir sayıdır.

Bu kalan:

P(a)

değeridir.

1. x+a ile Bölümden Kalan

x+a:

x−(−a)

şeklinde düşünülür.

Bu nedenle kalan:

P(−a)

olur.

1. Çarpan Teoremi

P(x), x−a ile tam bölünüyorsa:

P(a)=0

olmalıdır.

1. Polinomun Kökü

P(a)=0 ise:

a

P(x) polinomunun bir köküdür.

Aynı zamanda:

x−a

P(x)'in bir çarpanıdır.

1. Çarpanlardan Polinom Oluşturma

Kökleri a ve b olan ikinci dereceden bir polinom:

P(x)=k(x−a)(x−b)

şeklinde yazılabilir.

1. Kalan Verildiğinde Bilinmeyen Bulma

1. Tam Bölünebilme Soruları

1. İki Farklı Çarpan Verildiğinde

P(x), hem x−a hem x−b ile tam bölünüyorsa:

P(a)=0

P(b)=0

olur.

1. x²−a² ile Bölünebilme

x²−a²:

(x−a)(x+a)

şeklinde ayrılır.

P(x), x²−a² ile tam bölünüyorsa:

P(a)=0

P(−a)=0

olmalıdır.

1. x²−1 ile Bölünebilme

x²−1:

(x−1)(x+1)

Bu nedenle tam bölünebilme için:

P(1)=0

P(−1)=0

1. Polinomda Sabit Terim Soruları

P(x+a) gibi bir ifade verilip sabit terim sorulabilir.

Sabit terim için değişken:

x=0

alınır.

1. P(x+1) Tipi Sorular

1. Katsayılar Toplamı – Dönüşümlü İfadeler

P(x+2) gibi bir polinomun katsayılar toplamı sorulursa:

x=1

yazılır.

Bu durumda:

P(3)

elde edilir.

1. Sabit Terim – Dönüşümlü İfadeler

Q(x)=P(x+2)

ise Q'nun sabit terimi:

Q(0)=P(2)

olur.

1. Polinomlarda Derece Soruları

1. Polinom Olma Şartıyla Bilinmeyen Bulma

1. Bölme Algoritmasında Derece

P(x), Q(x)’e bölündüğünde:

P(x)=Q(x)·B(x)+R(x)

ve:

der(R)<der(Q)

olmalıdır.

1. x²+bx+c ile Bölümden Kalan

Bölen ikinci derecedense kalan:

ax+b

biçimindedir.

Bölenin kökleri biliniyorsa bu kökler kullanılarak kalan bulunabilir.

1. Polinom Sorularında Kök ve Kalan İlişkisi

Bir soruda:

• “x−a ile tam bölünür” deniyorsa P(a)=0 • “x−a ile bölümünden kalan k” deniyorsa P(a)=k

yazılır.

Sık Karıştırılan Noktalar

1. Polinomlarda üsler negatif olmayan tam sayı olmalıdır.

1. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

1. Sabit terim P(0) ile bulunur.

1. Katsayılar toplamı P(1) ile bulunur.

1. x−a ile bölümden kalan P(a)’dır.

1. x+a ile bölümden kalan P(−a)’dır.

1. x−a çarpansa P(a)=0’dır.

1. Toplama işleminde polinom dereceleri doğrudan toplanmaz.

1. Çarpma işleminde dereceler toplanır.

1. Bölmede kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır.

1. Eksik terimlerin katsayısı sıfır kabul edilir.

1. P(x+a) tipindeki sorularda istenen giriş değerine göre x ayarlanır.

Soru Çözerken Kullanılabilecek Yaklaşım

1. Önce ifadenin polinom olup olmadığını kontrol et.

1. Derece ve katsayıları doğru belirle.

1. Sabit terim sorusunda x=0 kullan.

1. Katsayılar toplamında x=1 kullan.

1. Kalan sorusunda böleni x−a biçimine getir.

1. Tam bölünme varsa ilgili polinom değerini sıfıra eşitle.

1. Polinom eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayılarını karşılaştır.

1. Bölme sorusunda kalanın derecesini kontrol et.

Konu Özeti

Polinom:

P(x)=aₙxⁿ+...+a₁x+a₀

Derece:

En büyük kuvvet

Sabit terim:

P(0)

Katsayılar toplamı:

P(1)

Polinom eşitliği:

Aynı kuvvetlerin katsayıları eşittir.

Çarpımın derecesi:

der(P·Q)=der(P)+der(Q)

Bölme algoritması:

P(x)=B(x)·Q(x)+R(x)

Kalan teoremi:

x−a ile kalan=P(a)

Çarpan teoremi:

x−a çarpansa P(a)=0

Kök:

P(a)=0 ise a köktür.